Местная система координат линейного объекта
по адресу http://gis-lab.info/qa/local-cs-linear-object.html
Конструирование проекции для представления системы координат линейного объекта в ГИС
Введение
Система координат линейного объекта строится для эксплуатации протяжённого инженерного сооружения. Принципы построения проекции сходны с классическим подходом, изложенным в статье «Добавление местной координатной системы в GIS». Однако постановка задачи отличается.
Постановка задачи
На оси сооружения задана линия положением двух его конечных точек в глобальной системе координат (ГСК).
Пусть в местной системе (МСК) начало координат совмещено с первой точкой, расстояние между точками задано величиной L, а ось OX направлена вдоль оси сооружения наружу. В такой системе координаты второй точки будут равны X = −L, Y = 0.
Требуется подобрать проекцию, подходящую для представления такой МСК в ГИС.
О проекции
Выбор проекции однозначен. Это косая проекция Меркатора с такими значениями параметров, чтобы так называемая начальная линия (линия наименьшего масштаба) проходила через конечные точки, а расстояние между этими точками равнялось L.
Для косой проекции Меркатора задаются следующие параметры:
- широта и долгота центра проекции φ₀, λ₀
- азимут начальной линии α
- масштаб на начальной линии k₀
- прямоугольные координаты в центре проекции x₀, y₀
- разворот координатных осей γ
Азимут начальной линии должен находиться в диапазоне −90° < α < +90°. Таким образом, если разворот γ равен нулю, ось OY будет направлена вдоль начальной линии в северную полуплоскость, OX в восточную.
Из-за ограничений реализации в библиотеке PROJ.4 азимут α не может равняться 0°. Это не проблема, — если ось направлена вдоль меридиана, можно выбрать проекцию Гаусса-Крюгера. Также α не может принимать значения ±90°. Это тоже не проблема, поскольку в подобных случаях азимут вдоль геодезической линии меняется довольно быстро, и можно выбрать центр проекции на некотором удалении от первоначально выбранной точки. Если же трасса изгибается вдоль параллели, лучше остановить выбор на равноугольной конической проекции Ламберта.
Разворот γ был введён для компенсации начального разворота осей, чтобы вернуть оси OY направление строго на север. Поэтому, если он не задан, подразумевается его численное равенство α. Возможность задавать его явно позволяет произвольно управлять ориентацией осей МСК.
Определение параметров
Приведём данные тестового примера. Осевая линия задана положением конечных точек на эллипсоиде WGS 84: φ₁ = 51° с.ш., λ₁ = 22° в.д., φ₂ = 50° с.ш., λ₂ = 20° в.д. Расстояние вдоль оси задано длиной L = 180300 м.
Рассмотрим последовательность решения задачи с использованием PROJ.4. Вид строки параметров таков:
+proj=omerc +lat_0=φ₀ +lonc=λ₀ +alpha=α +k_0=k₀ +x_0=x₀ +y_0=y₀ +gamma=γ
Простой подход состоит в том, чтобы поместить центр проекции в одну из конечных точек. Тогда два параметра можно определить сразу:
+lat_0=51 +lonc=22
Для нахождения остальных параметров нужно решить обратную геодезическую задачу (ОГЗ).
При значительной длине трассы (точнее, при заметном изменении широты вдоль линии трассы) корректнее поместить центр проекции в середину геодезической линии, соединяющей конечные точки. В это случае придётся сначала решить обратную геодезическую задачу, что даст азимут с первой точки на вторую α₁₂, азимут со второй точки на первую α₂₁ и длину отрезка геодезической линии между ними S, а затем решить прямую геодезическую задачу (ПГЗ), чтобы получить координаты средней точки и азимуты направлений с неё на конечные точки.
Решение обратной геодезической задачи
Подготовим файл данных с координатами конечных пунктов inv.dat:
51N 22E 50N 20E
и решим ОГЗ:
$ geod -I -f "%.10f" -F "%f" +ellps=WGS84 +units=m inv.dat
Программа выдаёт решение на эллипсоиде в виде строки значений α₁₂, α₂₁, S:
-127.3190808614 51.1375475317 180292.395229
Решение прямой геодезической задачи
Цель — получить значения для середины отрезка геодезической линии. Прежде всего вычислим половину длины отрезка:
180292.395229 / 2 = 90146.1976145
Для контроля решим ПГЗ дважды, от обоих концов линии. На основе данных ОГЗ создадим файл dir.dat:
51N 22E -127.3190808614 90146.1976145 50N 20E 51.1375475317 90146.1976145
Используем ту же утилиту geod для решения прямой задачи:
$ geod -f "%.11f" +ellps=WGS84 +units=m dir.dat
Результатом будут две строки значений: φ₀, λ₀, α:
50.50431610099 20.98944117202 51.89831025644 50.50431610099 20.98944117202 -128.10168974359
Координаты центра проекции совпадают, азимуты обратных направлений отличаются на 180°.
Построение проекции
По результатам решения ОГЗ построим черновую проекцию. Поскольку φ₂ < φ₁, имеет место второй вариант; примем alpha = α₁₂ + 180° = 52.6051515938°, gamma = +90°. Масштабный коэффициент пока приравняем единице: k_0 = 1. Получен предварительный набор параметров:
+proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6051515938 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0
Подготовим файл с координатами конечных точек p12.dat:
22 51 20 50
Выполним команду:
$ proj -f "%f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6051515938 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p12.dat
Программа выдаёт координаты первой и второй точек x₁, y₁ и x₂, y₂ в МСК:
-0.000000 0.000000 -180292.238188 238.386305
Координаты первой точки равны нулю, как и должно быть. Координаты второй точки отличаются от ожидаемых значений −L и 0. Ненулевая величина y₂ говорит о том, что начальная линия проходит мимо второй точки. Значит, нужно подобрать параметр alpha, чтобы исправить промах.
Численные методы отлично справляются с поиском корня уравнения x₂(alpha) = 0. Добавим немного геометрии в задачу и будем улучшать значение параметра по формуле alpha′ = alpha − arctg [(y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)]. Может, это не очень эффективно, но через пять итераций при alpha = 52.6809193468 получаем такие координаты:
-0.000000 0.000000 -180292.395746 0.000000
Вычисляем параметр k_0 по формуле k_0 = −L / (x₂ − x₁) = 180300 / 180292.238188 = 1.0000421773.
Запуск proj с окончательным набором параметров:
proj -f "%f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6809193468 +gamma=90 +k_0=1.0000421773 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p12.dat
Результаты:
-0.000 0.000 -180300.000 0.000
Проекция построена.
Вторая проекция
Нередко требуется вторая проекция, являющаяся зеркальным отражением первой: начало координат МСК-2 во второй точке, ось OX направлена вдоль оси в сторону, противоположную направлению на первую точку. Таким образом МСК-2 развёрнута по отношению к МСК-1 на 180° и смещена вдоль оси OX на длину L.
Последнее предложение имеет особый смысл для выбора способа построения МСК-2. Если выбрать способ, изложенный для МСК-1, только с центром проекции во второй точке и опорой на азимут α₂₁, выяснится, что апосфера во втором случае будет не та, что в первом, и большие круги, проходящие через две точки, не совпадают. Правда, разница незаметна, пока расстояние не достигает величин в несколько десятков километров.
Таким образом, если нужна пара взаимоувязанных МСК, вторая система строится на параметрах первой. Параметр gamma изменяем на 180°, параметру x_0 присваиваем значение −L, всего-то и делов.
Тестирование
Создадим файл с координатами двух точек pt34.dat на эллипсоиде:
21 51 21 50
Вычислим координаты в МСК-1:
proj -f "%.3f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6809193468 +gamma=90 +k_0=1.0000421773 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p34.dat
-55539.071 42936.465 -124171.432 -44612.843
Вычислим координаты в МСК-2:
proj -f "%.3f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6809193468 +gamma=-90 +k_0=1.0000421773 +x_0=-180300 +y_0=0 +ellps=WGS84 p34.dat
-124760.929 -42936.465 -56128.568 44612.843
Калькулятор подтверждает, что:
- суммы координат x соответствующих точек равны −L
- суммы координат y соответствующих точек равны нулю
Заключение
Рассмотренный способ построения проекции прост, поскольку позволяет заменить знание математической картографии обращением к PROJ.4, который используется как чёрный ящик.
В косой проекции Меркатора масштаб отображения вдоль начальной линии не является постоянным, поскольку при изменении широты меняется кривизна сечения эллипсоида. Это несущественно для объектов длиной в несколько километров, но становится заметным при очень больших длинах. Чтобы уменьшить эффект, центр проекции располагают в середине линии.
В этом случае задача построения проекции по двум точкам усложняется: центр проекции нужно поместить на дугу большого круга, проходящего через конечные точки. Пожалуй, всё же проще использовать для решения таких задач сферическую тригонометрию на апосфере.