Конформное преобразование

Конформное преобразование на плоскости широко используется в геодезии при создании местных координатных систем на небольшие территории, ограниченные, как правило, размерами населённого пункта.

Введение

Следующие формулы связывают координаты точек x, y, заданные в местной системе координат (МСК), и координаты X, Y, заданные в государственной системе координат (ГСК):

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} X & = & a_0 + m (x\cos\theta - y\sin\theta) \\ Y & = & b_0 + m (x\sin\theta + y\cos\theta) \end{array}}

где a₀, b₀ — положение начала МСК в ГСК, m — масштабный множитель, θ — угол разворота.

Используемый в геодезии набор параметров называется «ключ». Он определяется следующими величинами: X₀, Y₀, x₀, y₀, m, θ. Первые четыре — обычно координаты одного из геодезических пунктов в двух системах.

Исходный материал для определения параметров — пары координат пунктов геодезической сети, полученные из независимого уравнивания одних и тех же измерений в МСК и в ГСК. В зависимости от класса пунктам (вернее, парам уравнений) назначаются веса p.

Алгоритм нахождения параметров

Для определения четырёх параметров принимается следующая математическая модель:

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} X' & = & a_0 + a_1 x - b_1 y \\ Y' & = & b_0 + b_1 x + a_1 y \end{array}}

Очевидно, конформное преобразование является частным случаем аффинного.

1. Вычисление взвешенных средних

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bar{x} = \frac{\sum\limits_{i=1}^n p_i x_i}{\sum\limits_{i=1}^n p_i} \quad \bar{y} = \frac{\sum\limits_{i=1}^n p_i y_i}{\sum\limits_{i=1}^n p_i} \quad \bar{X} = \frac{\sum\limits_{i=1}^n p_i X_i}{\sum\limits_{i=1}^n p_i} \quad \bar{Y} = \frac{\sum\limits_{i=1}^n p_i Y_i}{\sum\limits_{i=1}^n p_i} }

2. Перенос осей в центр масс

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta x_i = x_i - \bar{x} \quad \Delta y_i = y_i - \bar{y} \quad \Delta X_i = X_i - \bar{X} \quad \Delta Y_i = Y_i - \bar{Y} }

3. Вычисление a₁ и b₁

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_1 = \sum\limits_{i=1}^n p_i \Delta X_i \Delta x_i}	Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_2 = \sum\limits_{i=1}^n p_i \Delta Y_i \Delta y_i}
Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_3 = \sum\limits_{i=1}^n p_i \Delta Y_i \Delta x_i}	Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_4 = \sum\limits_{i=1}^n p_i \Delta X_i \Delta y_i}
Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_5 = \sum\limits_{i=1}^n p_i \left( \Delta x_i^2 + \Delta y_i^2 \right)}
Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_1 = \frac{S_1 + S_2}{S_5}}	Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b_1 = \frac{S_3 - S_4}{S_5}}