Конформное преобразование

Конформное преобразование на плоскости широко используется в геодезии при создании местных координатных систем на небольшие территории, ограниченные размерами населённого пункта.

Введение

Следующие формулы связывают координаты точек x, y, заданные в местной системе координат (МСК), и координаты X, Y, заданные в государственной системе координат (ГСК):

${\begin{array}{lcl}X&=&X_{0}+m{\big [}(x-x_{0})\cos \theta -(y-y_{0})\sin \theta {\big ]}\\Y&=&Y_{0}+m{\big [}(x-x_{0})\sin \theta +(y-y_{0})\cos \theta {\big ]}\end{array}}$

где m — масштабный множитель, θ — угол разворота, X₀, Y₀, x₀, y₀ — координаты одного из геодезических пунктов в ГСК и МСК, как правило. Этот набор параметров называется «ключ».

Исходный материал для определения ключа — пары координат пунктов геодезической сети, полученные из независимого уравнивания одних и тех же измерений в МСК и в ГСК. В зависимости от класса пунктам (вернее, соответствующим парам уравнений) назначаются веса p.

Алгоритм нахождения параметров

Конформное преобразование представляется следующей математической моделью:

${\begin{array}{lcl}X'&=&a_{0}+a_{1}x-b_{1}y\\Y'&=&b_{0}+b_{1}x+a_{1}y\end{array}}$

Определению подлежат четыре параметра: a₀, b₀, a₁, b₁,.

Очевидно, конформное преобразование является частным случаем аффинного.

Шаг 1: вычисление взвешенных средних

$x_{c}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}}}\quad y_{c}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}y_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}}}\quad X_{c}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}X_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}}}\quad Y_{c}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}Y_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}}}$

Шаг 2: перенос осей в центр масс

$\Delta x_{i}=x_{i}-x_{c}\quad \Delta y_{i}=y_{i}-y_{c}\quad \Delta X_{i}=X_{i}-X_{c}\quad \Delta Y_{i}=Y_{i}-Y_{c}$

Шаг 3: вычисление a₁ и b₁

$S_{1}=\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}\Delta X_{i}\Delta x_{i}$	$S_{2}=\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}\Delta Y_{i}\Delta y_{i}$
$S_{3}=\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}\Delta Y_{i}\Delta x_{i}$	$S_{4}=\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}\Delta X_{i}\Delta y_{i}$
$S_{5}=\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}\left(\Delta x_{i}^{2}+\Delta y_{i}^{2}\right)$
$a_{1}={\frac {S_{1}+S_{2}}{S_{5}}}$	$b_{1}={\frac {S_{3}-S_{4}}{S_{5}}}$

Шаг 4: вычисление a₀ и b₀

${\begin{array}{lcl}a_{0}&=&X_{c}-a_{1}x_{c}+b_{1}y_{c}\\b_{0}&=&Y_{c}-b_{1}x_{c}-a_{1}y_{c}\end{array}}$

Шаг 5: вычисление невязок

$v_{xi}=X_{i}-X_{i}'\quad v_{yi}=Y_{i}-Y_{i}'$

Невязки позволяют выявить точки, плохо укладывающиеся в полученную модель. Классическая процедура удаляет такие «отлетающие» точки, после чего вычисление параметров повторяется без них. Робастные процедуры переназначают веса уравнениям в соответствии с невязками, и повторное вычисление повторяется с полным набором точек при том, что «отлетающие» влияют на результат незначительно.

Кроме того, невязки необходимы для оценки точности измерений и результатов.

Шаг 6: вычисление ключа

Вычислим масштабный множитель и угол разворота:

$m={\sqrt {a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}}\qquad \theta =\operatorname {arc\,tg} {\frac {b_{1}}{a_{1}}}$

Выберем i-й пункт с малыми невязками по возможности в середине массива точек. Его координаты в обеих системах X_i, Y_i, x_i, y_i становятся параметрами X₀, Y₀, x₀, y₀.

Пример вычисления параметров

Даны координаты четырёх пунктов:

i	xi	yi	Xi	Yi	pi
1	1334.71	285.94	83477.64	87377.60	1.0
2	563.67	-5197.34	82557.14	81916.51	1.0
3	4444.27	1153.79	86610.19	88160.39	1.0
4	-252.07	2881.90	81962.05	90016.34	1.0
∑p =					4.0

i	pixi	piyi	piXi	piYi
1	1334.71	285.94	83477.64	87377.60
2	563.67	-5197.34	82557.14	81916.51
3	4444.27	1153.79	86610.19	88160.39
4	-252.07	2881.90	81962.05	90016.34
∑ =	6090.58	-875.71	334607.02	347470.84

Взвешенные средние:

xc	yc	Xc	Yc
1522.645	-218.9275	83651.755	86867.71

Перенос осей в центр масс:

i	∆xi	∆yi	∆Xi	∆Yi
1	-187.935	504.8675	-174.115	509.89
2	-958.975	-4978.4125	-1094.615	-4951.20
3	2921.625	1372.7175	2958.435	1292.68
4	-1774.715	3100.8275	-1689.705	3148.63

i	pi ∆xi ∆Xi	pi ∆yi ∆Yi	pi ∆xi ∆Yi	pi ∆yi ∆Xi	pi (∆xi2 + ∆xi2)
1	32722.3	257426.9	-95826.2	-87905.0	290210.8
2	1049708.4	24649116.0	4748077.0	5449445.0	25704224.1
3	8643437.7	1774484.5	3776726.2	4061095.5	10420246.0
4	2998744.8	9763358.5	-5587920.9	-5239483.7	12764744.5
∑ =	12724613.2	36444385.8	2841056.2	4183151.8	49179425.3
	S1	S2	S3	S4	S5

Параметры конформного преобразования:

a1	b1	a0	b0
0.99978799	-0.02728978	82135.407	87128.144

Невязки:

Построим ключ, выбрав первый пункт в качестве опорного: