Просмотр исходного текста страницы Местная система координат линейного объекта

{{Статья|Опубликована|local-cs-linear-object}}

{{Аннотация|Конструирование проекции для представления системы координат линейного объекта в ГИС}}

== Введение ==

Система координат линейного объекта строится для обеспечения строительства или эксплуатации протяжённого инженерного сооружения.
Целью при этом является минимизация искажений, присущих проекции, в полосе объекта.

== Постановка задачи ==

Пусть ось сооружения задана положением двух крайних точек в глобальной системе координат (ГСК).

В местной системе (МСК) совместим начало координат с точкой в середине отрезка геодезической линии, соединяющей крайние точки.
Ось ''OX'' направим вдоль оси сооружения.
Потребуем, чтобы расстояние между крайними точками равнялось априори заданной величине ''L''.

Требуется подобрать проекцию, подходящую для представления такой МСК в ГИС и в программах, используемых геодезистами.

== О проекции ==

Выбор проекции однозначен. Это косая проекция Меркатора с такими значениями параметров, чтобы так называемая начальная линия (линия наименьшего масштаба) проходила через конечные точки, а расстояние между этими точками равнялось ''L''.

Для косой проекции Меркатора задаются следующие параметры:
* широта и долгота центра проекции ''φ''₀, ''λ''₀
* азимут начальной линии ''α''
* масштаб на начальной линии ''k''₀
* прямоугольные координаты в центре проекции ''x''₀, ''y''₀
* разворот координатных осей ''γ''

Азимут начальной линии должен находиться в диапазоне −90° < ''α'' < +90°. Таким образом, если разворот ''γ'' равен нулю, ось ''OY'' будет направлена вдоль начальной линии в северную полуплоскость, ''OX'' в восточную.

Разворот ''γ'' обычно приравнивается значению ''α'', чтобы компенсировать начальный разворот осей и вернуть оси ''OY'' направление строго на север. Возможность его явного задания позволяет произвольно управлять ориентацией осей МСК. Если задать нулевой разворот ''γ'', ось ''OY'' будет направлена вдоль начальной линии в северную полуплоскость, ''OX'' перпендикулярно к начальной линии в восточную.

== Определение параметров ==

Приведём данные тестового примера. Осевая линия задана координатами конечных точек на эллипсоиде WGS 84:

{| class="wikitable"
|-
! NN
! ''φ''
! ''λ''
|-
| 1
| 52°00′03.358″N
| 23°07′37.837″E
|-
| 2
| 52°00′46.722″N
| 23°10′15.918″E
|}

Расстояние вдоль оси задано значением ''L'' = 3300.000 м.

Рассмотрим последовательность решения задачи с использованием '''PROJ'''. Вид строки параметров таков:

<pre>
+proj=omerc +lat_0=φ₀ +lonc=λ₀ +alpha=α +k_0=k₀ +x_0=x₀ +y_0=y₀ +gamma=γ
</pre>

Задачу помещения центра проекции в середину линии, соединяющей конечные точки, решим в два этапа. Сначала решим обратную геодезическую задачу, что даст азимут с первой точки на вторую ''α''₁₂, азимут со второй точки на первую ''α''₂₁ и длину отрезка геодезической линии между ними ''S''. Затем решим прямую геодезическую задачу (ПГЗ), чтобы получить координаты средней точки и азимуты направлений с неё на конечные точки.

=== Решение обратной геодезической задачи ===

Цель — вычисление азимутов прямого и обратного направлений, а также длины отрезка геодезической линии на поверхности эллипсоида.

Решим ОГЗ с помощью утилиты '''geod''' из пакета '''PROJ.4''':
<syntaxhighlight lang="bash">
$ geod -I -f "%.17g" -F "%.17g" +ellps=WGS84 +units=m <<EOF
> 52d00'03.358"N 023d07'37.837"E 52d00'46.722"N 023d10'15.918"E
> EOF
</syntaxhighlight>
Программа выдаёт решение на эллипсоиде в виде строки значений ''α''₁₂, ''α''₂₁, ''S''₁₂:
<pre>
66.017759443956336 -113.94763462689073 3299.7360258541303
</pre>

=== Решение прямой геодезической задачи ===

Цель — получить координаты и азимут середины отрезка геодезической линии. Прежде всего вычислим половину длины отрезка:
<pre>
3299.7360258541303 / 2 = 1649.86801292706515
</pre>
Для контроля решим ПГЗ дважды, от обоих концов линии. Используем ту же утилиту '''geod''':
<syntaxhighlight lang="bash">
$ geod -f "%.17g" +ellps=WGS84 +units=m <<EOF
> 52d00'03.358"N 023d07'37.837"E 66.017759443956336 1649.86801292706515
> 52d00'46.722"N 023d10'15.918"E -113.94763462689073 1649.86801292706515
> EOF
</syntaxhighlight>
Результатом будут две строки значений: ''φ''₀, ''λ''₀, ''α'':
<pre>
52.006957604612808 23.14912969166868 -113.96494062446807
52.006957604612793 23.149129691668666 66.035059375531944
</pre>
Координаты центра проекции практически совпадают, азимуты обратных направлений отличаются на 180°.

=== Построение проекции ===

По результатам решения ПГЗ построим проекцию в первом приближении. Параметры ''lat_0'' и ''lonc'' примем равными ''φ''₀ и ''λ''₀. Параметр ''alpha'' должен быть в диапазоне ±90°, примем для него значение ''α''₀₂ = ''α''₀₁ ± 180°. Чтобы направить ось ''OX'' вдоль направления 0–1, параметр разворота ''gamma'' примем равным 90°. Вот предварительный набор:
<pre>
+lat_0=50.504316101 +lonc=20.989441172 +alpha=51.89831026 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0 +gamma=90
</pre>
Вычислим координаты конечных точек в проекции:
<syntaxhighlight lang="bash">
$ proj -r -f "%.17g" +proj=omerc +lat_0=52.0069576046128 +lonc=23.1491296916687 +alpha=66.0350593755319 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0 +gamma=90 +ellps=WGS84 +units=m <<EOF
> 52d00'03.358"N 023d07'37.837"E
> 52d00'46.722"N 023d10'15.918"E
> EOF
</syntaxhighlight>
Программа выдаёт координаты первой и второй точек ''x''₁, ''y''₁ и ''x''₂, ''y''₂:
<pre>
-1649.8680129311654 -1.0102527905258779e-13
1649.8680129226682 1.0631327490867519e-09
</pre>
Вычислим масштаб ''k_0'' как отношение заданной длины ''L'' к разности координат ''x''₂ − ''x''₁: ''k_0'' = 3300 / (1649.8680129226682 + 1649.8680129311654) = 1.0000799985647634. Подставим это значение вместо единицы:
<syntaxhighlight lang="bash">
$ proj -r -f "%.17g" +proj=omerc +lat_0=52.0069576046128 +lonc=23.1491296916687 +alpha=66.0350593755319 +k_0=1.00007999856476 +x_0=0 +y_0=0 +gamma=90 +ellps=WGS84 +units=m <<EOF
> 52d00'03.358"N 023d07'37.837"E
> 52d00'46.722"N 023d10'15.918"E
> EOF
</syntaxhighlight>
Вывод программы:
<pre>
-1650.0000000040786 -1.0103336092990638e-13
1649.9999999969975 1.0632177981808281e-09
</pre>
Точки практически лежат на оси ''OX'', расстояние между ними 3300.000 м. Поставленная задача решена, проекция построена.

== Пользовательская проекция в QGIS ==

Создадим пользовательскую систему координат в формате WKT.

=== Вариант B ===

Косая проекция Меркатора может быть задана в вариантах A и B. Начнём со второго, поскольку в нём плоские координаты отсчитываются от центра проекции, и для него всё готово.

В начале введём название системы координат латиницей "Biala Podlaska airdrome".

При вводе параметров проекции поможет следующая таблица соответствия:

{| class="wikitable"
|-
! WKT !! PROJ
|-
| Latitude of projection centre || lat_0
|-
| Longitude of projection centre || lonc
|-
| Azimuth of initial line || alpha
|-
| Angle from Rectified to Skew Grid || gamma
|-
| Scale factor on initial line || k, k_0
|-
| Easting at projection centre || x_0
|-
| Northing at projection centre || y_0
|}

В конце вставим название покрываемой территории "Europe - Poland - Biala Podlaska" и охват в формате ''φ''<sub>min</sub>, ''λ''<sub>min</sub>, ''φ''<sub>max</sub>, ''λ''<sub>max</sub>.

Готовая система координат в формате WKT:

<syntaxhighlight lang="xml">
PROJCRS["Biala Podlaska airdrome",
    BASEGEOGCRS["WGS 84",
        DATUM["World Geodetic System 1984",
            ELLIPSOID["WGS 84",6378137,298.257223563,
                LENGTHUNIT["metre",1]]],
        PRIMEM["Greenwich",0,
            ANGLEUNIT["Degree",0.0174532925199433]],
        ID["EPSG",4326]],
    CONVERSION["Biala Podlaska airdrome",
        METHOD["Hotine Oblique Mercator (variant B)",
            ID["EPSG",9815]],
        PARAMETER["Latitude of projection centre",52.0069576046128,
            ANGLEUNIT["degree",0.0174532925199433],
            ID["EPSG",8811]],
        PARAMETER["Longitude of projection centre",23.1491296916687,
            ANGLEUNIT["degree",0.0174532925199433],
            ID["EPSG",8812]],
        PARAMETER["Azimuth of initial line",66.0350593755319,
            ANGLEUNIT["degree",0.0174532925199433],
            ID["EPSG",8813]],
        PARAMETER["Angle from Rectified to Skew Grid",90,
            ANGLEUNIT["degree",0.0174532925199433],
            ID["EPSG",8814]],
        PARAMETER["Scale factor on initial line",1.00007999856476,
            SCALEUNIT["unity",1],
            ID["EPSG",8815]],
        PARAMETER["Easting at projection centre",0,
            LENGTHUNIT["metre",1],
            ID["EPSG",8816]],
        PARAMETER["Northing at projection centre",0,
            LENGTHUNIT["metre",1],
            ID["EPSG",8817]]],
    CS[Cartesian,2],
        AXIS["(E)",east,
            ORDER[1],
            LENGTHUNIT["metre",1]],
        AXIS["(N)",north,
            ORDER[2],
            LENGTHUNIT["metre",1]],
    USAGE[
        SCOPE["unknown"],
        AREA["Europe - Poland - Biala Podlaska"],
        BBOX[51.9,23.0,52.1,23.3]]]
</syntaxhighlight>

=== Вариант A ===

В варианте A прямоугольные координаты отсчитываются от точки пересечения начальной линии с экватором апосферы.
Практически он отличается от B числовыми значениями параметров ''x_0'' и ''y_0''.

Вычислим координаты центра проекции с параметром ''no_off'':
<syntaxhighlight lang="bash">
$ proj -r -f "%.17g" +proj=omerc +lat_0=52.0069576046128 +lonc=23.1491296916687 +alpha=66.0350593755319 +k_0=1.00007999856476 +x_0=0 +y_0=0 +gamma=90 +ellps=WGS84 +no_off +units=m <<EOF
> 52.0069576046128 23.1491296916687
> EOF
</syntaxhighlight>
Вывод программы:
<pre>
8064096.0024511777 -2.1496104200899204e-10
</pre>
Поменяв знаки на противоположные, получим параметры ''x_0'' = -8064096.00245118, ''y_0'' = 0.

Описание проекции в формате WKT по варианту A:

<pre>
PROJCRS["Biala Podlaska airdrome",
    BASEGEOGCRS["WGS 84",
        DATUM["World Geodetic System 1984",
            ELLIPSOID["WGS 84",6378137,298.257223563,
                LENGTHUNIT["metre",1]]],
        PRIMEM["Greenwich",0,
            ANGLEUNIT["Degree",0.0174532925199433]],
        ID["EPSG",4326]],
    CONVERSION["Biala Podlaska airdrome",
        METHOD["Hotine Oblique Mercator (variant A)",
            ID["EPSG",9812]],
        PARAMETER["Latitude of projection centre",52.0069576046128,
            ANGLEUNIT["degree",0.0174532925199433],
            ID["EPSG",8811]],
        PARAMETER["Longitude of projection centre",23.1491296916687,
            ANGLEUNIT["degree",0.0174532925199433],
            ID["EPSG",8812]],
        PARAMETER["Azimuth of initial line",66.0350593755319,
            ANGLEUNIT["degree",0.0174532925199433],
            ID["EPSG",8813]],
        PARAMETER["Angle from Rectified to Skew Grid",90,
            ANGLEUNIT["degree",0.0174532925199433],
            ID["EPSG",8814]],
        PARAMETER["Scale factor on initial line",1.00007999856476,
            SCALEUNIT["unity",1],
            ID["EPSG",8815]],
        PARAMETER["Easting at projection centre",-8064096.00245118,
            LENGTHUNIT["metre",1],
            ID["EPSG",8816]],
        PARAMETER["Northing at projection centre",0,
            LENGTHUNIT["metre",1],
            ID["EPSG",8817]]],
    CS[Cartesian,2],
        AXIS["(E)",east,
            ORDER[1],
            LENGTHUNIT["metre",1]],
        AXIS["(N)",north,
            ORDER[2],
            LENGTHUNIT["metre",1]],
    USAGE[
        SCOPE["unknown"],
        AREA["Europe - Poland - Biala Podlaska"],
        BBOX[51.9,23.0,52.1,23.3]]]
</pre>

== Заключение ==

Рассмотренный способ построения проекции прост, поскольку позволяет заменить знание математической картографии обращением к утилите '''geod''' из библиотеки '''PROJ''', которая используется как чёрный ящик. Этот подход не совсем корректен, поскольку геодезическая линия, соединяющая две точки на эллипсоиде, в косой проекции Меркатора отображается в кривую на апосфере, близкую к дуге большого круга, но не совпадающую с ней. К счастью, это несущественно даже для объектов длиной в сотни и тысячи километров.

== Ссылки ==

* [http://pubs.usgs.gov/pp/1395/report.pdf Map Projections — A Working Manual, Snyder J. P., USGS Professional Paper 1395, 1987]
* [http://remotesensing.org/geotiff/proj_list/guid7.html Coordinate Conversions and Transformations including Formulas, EPSG Guidance Note 7, 2002]
* [http://remotesensing.org/geotiff/proj_list/hotine_oblique_mercator.html Hotine Oblique Mercator]
* [http://trac.osgeo.org/proj/wiki/man_proj man_proj – PROJ.4]
* [http://trac.osgeo.org/proj/wiki/man_geod man_geod – PROJ.4]
* [http://geographiclib.sourceforge.net/ GeographicLib]
* [http://gis-lab.info/qa/local-cs.html Добавление местной координатной системы в GIS]