Задачи на сфере: прямая геодезическая задача

Эта страница является черновиком статьи.

Прямая геодезическая задача — это нахождение положения точки по координатам исходного пункта и значениям начального направления и расстояния.

Общие положения

В качестве модели Земли принимается сфера с радиусом R, равным среднему радиусу земного эллипсоида. Аналогом прямой линии на плоскости является геодезическая линия на поверхности. На сфере геодезическая линия — дуга большого круга.

Введём следующие обозначения:

• φ — географическая широта,
• λ — географическая долгота,
• α — азимут дуги большого круга,
• σ — сферическое расстояние (длина дуги большого круга, выраженная в долях радиуса шара).

Линейное расстояние по дуге большого круга s связано со сферическим расстоянием σ формулой s = R σ.

Прямая и обратная геодезические задачи являются важными элементами более сложных геодезических задач.

Постановка задачи

Файл:Sph dir.png

Прямая геодезическая задача

Исходные данные

координаты пункта Q₁, начальное направление и расстояние на сфере — φ₁, λ₁, α₁, σ.

Определяемые величины

координаты пункта Q₂ — φ₂, λ₂.

На рисунке синим цветом выделены заданные элементы сферического треугольника, красным цветом неизвестные.

Алгоритм

Существует огромное множество подходов к решению поставленной задачи. Рассмотрим простой и надёжный векторный метод.

Последовательность решения:

1. преобразовать углы (90° − σ) и (180° − α₁) в декартовы координаты,
2. развернуть координатные оси вокруг оси Y на угол (φ₁ − 90°),
3. развернуть координатные оси вокруг оси Z на угол −λ₁,
4. преобразовать декартовы координаты в сферические.

Если третий пункт пропустить, на выходе вместо долготы λ₂ получится разность долгот (λ₂ − λ₁), что упростит алгоритм. Останется только прибавить долготу первого пункта. С другой строны, благодаря третьему пункту долгота λ₂ всегда будет в диапазоне [−180°, +180°].

Пример реализации алгоритма в виде функции языка Си:

/*
 * Решение прямой геодезической задачи
 *
 * Аргументы исходные:
 *     pt1  - {широта, долгота} точки Q₁
 *     azi  - азимут начального направления
 *     dist - расстояние (сферическое)
 *
 * Аргументы определяемые:
 *     pt2  - {широта, долгота} точки Q₂
 */
void SphereDirect(double pt1[], double azi, double dist, double pt2[])
{
  double pt[2], x[3];

  pt[0] = M_PI_2 - dist;
  pt[1] = M_PI - azi;
  SpherToCart(pt, x);			// сферические -> декартовы
  Rotate(x, pt1[0] - M_PI_2, 1);	// первое вращение
  Rotate(x, -pt1[1], 2);		// второе вращение
  CartToSpher(x, pt2);	     		// декартовы -> сферические

  return;
}

Следует заметить, что прямая и обратная задача математически идентичны, и алгоритмы их решения зеркально отражают друг друга.

Преобразование сферических координат в декартовы

${\begin{array}{rcl}x&=&\cos \varphi \cos \lambda \\y&=&\cos \varphi \sin \lambda \\z&=&\sin \varphi \end{array}}$

В данном случае в качестве сферических координат φ, λ подставим углы (90° − σ), (180° − α₁).

Реализация на Си:

/*
 * Преобразование сферических координат в вектор
 *
 * Аргументы исходные:
 *     y - {широта, долгота}
 *
 * Аргументы определяемые:
 *     x - вектор {x, y, z}
 */
void SpherToCart(double y[], double x[])
{
  double p;

  p = cos(y[0]);
  x[2] = sin(y[0]);
  x[1] = p * sin(y[1]);
  x[0] = p * cos(y[1]);

  return;
}

Вращение вокруг оси

Представим оператор вращения вокруг оси X на угол θ в следующем виде:

${\begin{array}{rcl}x'&=&x\\y'&=&y\cos \theta +z\sin \theta \\z'&=&-y\sin \theta +z\cos \theta \end{array}}$

Операторы вращения вокруг осей Y и Z получаются перестановкой символов.

Реализация вращения вокруг i-ой координатной оси на Си:

/*
 * Вращение вокруг координатной оси
 *
 * Аргументы:
 *     x - входной/выходной 3-вектор
 *     a - угол вращения
 *     i - номер координатной оси (0..2)
 */
void Rotate(double x[], double a, int i)
{
  double c, s, xj;
  int j, k;

  j = (i + 1) % 3;
  k = (i - 1) % 3;
  c = cos(a);
  s = sin(a);
  xj = x[j] * c + x[k] * s;
  x[k] = -x[j] * s + x[k] * c;
  x[j] = xj;

  return;
}

Преобразование декартовых координат в сферические

${\begin{array}{rcl}\lambda &=&\operatorname {arctg\,} {\dfrac {y}{x}}\\\varphi &=&\operatorname {arctg\,} {\dfrac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\end{array}}$

В данном случае в роли сферических координат φ, λ окажутся φ₂, λ₂.

Реализация на Си:

/*
 * Преобразование вектора в сферические координаты
 *
 * Аргументы исходные:
 *     x - {x, y, z}
 *
 * Аргументы определяемые:
 *     y - {широта, долгота}
 *
 * Возвращает:
 *     длину вектора
 */
double CartToSpher(double x[], double y[])
{
  double p;

  p = sqrt(x[0] * x[0] + x[1] * x[1]);
  y[1] = atan2(x[1], x[0]);
  y[0] = atan2(x[2], p);

  return sqrt(p * p + x[2] * x[2]);
}

Пример программной реализации

Исходники вышеприведённых функций можно найти в архиве Sph.tar.gz в файле sph.c. Кроме того, в файл sph.h включены следующие определения:

#define A_E 6371.0				// радиус Земли в километрах
#define Degrees(x) (x * 57.29577951308232)	// радианы -> градусы
#define Radians(x) (x / 57.29577951308232)	// градусы -> радианы

Теперь напишем программу, которая обращается к функции SphereDirect для решения прямой задачи:

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include "sph.h"

int main(int argc, char *argv[])
{
  char buf[1024];
  double pt1[2], pt2[2];
  double lat1, lon1, azi1, dist, azi2;

  while (fgets(buf, 1024, stdin) != NULL) {
    sscanf(buf, "%lf %lf %lf %lf", &lat1, &lon1, &azi1, &dist);
    pt1[0] = Radians(lat1);
    pt1[1] = Radians(lon1);
    SphereDirect(pt1, Radians(azi1), dist / A_E, pt2);	// Решение прямой задачи
    SphereInverse(pt2, pt1, &azi2, &dist);		// Вычисление обратного азимута
    printf("%f\t%f\t%f\n", Degrees(pt2[0]), Degrees(pt2[1]), Degrees(azi2));
  }
  return 0;
}

В архиве Sph.tar.gz этот код находится в файле dir.c. Создадим исполняемый модуль dir компилятором gcc:

$ gcc -o dir dir.c sph.c -lm

Впрочем, в архиве есть Makefile. Для MS Windows готовую программу dir.exe можно найти в архиве Sph-win32.zip.

Программа читает данные из стандартного ввода консоли и отправляет результаты на стандартный вывод. Для чтения и записи файлов используются символы перенаправления потока «>» и «<» соответственно. Из каждой строки ввода программа считывает координаты первого пункта φ₁, λ₁, начальный азимут α₁ в градусах и расстояние s в километрах; решает прямую задачу; записывает в строку вывода координаты второго пункта φ₂, λ₂ и обратный азимут α₂ в градусах.

Создадим файл dir.dat, содержащий одну строку данных:

30 0 44.804060 5001.1309

После запуска программы

$ dir < dir.dat

получим φ₂, λ₂, α₂:

52.000000 54.000001 262.415109

Решение прямой задачи средствами PROJ.4

В пакет PROJ.4 входит программа geod, предназначенная для решения прямых и обратных геодезических задач на сфере. Так выглядит команда обработки файла dir.dat:

$ geod +a=6371000 -f "%f" +units=km dir.dat

Параметр +a определяет радиус сферы, -f — формат вывода угловых величин, +units — единица измерения расстояний. В результате получим идентичный результат:

52.000000 54.000001 -97.584891

Различие значений α₂ на 360° объясняется тем, что dir выводит азимуты в диапазоне от 0° до 360°, а geod от −180° до +180°.

С помощью geod можно также расставить промежуточные точки вдоль геодезической линии либо по дуге малого круга на заданном расстоянии от исходного пункта. В обоих случаях нужно задать положение начальной точки параметрами +lat_1, +lon_1 и либо координаты второй точки +lat_2, +lon_1, либо расстояние и азимут ко второй точке +S, +A. За подробностями обращайтесь к документации.

Альтернативные методы

Большая часть других методов основана на сферической тригонометрии. Многие из них используют вычисление φ₂ или (λ₂ − λ₁) по таким функциям, как синус, косинус или гаверсинус. Это приводит к неоднозначности результатов вблизи особых значений, когда производная функции равна нулю. Такие методы не могут считаться универсальными.

Действительно надёжный способ таков:

${\begin{array}{rcl}\xi &=&\cos \sigma \cos \varphi _{1}-\sin \sigma \sin \varphi _{1}\cos \alpha _{1}\\\eta &=&\sin \sigma \sin \alpha _{1}\\\operatorname {tg\,} (\lambda _{2}-\lambda _{1})&=&{\dfrac {\eta }{\xi }}\\\operatorname {tg\,} \varphi _{2}&=&{\dfrac {\sin \varphi _{1}\cos \sigma +\cos \varphi _{1}\sin \sigma \cos \alpha _{1}}{\xi \cos(\lambda _{2}-\lambda _{1})+\eta \sin(\lambda _{2}-\lambda _{1})}}\end{array}}$

В сферической тригонометрии углы и стороны должны быть в диапазоне [0, 180°]. Алгоритмизация формул требует анализа и обработки случаев, когда входные величины не попадают в эти рамки.

Ссылки

• Вычисление расстояния и начального азимута между двумя точками на сфере
• Задачи на сфере: обратная геодезическая задача
• Задачи на сфере: угловая засечка
• Задачи на сфере: линейная засечка
• Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия
• man_geod – PROJ.4
• Earth radius