Геодезические системы пространственных координат
Рассматриваются преобразования между пространственными координатными системами. Приводится пример программной реализации на языке Питон.
Земной эллипсоид
Земным эллипсоидом называется эллипсоид вращения, поверхность которого по форме и размерам довольно близка к поверхности геоида.
Поверхность эллипсоида образуется вращением эллипса вокруг его малой оси.
Эллипс обычно определяется размером его большой полуоси a и сжатием f. Реже вместо сжатия задаётся размер малой полуоси b:
В теории и практике вычислений широко используются такие параметры, как полярный радиус кривизны поверхности c, первый эксцентриситет e и второй эксцентриситет e′:
Пример функции Питона, вычисляющей по a и f параметры b, c, e и e′:
def initSpher(a, f):
b = a * (1. - f)
c = a / (1. - f)
e2 = f * (2. - f)
e12 = e2 / (1. - e2)
return (b, c, e2, e12)
Системы координат
Рассмотрим следующие системы координат.
- Геоцентрические декартовы прямоугольные координаты:
- начало координат находится в центре эллипсоида,
- ось z расположена вдоль оси вращения эллипсоида и направлена в северный полюс,
- ось x лежит в пересечении экватора и начального меридиана,
- ось y лежит в пересечении экватора и меридиана с долготой L = 90°.
- Система геодезических координат:
- геодезическая широта B
- угол между нормалью к поверхности эллипсоида и плоскостью экватора,
- геодезическая долгота L
- двугранный угол между плоскостями данного и начального меридианов,
- геодезическая высота H
- кратчайшее расстояние до поверхности эллипсоида.
- Топоцентрические декартовы прямоугольные координаты:
- начало координат находится в некоторой точке Q₀ (B₀, L₀, H₀) над эллипсоидом,
- ось z расположена вдоль нормали к поверхности эллипсоида и направлена вверх,
- ось x расположена в плоскости меридиана и направлена на север,
- ось y перпендикулярна к осям x и z и направлена на восток.
Помимо широкого использования в геодезических целях, каждая из представленных координатных систем находит важное применение в прикладных областях.
Геодезические координаты со времён седой древности используются в навигации и картографии. В картографии они являются основой построения проекций.
Геоцентрическая система координат необходима для вычисления спутниковых орбит и решения других орбитальных задач.
Проекции, используемые картографами различных стран, основаны на различных геодезических датумах, т.е. созданы на различных эллипсоидах с разными размерами, положением центров и ориентацией осей в пространстве. Самый простой и точный способ пересчёта координат, заданных в разных датумах, зиждется на преобразованиях между геодезическими и геоцентрическими системами. В общем случае схема пересчёта координат между двумя проекциями выполняется в пять этапов:
- координаты первой проекции в геодезические координаты на первом эллипсоиде,
- геодезические координаты в геоцентрическую систему первого датума,
- геоцентрические координаты первого датума в геоцентрические координаты второго датума,
- геоцентрические координаты в геодезические координаты второго эллипсоида,
- геодезические координаты в координаты второй проекции.
Топоцентрическая система координат — естественная система для работы различных наземных объектов: стартовых ракетных комплексов, станций слежения за спутниками, станций ПВО и других измерительных комплексов. Естественно, собираемая информация в каждом случае преобразуется в общую систему координат, связанную с Землёй — геодезическую систему координат.
Преобразования координат
Переход от геодезических координат к геоцентрическим
Это преобразование выполняется по следующим формулам:
Здесь N — так называемый радиус кривизны первого вертикала:
Реализация на Питоне:
def fromLatLong(lat, lon, h, a, f):
b, c, e2, e12 = initSpher(a, f)
cos_lat = math.cos(lat)
n = c / math.sqrt(1. + e12 * cos_lat ** 2)
p = (n + h) * cos_lat
x = p * math.cos(lon)
y = p * math.sin(lon)
z = (n + h - e2 * n) * math.sin(lat)
return (x, y, z)
Переход от геоцентрических координат к геодезическим
Проще всего вычисляется долгота:
Сложнее с определением широты и высоты. Существует множество способов решения этой задачи. Воспользуемся итеративным методом Боуринга.
В начале находится предварительная оценка широты B:
Здесь ρ — геоцентрический радиус-вектор, r — расстояние от оси вращения эллипсоида:
Затем вычисляется параметр θ и получается уточнённое значение широты:
Действия по последним двум формулам предполагается повторять до сходимости к требуемой точности. Как правило, бывает достаточно одной итерации. В примере реализации метода Боуринга, приведённом ниже, запрограммировано две итерации.
В конце определяется высота:
def toLatLong(x, y, z, a, f):
b, c, e2, e12 = initSpher(a, f)
p = math.hypot(x, y)
if p == 0.:
lat = math.copysign(math.pi / 2., z)
lon = 0.
h = math.fabs(z) - b
else:
t = z / p * (1. + e12 * b / math.hypot(p, z))
for i in range(2):
t = t * (1. - f)
lat = math.atan(t)
cos_lat = math.cos(lat)
sin_lat = math.sin(lat)
t = (z + e12 * b * sin_lat ** 3) / (p - e2 * a * cos_lat ** 3)
lon = math.atan2(y, x)
lat = math.atan(t)
cos_lat = math.cos(lat)
n = c / math.sqrt(1. + e12 * cos_lat ** 2)
if math.fabs(t) <= 1.:
h = p / cos_lat - n
else:
h = z / math.sin(lat) - n * (1. - e2)
return (lat, lon, h)
Переход от геоцентрических координат к топоцентрическим
Постановка задачи: начало топоцентрической системы координат задано точкой Q₀ (B₀, L₀, H₀); по геоцентрическим координатам точки Q (x, y, z) вычислить её топоцентрические координаты.
Конформное преобразование между двумя декартовыми прямоугольными системами координат всегда может быть представлено последовательностью сдвигов и вращений координатной системы. Данное преобразование можно реализовать по следующему алгоритму:
- сместить начало координат вдоль оси z на величину e² N₀ sin B₀ до вершины конуса, образованного нормалями, лежащими на параллели с широтой B₀,
- повернуть систему координат вокруг оси z на угол L₀, чтобы ось x оказалась в плоскости меридиана точки Q₀,
- повернуть систему координат вокруг оси y на угол 90° − B₀, чтобы ось z совпала с нормалью к поверхности эллипсоида в точке Q₀,
- сместить начало координат вдоль оси z на величину N₀ + H₀ в точку Q₀,
- изменить знак x на противоположный.
Реализация алгоритма:
def toTopo(lat0, lon0, h0, x, y, z, a, f):
b, c, e2, e12 = initSpher(a, f)
sin_lat = math.sin(lat0)
n = a / math.sqrt(1. - e2 * sin_lat ** 2)
z = z + e2 * n * sin_lat
x, y = rotate(x, y, lon0)
z, x = rotate(z, x, math.pi / 2. - lat0)
z = z - (n + h0)
x = -x
return (x, y, z)
Функция toTopo() содержит обращения к функции вращения rotate():
def rotate(x, y, a):
c, s = math.cos(a), math.sin(a)
return (x * c + y * s, -x * s + y * c)
Переход от топоцентрических координат к геоцентрическим
Постановка задачи: начало топоцентрической системы координат задано точкой Q₀ (B₀, L₀, H₀); по топоцентрическим координатам точки Q (x, y, z) вычислить её геоцентрические координаты.
Алгоритм решения получается обращением алгоритма обратной задачи:
- изменить знак x на противоположный,
- сместить начало координат вдоль оси z на величину N₀ + H₀ в точку пересечения с осью вращения эллипсоида,
- повернуть систему координат вокруг оси y на угол B₀ − 90°, чтобы ось z совпала с осью вращения эллипсоида,
- повернуть систему координат вокруг оси z на угол −L₀, чтобы ось x оказалась в плоскости начального меридиана,
- сместить начало координат вдоль оси z на величину e² N₀ sin B₀ в центр эллипсоида.
Реализация алгоритма:
def fromTopo(lat0, lon0, h0, x, y, z, a, f):
b, c, e2, e12 = initSpher(a, f)
sin_lat = math.sin(lat0)
n = a / math.sqrt(1. - e2 * sin_lat ** 2)
x = -x
z = z + (n + h0)
z, x = rotate(z, x, lat0 - math.pi / 2.)
x, y = rotate(x, y, -lon0)
z = z - e2 * n * sin_lat
return (x, y, z)
Переход от геодезических координат к топоцентрическим. Обратная пространственная задача
Постановка задачи: начало топоцентрической системы координат задано точкой Q₀ (B₀, L₀, H₀); по геодезическим координатам точки Q (B, L, H) вычислить её топоцентрические координаты x, y, z.
Задача решается последовательным применением готовых алгоритмов:
- по геодезическим координатам точки B, L, H вычислить её геоцентрические координаты x, y, z,
- по геоцентрическим координатам точки вычислить её топоцентрические координаты x, y, z.
Реализация алгоритма:
def inverse3d(lat0, lon0, h0, lat, lon, h, a, f):
x, y, z = fromLatLong(lat, lon, h, a, f)
return toTopo(lat0, lon0, h0, x, y, z, a, f)
Рассмотренная задача является разновидностью обратной геодезической задачи в пространстве. Вместо декартовых прямоугольных топоцентрических координат может требоваться вычисление каких-то других связанных с ними величин, например, полярных координат «дальность-азимут-зенитное расстояние», варианты могут быть разные. Однако в большинстве случаев сначала находятся топоцентрические x, y, z, по которым и выводятся искомые значения.
Переход от топоцентрических координат к геодезическим. Прямая пространственная задача
Постановка задачи: начало топоцентрической системы координат задано точкой Q₀ (B₀, L₀, H₀); по топоцентрическим координатам точки Q (x, y, z) вычислить её геодезические координаты B, L, H.
Задача решается через вычисление геоцентрических координат:
- по тороцентрическим координатам точки x, y, z вычислить её геоцентрические координаты,
- по геоцентрическим координатам точки x, y, z вычислить её геодезические координаты B, L, H.
Реализация алгоритма:
def forward3d(lat0, lon0, h0, x, y, z, a, f):
x, y, z = fromTopo(lat0, lon0, h0, x, y, z, a, f)
return toLatLong(x, y, z, a, f)
Эта задача является разновидностью прямой геодезической задачи в пространстве. Вместо декартовых прямоугольных топоцентрических координат могут задаваться какие-то другие связанные с ними величины, например, полярные координаты «дальность-азимут-зенитное расстояние», варианты могут быть разные. Однако в большинстве случаев сначала находятся топоцентрические x, y, z, по которым и решается задача.
Пример программной реализации
Коды вышеприведённых функций находятся в архиве Spheroid.zip в файле spheroid.py. Напишем программы, которые используют их для преобразования координат.
Пересчёт топоцентрических координат в геодезические
В этом примере программы явно задаются параметры эллипсоида a, f и геодезические координаты начала топоцентрической системы B₀, L₀, H₀. Координаты точек x, y, z читаются из файла данных и пересчитанные значения B, L, H выводятся в консоль.
from sys import argv
import math
import spheroid
script, fn = argv
a, f = 6378137., 1./298.257223563 # WGS 84
lat0, lon0, hgt0 = math.radians(65.), math.radians(45.), 500.
fp = open(fn, 'r')
for line in fp:
x, y, z = map(float, line.split(" "))
lat, lon, hgt = spheroid.forward3d(lat0, lon0, hgt0, x, y, z, a, f)
print "%.8f %.8f %.3f" % (math.degrees(lat), math.degrees(lon), hgt)
fp.close()
Этот скрипт находится в архиве Spheroid.zip в файле forwrd3d.py.
Файл данных должен содержать в каждой строке координаты одной точки x, y, z, разделённые пробелом. Создадим файл данных fwd3d.dat:
-40000 30000 0
Выполним скрипт в командной строке:
$ python forwrd3d.py fwd3d.dat
Координаты на выходе:
64.63992461 45.62743323 695.578
Запишем полученные координаты в файл результатов inv3d.dat:
$ python forwrd3d.py fwd3d.dat > inv3d.dat
Пересчёт геодезических координат в топоцентрические
В этом примере программы явно задаются параметры эллипсоида a, f и геодезические координаты начала топоцентрической системы B₀, L₀, H₀. Координаты точек B, L, H читаются из файла данных и пересчитанные значения x, y, z выводятся в консоль.
from sys import argv
import math
import spheroid
script, fn = argv
a, f = 6378137., 1./298.257223563 # WGS 84
lat0, lon0, hgt0 = math.radians(65.), math.radians(45.), 500.
fp = open(fn, 'r')
for line in fp:
lat, lon, hgt = map(float, line.split(" "))
lat = math.radians(lat)
lon = math.radians(lon)
x, y, z = spheroid.inverse3d(lat0, lon0, hgt0, lat, lon, hgt, a, f)
print "%.3f %.3f %.3f" % (x, y, z)
fp.close()
Этот скрипт находится в архиве Spheroid.zip в файле invers3d.py.
Файл данных должен содержать в каждой строке координаты одной точки B, L, H, разделённые пробелом. Используем в качестве файла данных созданный выше inv3d.dat:
64.63992461 45.62743323 695.578
Выполним скрипт в командной строке:
$ python invers3d.py inv3d.dat
Координаты на выходе:
-40000.000 30000.000 0.000