Создание треугольных сеток на сфере

Эта страница является черновиком статьи.

Два-три предложения.

Генерация сетки в сферическом треугольнике

В качестве базы для создания сетки используется сферический треугольник, заданный координатами своих вершин.

Метод бисекций

Назовём бисекциями операции деления исходного треугольника на четыре треугольника нового поколения. Собственно термин «бисекция» относится к делению сторон пополам. В середины рёбер вставляются новые вершины (белые точки на рисунках), которые соединяются новыми рёбрами (пунктирные линии), образующими новые треугольники. Следующее поколение получается очередной бисекцией.

Первая бисекция

Вторая бисекция

В терминах геометрии на сфере задача вставки точек в стороны треугольников решается последовательным решением обратной и прямой геодезических задач. Однако в данном случае гораздо проще использовать векторную алгебру. Пусть концы стороны заданы векторами a и b; тогда середина f вычисляется как их нормированная сумма:

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{f} = \frac{\mathbf{a} + \mathbf{b}}{| \mathbf{a} + \mathbf{b} |}}

Метод трисекций

Исходный треугольник делится на девять треугольников нового поколения. В результате трисекции каждая сторона делится на три равных отрезка, в концы которых вставляются вершины. Итого шесть новых вершин, и седьмая вставляется в геометрический центр треугольника. Вершины соединяются рёбрами, образующими треугольники.

Проще всего вычислить положение центральной точки g:

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{g} = \frac{\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c}}{| \mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c} |}}

где a, b и c — векторы вершин исходного треугольника.

Разделить стороны на равные отрезки сложнее. Простое решение предлагает утилита PROJ.4 geod.

Ссылки

• Задачи на сфере: обратная геодезическая задача
• Задачи на сфере: прямая геодезическая задача
• man_geod – PROJ.4