Конформное преобразование

Эта страница является черновиком статьи.

Конформное преобразование на плоскости широко используется в геодезии при создании местных координатных систем на небольшие территории, ограниченные размерами населённого пункта.

Введение

Следующие формулы связывают координаты точек x, y, заданные в местной системе координат (МСК), и координаты X, Y, заданные в государственной системе координат (ГСК):

${\begin{array}{lcl}X&=&X_{0}+m{\big [}(x-x_{0})\cos \theta -(y-y_{0})\sin \theta {\big ]}\\Y&=&Y_{0}+m{\big [}(x-x_{0})\sin \theta +(y-y_{0})\cos \theta {\big ]}\end{array}}$

где m — масштабный множитель, θ — угол разворота, X₀, Y₀, x₀, y₀ — координаты одного из геодезических пунктов в ГСК и МСК, как правило. Этот набор параметров называется «ключ».

Исходный материал для определения ключа — пары координат пунктов геодезической сети, полученные из независимого уравнивания одних и тех же измерений в МСК и в ГСК. В зависимости от класса пунктам (вернее, соответствующим парам уравнений) назначаются веса p.

Алгоритм нахождения параметров

Конформное преобразование представляется следующей математической моделью:

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} X' & = & a_0 + a_1 x - b_1 y \\ Y' & = & b_0 + b_1 x + a_1 y \end{array}}

Определению подлежат четыре параметра: a₀, b₀, a₁, b₁,.

Очевидно, конформное преобразование является частным случаем аффинного.

Шаг 1: вычисление взвешенных средних

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_c = \frac{\sum\limits_{i=1}^n p_i x_i}{\sum\limits_{i=1}^n p_i} \quad y_c = \frac{\sum\limits_{i=1}^n p_i y_i}{\sum\limits_{i=1}^n p_i} \quad X_c = \frac{\sum\limits_{i=1}^n p_i X_i}{\sum\limits_{i=1}^n p_i} \quad Y_c = \frac{\sum\limits_{i=1}^n p_i Y_i}{\sum\limits_{i=1}^n p_i} }

Шаг 2: перенос осей в центр масс

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta x_i = x_i - x_c \quad \Delta y_i = y_i - y_c \quad \Delta X_i = X_i - X_c \quad \Delta Y_i = Y_i - Y_c }

Шаг 3: вычисление a₁ и b₁

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_1 = \sum\limits_{i=1}^n p_i \Delta X_i \Delta x_i}	Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_2 = \sum\limits_{i=1}^n p_i \Delta Y_i \Delta y_i}
Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_3 = \sum\limits_{i=1}^n p_i \Delta Y_i \Delta x_i}	Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_4 = \sum\limits_{i=1}^n p_i \Delta X_i \Delta y_i}
Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_5 = \sum\limits_{i=1}^n p_i \left( \Delta x_i^2 + \Delta y_i^2 \right)}
Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_1 = \frac{S_1 + S_2}{S_5}}	Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b_1 = \frac{S_3 - S_4}{S_5}}

Шаг 4: вычисление a₀ и b₀

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} a_0 & = & X_c - a_1 x_c + b_1 y_c \\ b_0 & = & Y_c - b_1 x_c - a_1 y_c \end{array}}

Шаг 5: вычисление невязок

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_{xi} = X_i - X_i' \quad v_{yi} = Y_i - Y_i' }

Невязки позволяют выявить точки, плохо укладывающиеся в полученную модель. Классическая процедура удаляет такие «отлетающие» точки, после чего вычисление параметров повторяется без них. Робастные процедуры переназначают веса уравнениям в соответствии с невязками, и повторное вычисление повторяется с полным набором точек при том, что «отлетающие» влияют на результат незначительно.

Кроме того, невязки необходимы для оценки точности измерений и результатов.

Шаг 6: вычисление ключа

Вычислим масштабный множитель и угол разворота:

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m = \sqrt{a_1^2 + b_1^2} \qquad \theta = \operatorname{arc\,tg} \frac{b_1}{a_1} }

Выберем j-й пункт с малыми невязками по возможности в середине массива точек. Его координаты в обеих системах X_j, Y_j, x_j, y_j становятся параметрами X₀, Y₀, x₀, y₀.

Пример вычисления параметров

Даны координаты четырёх пунктов:

i	xi	yi	Xi	Yi	pi
1	1334.71	285.94	83477.64	87377.60	1.0
2	563.67	-5197.34	82557.14	81916.51	1.0
3	4444.27	1153.79	86610.19	88160.39	1.0
4	-252.07	2881.90	81962.05	90016.34	1.0
∑p =					4.0

i	pixi	piyi	piXi	piYi
1	1334.71	285.94	83477.64	87377.60
2	563.67	-5197.34	82557.14	81916.51
3	4444.27	1153.79	86610.19	88160.39
4	-252.07	2881.90	81962.05	90016.34
∑ =	6090.58	-875.71	334607.02	347470.84

Взвешенные средние:

xc	yc	Xc	Yc
1522.645	-218.9275	83651.755	86867.71

Перенос осей в центр масс:

i	∆xi	∆yi	∆Xi	∆Yi
1	-187.935	504.8675	-174.115	509.89
2	-958.975	-4978.4125	-1094.615	-4951.20
3	2921.625	1372.7175	2958.435	1292.68
4	-1774.715	3100.8275	-1689.705	3148.63

i	pi ∆xi ∆Xi	pi ∆yi ∆Yi	pi ∆xi ∆Yi	pi ∆yi ∆Xi	pi (∆xi2 + ∆xi2)
1	32722.3	257426.9	-95826.2	-87905.0	290210.8
2	1049708.4	24649116.0	4748077.0	5449445.0	25704224.1
3	8643437.7	1774484.5	3776726.2	4061095.5	10420246.0
4	2998744.8	9763358.5	-5587920.9	-5239483.7	12764744.5
∑ =	12724613.2	36444385.8	2841056.2	4183151.8	49179425.3
	S1	S2	S3	S4	S5

Параметры конформного преобразования:

a1 b1 0.99978799 -0.02728978 a0 b0 82135.407 87128.144

Невязки:

i	vxi	vyi
1	0.002	0.001
2	0.016	-0.013
3	-0.032	-0.016
4	0.013	0.028

Масштаб и разворот:

m	θ
1.00016037	-1°33′48.72″

Сконструируем ключ на основе первого геодезического пункта:

X0	Y0	x0	y0	m	θ
83477.64	87377.60	1334.71	285.94	1.00016037	-1°33′48.72″

Заключение

Положенные в основу статьи формулы называются в учебниках геодезии «неполными» в противоположность «полным». Дело в том, что при большом удалении объекта от осевого меридиана исходной проекции Гаусса-Крюгера возникает значительный градиент масштаба изображения в направлении запад-восток. Чтобы компенсировать возникающие при этом специфические искажения конформного отображения, в «полные» выражения добавляют необходимые члены разложений формул проекций. Разумеется, такой подход несовершенен, как любые ограниченные разложения. В статье Создание местной системы в GIS в качестве альтернативы предлагается переход от ГСК к проекции с нулевым градиентом масштаба в центре объекта или вблизи него, что делает «полные» формулы ненужными.

Ссылки по теме

• Аффинные преобразования - математика
• Полиномиальные преобразования
• Полиномиальные преобразования - примеры реализации
• Среднеквадратичная ошибка (RMSE)