Просмотр кода страницы Нахождение точки пересечения двух линий по углам и известным точкам (биангуляция)

{{Статья|Опубликована|biangulation}}
{{Аннотация|Немного простейшей геометрии для решения задачи биангуляции. Применение в орнитологии}}



===Задача===

Найти точку пересечения двух прямых отложенных от двух точек с известными координатами и азимутов от этих точек.

[[Image:biangulation-01.gif]]

===Применение===

Для изучения поведения животных часто используют радиотелеметрический метод: исследуемый объект помечается радиопередатчиком, который испускает радиосигнал определенной частоты и далее исследователь при помощи приемника и принимающей антенны следит за перемещениями этого объекта. Одним из возможных способов определения точного местоположения объекта является метод биангуляции. Для этого исследователю требуется взять 2 азимута на исследуемый объект с точек с известными координатами. Местоположение объекта будет соответствовать точке пересечения этих двух азимутов. Координаты точек, с которых засекаются азимуты можно снять с помощью спутникового навигатора (GPS), либо азимуты снимаются с реперных точек, координаты которых известны заранее. Азимут в этом случае – направление на источник наиболее сильного сигнала, исходящего от меченного передатчиком объекта, измеряемое обычно в градусах.

<center>[[Image:biangulation-03.gif|300px|Радиотелеметрия на практике]][[Image:biangulation-04.gif|398px|Полевой набор для радиотелеметрии]]</center>

Перед расчетами необходимо точки полученные с помощью GPS перевести в спроецированную систему координат, например соответствующую зону UTM, это можно сделать с помощью [http://gis-lab.info/qa/gps-dnrgarmin.html DNRGarmin].

Для того чтобы рассчитанное местоположение исследуемого объекта наиболее точно соответствовало реальному положению нужно учитывать следующее:

1) необходимо стараться дождаться момента, чтобы ошибка определения координат в навигаторе была как можно меньше.

2) чтобы угол между азимутами стремился к 90 градусам (по крайней мере, был больше 30 и меньше 150 градусов).

Расстояние, с которого следует снимать азимут, зависит от дальности действия передатчика, при этом применяется эмпирическое правило, что погрешность в определении азимута увеличивается на 1 метр с удалением от исследуемого объекта на каждые 10 м. Т.о. при снятии азимута с расстоянием до объекта 100 м погрешность составит 10 м. Однако, это правило применимо на ровной открытой местности. Следует учитывать, что неровности рельефа и древесно-кустарниковая растительность экранируют и отражают сигнал. Следует избегать нахождения в непосредственной близости от исследуемого объекта, т.к. во-первых, слишком сильный сигнал затруднит определение точного азимута, а, во-вторых, в некоторых случаях будет невозможно рассчитать точку пересечения из-за того, что второй азимут будет проходить за точкой снятия первого азимута. Временной интервал между снятием пары азимутов должен быть минимизирован, но, конечно, зависит от подвижности исследуемого животного.

===Решение===

Задача решается с помощью простейшей геометрии и решения системы уравнений.<br /> Для начала из точки и азимута получаем уравнение прямой, для этого:

Из уравнения общего вида:

'''''ax + by + c = 0'''''

при условии, что b&lt;&gt;0 получаем

'''''y = kx + d''''', где '''''k=-(a/b)''''', '' '''d=-(c/b)'''''

таким образом, получаем

'''''k=tan(a)<br /> d=y-tan(a)*x<br /> b=1'''''

Далее решив систему уравнений:

'''''k1x + d1 = y<br /> k2x + d2 = y'''''<br /><br /> Получаем координаты X и Y общей точки двух прямых (точки пересечения).

В уравнении необходимо предусмотреть два особых случая, когда прямые параллельны (k1=k2).

Так как мы имеем дело не с векторами и не с лучами, то есть у линий нет начала и конца, то так же необходимо предусмотреть случай пересечения прямых вне области интереса, т.н. ложное пересечение. Решение этой задачи достигается измерением азимута из ложной точки a3 на точку 2, если азимут a3 = a2, то пересечение ложное, обратный азимут от полученной точки обратно на исходные 2 не должен быть равен одному из исходных азимутов.

[[Image:biangulation-05.gif]]

Необходимая процедура на языке Avenue выглядит так:

 ''' a1rad = (90-a1)*pi/180<br /> a2rad = (90-a2)*pi/180'''
 'в случае если линия параллельна оси абсцисс<br />''' if ((a1 = 0) or (a1 = 180)) then<br />    l1a = 1<br />    l1b = 0<br />    l1c = x1<br /> else<br />    l1a = -(a1rad.tan)<br />    l1b = 1<br />    l1c = y1 - (a1rad.tan*x1)<br /> end<br /> if ((a2 = 0) or (a2 = 180)) then<br />    l2a = 1<br />    l2b = 0<br />    l2c = x2<br />else<br />    l2a = -(a2rad.tan)<br />    l2b = 1<br />    l2c = y2 - (a2rad.tan*x2)<br />end<br />D1 = l1a*l2b<br />D2 = l2a*l1b<br />D3 = D1 - D2<br />''''Если линии параллельны, в поле результата записываются несуществующие значения'''<br />if (D3 = 0) then<br />    resX = 9999<br />    resY = 9999<br />else     resX = ((l1c*l2b) - (l2c*l1b))/D3<br />    resY = ((l1a*l2c) - (l2a*l1c))/D3 end'''

Здесь находится [http://gis-lab.info/programs/avenue/biangulation.zip расширение для Arcview GIS] для расчета точек пересечения двух прямых, включая проверку ложных пересечений.

В качестве исходных данных для работы используется точечная тема Arcview (в формате shape или заданная как '''Event theme''' таблица). Тема должна быть выделена (активна). Пары исходных координат (засечек) в таблице должны располагаться друг за другом.

Названия полей должны быть следующими:<br />'''X''' - долгота<br />'''Y''' - широта<br />'''Bear''' - азимут (угол от оси Y по часовой стрелке) <br /> (скрипт легко модифицируется если у вас другие названия полей).

В названиях полей не должно содержаться символа '''#'''. Такие поля следует переименовать. Покрытия Arcinfo некоторые поля которых как правило содержат такой символ нужно сконвертировать в shape-файл и также переименовать поля, убрав #.

Результатом работы скрипта является shape-файл в атрибутивной таблице которого будут находится расчетные координаты точки пересечения для каждой пары засечек. Полей в исходной таблице может быть больше чем 3 (x, y, bear), дополнительные поля перенесутся в результирующую тему. Они будут заполнятся значениями из первой точки пары из исходной таблицы.



'''Ссылки по теме'''

* [http://www.college.ru/mathematics/courses/planimetry/content/chapter10/section/paragraph4/theory.html Уравнение прямой]
* [http://perm.psu.ru/school136/samos_m2.htm Решение линейных систем уравнений (систем уравнений 1-й степени) с двумя неизвестными]
* [http://gis-lab.info/qa/cep.html Вычисление радиуса окружности ошибки для оценки точности GPS-измерений]
* [http://gis-lab.info/qa/smooth-locerror.html Усреднение данных о перемещении с учетом ошибки локации]
* [http://gis-lab.info/qa/mcp-locerror.html Построение минимального конвексного полигона с учетом ошибки локации]