Основные геоморфометрические параметры: теория

Эта страница является черновиком статьи.

Расчет (Zevenbergen-Thorne, 1987) и интерпретация уклона, экспозиции, кривизн рельефа земной поверхности

Геморфометрический анализ растровых ЦМР базируется на двух исходных положениях. Первое основывается на математической формализации земной поверхности, а второе предусматривает расчет показателя в точке (пикселе) с учетом окружения.

Согласно первому положению, с математической точки зрения ЦМР является статистической поверхностью, которая характеризует пространственное распределение показателя высоты и может быть представлена функцией вида:

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z=f(x,y)}

(1)

где Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z} – значение высоты в точке с географическими координатами Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (x,y)} , которое для лучшей аппроксимации рельефа может быть выражено более сложными функциями, например – полиномиальными (или многочленами). В таком случае многочлен 2-го порядка, используемый для аппроксимации земной поверхности, может иметь следующий вид:

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z=Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F}

(2)

где Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} и $y$ географические координаты точки, высоту $z$ которой необходимо определить, $A...F$ – коэффициенты уравнения аппроксимирующей поверхности 2-го порядка. Многочлены являются одними из наиболее простых и хорошо изученных функций в математике. Они характеризуются такими свойствами как непрерывность и сглаженность, благодаря чему их легко можно интегрировать и дифференцировать. Это открывает возможности использования математического анализа не только для более совершенного представления земной поверхности, но и для изучения ее свойств, например, на основе производных разных порядков.

Согласно второму положению, основной аналитической операцией в ГИС, которая используется для расчета большинства параметров на основе растровых ЦМР является анализ окружения. Он позволяет количественно описать связь между точкой (пикселем) и его ближайшим окружением, применяя для расчета локальное (чаще всего, размером 3×3 пиксела) скользящее окно (рис. 1).

рисунок 1 Рис. 1 Расчет большинства геоморфометрических параметров как правило производится на основе скользящего окна размером 3×3 пиксела (Geomorphometry…, 2008)

Окно двигается через все поверхность растра (в направлении от верхнего левого до нижнего правого угла) и последовательно применяет в каждой позиции одну и ту же математическую операцию (расчетную формулу) для ячеек основного растра. Таким образом, результат расчетов определяется формулой, которая используется для сравнения значений центральной ячейки с соседними. В результате получается новый растр, аналогичный по пространственному охвату исходной ЦМР, но с другим параметром.

В данной статье мы будем рассматривать особенности расчета основных геморфометрических параметров на примере алгоритма Zevenbergen-Thorne (Zevenbergen, Thorne 1987), который характеризуется расчетной эффективностью и высокой достоверностью результатов (Skidmore 1989, Jones 1998, Zhou, Liu 2004, Rodríguez, Suarez 2010). Кроме того, он реализован как в Открытых (SAGA), так и проприетарных ГИС (кривизны в ArcGIS, расширение для ArcGIS DEM Surface Tools от Jenness Enterprises).

Алгоритм Zevenbergen-Thorne использует модификацию (2) следующего вида:

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z=Ax^2y^2+Bx^2y+Cxy^2+Dx^2+Ey^2+Fxy+Gx+Hy+I}

(3)

где Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A...I} – коэффициенты аппроксимации, рассчитанные с помощью полиномов Лагранжа на основе 9 значений Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z} в ячейках окна 3×3. Геоморфометрические параметры получаются в результате дифференциациии (3) и решения соответствующих уравнений для центральной ячейки квадратной матрицы 3×3.

Основные геоморфометрические параметры, рассчитываемые на основе производных первого порядка

Фундаментальные геморфометрических параметры уклона и экспозиции взаимосвязаны, т.к. оба эти показателя характеризуют градиент поверхности, т.е. интенсивность изменения ее значений в пространстве, которая может быть выражена производной первого порядка. Как производная поверхности первого порядка, градиент характеризуется величиной (уклоном) и направлением (экспозицией).

Уклон поверхности (Slope)

Понятие

Уклон поверхности – угол наклона в точке пересечения между горизонтальной плоскостью и плоскостью касательной к земной поверхности; фиксирует интенсивность перепада высот (градиент) между двумя заданными точками (рис. 2)

рисунок 2 Рис. 2 XXX

Если земная поверхность представлена функцией Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z=f(x,y)} , то уклон рассчитывается с учетом изменений значений Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z} в двух направлениях как Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial z}{\partial xy}} :

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha=\tan^{-1} \left ( \sqrt{\left ( \frac{\partial z}{\partial x} \right )^2+ \left ( \frac{\partial z}{\partial y} \right )^2} \right)}

(4)

где Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}} и Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}} - производные первого порядка, представляющие изменение значений абсолютной высоты Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z} с запада на восток (Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} ) и с севера на юг (Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y} ).

Расчет по Zevenbergen-Thorne

Процедура определения уклона поверхности по алгоритму Zevenbergen-Thorne сводится к следующим шагам (рис. 3):

рисунок 3 Рис. 3 Определение уклона поверхности (Zevenbergen, Thorne 1987) XXX

1. определение уклона поверхности в направлении с востока на запад:

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G=\frac{\left ( z_6 + z_4 \right )}{2l} }

(5)

2. определение уклона поверхности в направлении с севера на юг:

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G=\frac{\left ( z_2 + z_8 \right )}{2l} }

(6)

где Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z_{2...8}} - высотные отметки в соответствующих ячейках растра, а Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle l} - расстояние между индивидуальными элементами матрицы высот, другими словами – пространственное разрешение растра. При этом предусматривается, что единицы измерения абсолютной высоты и пространственного разрешения идентичны (как правило, метры);

3. определение интегрального значения уклона поверхности для центральной ячейки скользящего окна:

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha=\tan^{-1} \left ( \sqrt{G^2+H^2} \right )}

(7)

Рассмотрим алгоритм на примере Рис. 4:

рисунок 4 Рис. 4 Пример скользящего окна: ячейка для которой рассчитывается значение затенена, значения абсолютной высоты выражены в метрах, пространственное разрешение растра – 10 м

Пример расчета уклона поверхности

     
 Рассчитаем уклон по 5: 
Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G=\frac{3-10}{2\times10}=-0.35}

Рассчитаем уклон по 6: 
Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle H=\frac{6-7}{2\times10}=-0.05}

Тогда уклон поверхности в центральной ячейке, рассчитанный по 7 составит:
Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha=\tan^{-1}\left ( \sqrt{\left (-0.35 \right )^2+\left (-0.05 \right )^2} \right )=\tan^{-1} \left ( \sqrt {0.125} \right )=\tan^{-1}\left ( 0.3536 \right )=19.47^{\circ}}

Интерпретация

Уклон поверхности фундаментальный морфометрический параметр, который закономерно связан со следующими процессами и характеристиками ландшафта:

• поверхностный сток и дренирование – чем более крутой склон, тем интенсивнее поверхностный сток и меньше инфильтрация влаги в почвенную толщу. Таким образом, уклон имеет принципиальное значение для режима увлажнения почв, особенно – верхних слоев;
• эрозия – интенсивность эрозии растет экспоненциально с увеличением уклона. Это объясняется тем, что с увеличением градиента кинетическая энергия осадков остается постоянной, но транспорт ускоряется в направлении подножья. В результате, кинетическая энергия стока превышает кинетическую энергию осадков, когда склон переходит отметку 8,5°, что и способствует проявлению эрозионных процессов;
• мощность почвенного профиля на склоне закономерно изменяется в соответствии с уклоном и относительной высотой. Как правило, почвенная толща меньше на возвышенных наклонных участках вследствие эрозионных процессов и гравитационного перемещения материала, и постепенно увеличивается в направлении пониженных участков с небольшим уклоном;
• количество солнечной энергии также зависит от уклона, поскольку он определяет угол падения солнечных лучей на земную поверхность. Увеличение уклона поверхности в направлении поступления солнечных лучей увеличивает угол их падения, а значит – количество энергии, которое получает поверхность. Это определяет микроклиматические особенности участка, в частности температуру, эвапотранспирацию и влажность верхних слоев почвы;
• особенности растительного покрова совокупно отражают все вышеперечисленные характеристики, поскольку они прямо или косвенно влияют на такие эдафические факторы как водный и температурный режим почвы, механический состав корнесодержащего слоя, содержание питательных элементов и т.д.

Простота расчета и информативность делают уклон поверхности наиболее употребимым показателем в моделировании процессов перераспределения поверхностного и внутрипочвенного стока, эрозии, определении эдафических условий, индикационном картографировании в физической географии и близких отраслях. Как правило, значения показателя измеряются в градусах (также это могут быть проценты или радианы) и колеблются в диапазоне от 0° (горизонтальная плоскость) до 90° (вертикальная плоскость). Часто используются следующие градации уклона поверхности:

Для равнинных территорий (Жучкова, Раковская, 2004)	Для горных территорий
	(Жучкова, Раковская, 2004)		(Міллер, 1996)
Текст ячейки	Текст ячейки	Текст ячейки	Текст ячейки	Текст ячейки	Текст ячейки
Текст ячейки	Текст ячейки	Текст ячейки	Текст ячейки	Текст ячейки	Текст ячейки
Текст ячейки	Текст ячейки	Текст ячейки	Текст ячейки	Текст ячейки	Текст ячейки
Текст ячейки	Текст ячейки	Текст ячейки	Текст ячейки	Текст ячейки	Текст ячейки
Текст ячейки	Текст ячейки	Текст ячейки	Текст ячейки	Текст ячейки	Текст ячейки
Текст ячейки	Текст ячейки	Текст ячейки	Текст ячейки	Текст ячейки	Текст ячейки
Текст ячейки	Текст ячейки	Текст ячейки	Текст ячейки	Текст ячейки	Текст ячейки
Текст ячейки	Текст ячейки	Текст ячейки	Текст ячейки	Текст ячейки	Текст ячейки
Текст ячейки	Текст ячейки	Текст ячейки	Текст ячейки	Текст ячейки	Текст ячейки
Текст ячейки	Текст ячейки	Текст ячейки	Текст ячейки	Текст ячейки	Текст ячейки
Текст ячейки	Текст ячейки	Текст ячейки	Текст ячейки	Текст ячейки	Текст ячейки