Основные геоморфометрические параметры: теория
Расчет (Zevenbergen-Thorne, 1987) и интерпретация уклона, экспозиции, кривизн рельефа земной поверхности
Геморфометрический анализ растровых ЦМР базируется на двух исходных положениях. Первое основывается на математической формализации земной поверхности, а второе предусматривает расчет показателя в точке (пикселе) с учетом окружения.
Согласно первому положению, с математической точки зрения ЦМР является статистической поверхностью, которая характеризует пространственное распределение показателя высоты и может быть представлена функцией вида:
| Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z=f(x,y)} | (1) |
где Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z} – значение высоты в точке с географическими координатами Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (x,y)} , которое для лучшей аппроксимации рельефа может быть выражено более сложными функциями, например – полиномиальными (или многочленами). В таком случае многочлен 2-го порядка, используемый для аппроксимации земной поверхности, может иметь следующий вид:
| Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z=Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F} | (2) |
где Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} и Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y} географические координаты точки, высоту Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z} которой необходимо определить, Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A...F} – коэффициенты уравнения аппроксимирующей поверхности 2-го порядка. Многочлены являются одними из наиболее простых и хорошо изученных функций в математике. Они характеризуются такими свойствами как непрерывность и сглаженность, благодаря чему их легко можно интегрировать и дифференцировать. Это открывает возможности использования математического анализа не только для более совершенного представления земной поверхности, но и для изучения ее свойств, например, на основе производных разных порядков.
Согласно второму положению, основной аналитической операцией в ГИС, которая используется для расчета большинства параметров на основе растровых ЦМР является анализ окружения. Он позволяет количественно описать связь между точкой (пикселем) и его ближайшим окружением, применяя для расчета локальное (чаще всего, размером 3×3 пиксела) скользящее окно (рис. 1).
Окно двигается через все поверхность растра (в направлении от верхнего левого до нижнего правого угла) и последовательно применяет в каждой позиции одну и ту же математическую операцию (расчетную формулу) для ячеек основного растра. Таким образом, результат расчетов определяется формулой, которая используется для сравнения значений центральной ячейки с соседними. В результате получается новый растр, аналогичный по пространственному охвату исходной ЦМР, но с другим параметром.
В данной статье мы будем рассматривать особенности расчета основных геморфометрических параметров на примере алгоритма Zevenbergen-Thorne (Zevenbergen, Thorne 1987), который характеризуется расчетной эффективностью и высокой достоверностью результатов (Skidmore 1989, Jones 1998, Zhou, Liu 2004, Rodríguez, Suarez 2010). Кроме того, он реализован как в Открытых (SAGA), так и проприетарных ГИС (кривизны в ArcGIS, расширение для ArcGIS DEM Surface Tools от Jenness Enterprises).
Алгоритм Zevenbergen-Thorne использует модификацию (2) следующего вида:
| Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z=Ax^2y^2+Bx^2y+Cxy^2+Dx^2+Ey^2+Fxy+Gx+Hy+I} | (3) |
где Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A...I} – коэффициенты аппроксимации, рассчитанные с помощью полиномов Лагранжа на основе 9 значений Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z} в ячейках окна 3×3. Геоморфометрические параметры получаются в результате дифференциациии (3) и решения соответствующих уравнений для центральной ячейки квадратной матрицы 3×3.
Основные геоморфометрические параметры, рассчитываемые на основе производных первого порядка
Фундаментальные геморфометрических параметры уклона и экспозиции взаимосвязаны, т.к. оба эти показателя характеризуют градиент поверхности, т.е. интенсивность изменения ее значений в пространстве, которая может быть выражена производной первого порядка. Как производная поверхности первого порядка, градиент характеризуется величиной (уклоном) и направлением (экспозицией).
Уклон поверхности (Slope)
Понятие
Уклон поверхности – угол наклона в точке пересечения между горизонтальной плоскостью и плоскостью касательной к земной поверхности; фиксирует интенсивность перепада высот (градиент) между двумя заданными точками (рис. 2)
Если земная поверхность представлена функцией Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z=f(x,y)} , то уклон рассчитывается с учетом изменений значений Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z} в двух направлениях как Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial z}{\partial xy}} :
| Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha=\tan^{-1} \left ( \sqrt{\left ( \frac{\partial z}{\partial x} \right )^2+ \left ( \frac{\partial z}{\partial y} \right )^2} \right)} | (4) |
где и - производные первого порядка, представляющие изменение значений абсолютной высоты с запада на восток Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \left ( х \right )} и с севера на юг Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left ( у \right )} .
