Пересчет координат из Lat/Long в проекцию Меркатора и обратно

Эта страница является черновиком статьи.

Описание вариантов пересчета широты/долготы в плоские координаты проекции Меркатора на базе эллипсоида WGS84 и на базе сфероида

Введение

Картографический веб-сервис Google Maps для отображения карт использует проекцию Меркатора на сфере. Для начала рассмотрим более общий случай проекции Меркатора для эллипсоида WGS84, а потом будет не сложно перейти к сфере. !Переписать!

Описание проекции Меркатора/WGS84

Равноугольная цилиндрическая проекция Меркатора — одна из основных картографических проекций. Разработана Герардом Меркатором для применения в его «Атласе» в 1596г.
В наше время достаточно часто используется вариант этой проекции WGS 84/World Mercator (EPSG:3395) на базе общеземного эллипсоида WGS84 (EPSG:7030). Данный эллипсоид имеет размер большой полуоси (экваториальный радиус) равный 6378137,0 метров и меньшей полуоси (полярный радиус) — ~6356752,314245 метра. Величина обратного уплощения (1/f) равна 298,257223563.
WKT представление это проекции:

PROJCS["WGS 84 / World Mercator",
    GEOGCS["WGS 84",
        DATUM["WGS_1984",
            SPHEROID["WGS 84",6378137,298.257223563,
                AUTHORITY["EPSG","7030"]],
            AUTHORITY["EPSG","6326"]],
        PRIMEM["Greenwich",0,
            AUTHORITY["EPSG","8901"]],
        UNIT["degree",0.01745329251994328,
            AUTHORITY["EPSG","9122"]],
        AUTHORITY["EPSG","4326"]],
    UNIT["metre",1,
        AUTHORITY["EPSG","9001"]],
    PROJECTION["Mercator_1SP"],
    PARAMETER["central_meridian",0],
    PARAMETER["scale_factor",1],
    PARAMETER["false_easting",0],
    PARAMETER["false_northing",0],
    AUTHORITY["EPSG","3395"],
    AXIS["Easting",EAST],
    AXIS["Northing",NORTH]]

Proj4 представление:

+proj=merc +lon_0=0 +k=1 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 +datum=WGS84 +units=m +no_defs

Описание проекции "Cферического Меркатора"

В последнее время, в связи со стремительным развитием картографических веб сервисов, большое распространение получил другой вариант проекции Меркатора - на базе не эллипсоида, а сферы. Этот выбор обусловлен более простыми расчетами, которые могут быть быстро выполнены тонкими клиентами этих сервисов (например js скрипт в браузере). Часто, эту проекцию называют "сферическим Меркатором" (EPSG:3857).
Эта проекция имеет множество названий и кодов: OSGEO:41001, Google Mercator EPSG:900913, ESRI Web Mercator ESRI:102100 и ESRI:102113, Popular Visualisation CRS / Mercator EPSG:3785. Но наиболее правильно использовать код EPSG:3857, так как этим кодом были заменены все остальные, как в пространстве кодов EPSG, так и в ESRI.
Отличительное свойство этой проекции - равные полуоси сфероида, размером 6378137,0 метров.
WKT представление проекции:

PROJCS["WGS 84 / Pseudo-Mercator",
    GEOGCS["Popular Visualisation CRS",
        DATUM["Popular_Visualisation_Datum",
            SPHEROID["Popular Visualisation Sphere",6378137,0,
                AUTHORITY["EPSG","7059"]],
            TOWGS84[0,0,0,0,0,0,0],
            AUTHORITY["EPSG","6055"]],
        PRIMEM["Greenwich",0,
            AUTHORITY["EPSG","8901"]],
        UNIT["degree",0.01745329251994328,
            AUTHORITY["EPSG","9122"]],
        AUTHORITY["EPSG","4055"]],
    UNIT["metre",1,
        AUTHORITY["EPSG","9001"]],
    PROJECTION["Mercator_1SP"],
    PARAMETER["central_meridian",0],
    PARAMETER["scale_factor",1],
    PARAMETER["false_easting",0],
    PARAMETER["false_northing",0],
    AUTHORITY["EPSG","3785"],
    AXIS["X",EAST],
    AXIS["Y",NORTH]]

Proj4 представление:

+proj=merc +lon_0=0 +k=1 +x_0=0 +y_0=0 +a=6378137 +b=6378137 +towgs84=0,0,0,0,0,0,0 +units=m +no_defs

Пересчет координат из широты/долготы в проекцию Меркатора/WGS84

Теория

Формулы пересчета:
$X=a*long$
$Y=a*\ln[\tan({\frac {\pi }{4}}+{\frac {lat}{2}})*({\frac {1-e*\sin lat}{1+e*\sin lat}})^{e/2}]$
Где:

• long/lat - долгота/широта в радианах;
• e - эксцентриситет эллипса, $e={\sqrt {1-({\frac {b}{a}})^{2}}}$
• a - большая полуось эллипса;
• b - малая полуось эллипса;

Ссылки по теме

Mercator projection(eng wiki)
Варианты пересчета на вики OSM
Web Mercator: Non-Conformal, Non-Mercator
Tiles à la Google Maps: Coordinates, Tile Bounds and Projection
Spatial references