Вычисление площади полигона на сфере и на эллипсоиде
Одна-две фразы по существу.
Общие положения
Определим полигон как простой многоугольник — участок поверхности, ограниченный замкнутой полилинией без самопересечений.
Полилиния в свою очередь — ломаная, образованная отрезками геодезических линий.
Геодезическая линия на плоскости — это прямая; геодезическая линия на сфере — дуга большой окружности.
Полный поворот контура
В общем случае определение площади многоугольника на искривлённой поверхности — нетривиальная задача. Нужно интегрировать по поверхности с пределами, заданными неявно. К счастью, математика может предложить обходные пути решения задачи.
Представим себе точку, движущуюся вдоль контура полигона. Вершины являются точками поворота. Внутренний угол при вершине θ равен разности направлений α в предыдущую и следующую вершины, а поворот есть угол τ, смежный внутреннему:
На евклидовой плоскости, обойдя любой замкнутый контур без самопересечений, точка совершает поворот ровно на одну окружность — 360°, или 2π радиан. В случае многоугольника этот поворот складывается из суммы поворотов в вершинах.
На поверхности с ненулевой гауссовой кривизной общий поворот отличается от 2π на величину избытка или недостатка, пропорционального кривизне поверхности и площади фигуры.
Площадь полигона на сфере
Сферический избыток
В общем случае кривизна поверхности меняется в каждой точке, но не на сфере! Кривизна сферы постоянна, и площадь замкнутой фигуры однозначно соотносится с полным поворотом контура.
Отличие полного поворота от 2π радиан называется сферическим избытком ε, который пропорционален площади полигона S:
где R — радиус сферы.
Алгоритм вычисления площади
Пусть n-угольник задан координатами вершин φi, λi, где φi — широта i-ой вершины, λi — долгота, i = 1, … , n.
Радиус сферы
Радиус сферы.