Конформное преобразование

Конформное преобразование на плоскости широко используется в геодезии при создании местных координатных систем на небольшие территории, ограниченные размерами населённого пункта.

Введение

Следующие формулы связывают координаты точек x, y, заданные в местной системе координат (МСК), и координаты X, Y, заданные в государственной системе координат (ГСК):

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} X & = & X_0 + m \big[ (x - x_0) \cos \theta - (y - y_0) \sin \theta \big] \\ Y & = & Y_0 + m \big[ (x - x_0) \sin \theta + (y - y_0) \cos \theta \big] \end{array}}

где m — масштабный множитель, θ — угол разворота, X₀, Y₀, x₀, y₀ — координаты одного из геодезических пунктов в ГСК и МСК, как правило. Этот набор параметров называется «ключ».

Исходный материал для определения ключа — пары координат пунктов геодезической сети, полученные из независимого уравнивания одних и тех же измерений в МСК и в ГСК. В зависимости от класса пунктам (вернее, соответствующим парам уравнений) назначаются веса p.

Алгоритм нахождения параметров

В общем случае для определения параметров конформного преобразования принимается следующая математическая модель:

${\begin{array}{lcl}X'&=&a_{0}+a_{1}x-b_{1}y\\Y'&=&b_{0}+b_{1}x+a_{1}y\end{array}}$

и вычислению подлежат четыре параметра.

Очевидно, конформное преобразование является частным случаем аффинного.

Шаг 1: вычисление взвешенных средних

${\bar {x}}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}}}\quad {\bar {y}}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}y_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}}}\quad {\bar {X}}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}X_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}}}\quad {\bar {Y}}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}Y_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}}}$

Шаг 2: перенос осей в центр масс

$\Delta x_{i}=x_{i}-{\bar {x}}\quad \Delta y_{i}=y_{i}-{\bar {y}}\quad \Delta X_{i}=X_{i}-{\bar {X}}\quad \Delta Y_{i}=Y_{i}-{\bar {Y}}$

Шаг 3: вычисление a₁ и b₁

$S_{1}=\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}\Delta X_{i}\Delta x_{i}$	$S_{2}=\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}\Delta Y_{i}\Delta y_{i}$
$S_{3}=\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}\Delta Y_{i}\Delta x_{i}$	$S_{4}=\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}\Delta X_{i}\Delta y_{i}$
$S_{5}=\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}\left(\Delta x_{i}^{2}+\Delta y_{i}^{2}\right)$
$a_{1}={\frac {S_{1}+S_{2}}{S_{5}}}$	$b_{1}={\frac {S_{3}-S_{4}}{S_{5}}}$

Шаг 4: вычисление a₀ и b₀

${\begin{array}{lcl}a_{0}&=&{\bar {X}}-a_{1}{\bar {x}}+b_{1}{\bar {y}}\\b_{0}&=&{\bar {Y}}-b_{1}{\bar {x}}-a_{1}{\bar {y}}\end{array}}$

Шаг 5: вычисление невязок

$v_{xi}=X_{i}-X_{i}'\quad v_{yi}=Y_{i}-Y_{i}'$

Невязки позволяют выявить точки, плохо укладывающиеся в полученную модель. Классическая процедура удаляет такие «отлетающие» точки, после чего вычисление параметров повторяется без них. Робастные процедуры переназначают веса уравнениям в соответствии с невязками, и повторное вычисление повторяется с полным набором точек при том, что «отлетающие» влияют на результат незначительно.

Кроме того, невязки необходимы для оценки точности измерений и результатов в целом.

Шаг 6: вычисление ключа

Вычислим масштабный множитель и угол разворота:

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m = \sqrt{a_1^2 + b_1^2} \qquad \theta = \operatorname{arc\,tg} \frac{b_1}{a_1} }

Выберем пункт с малыми невязками по возможности в середине массива точек. Его координаты в обеих системах X_i, Y_i, x_i, y_i становятся параметрами X₀, Y₀, x₀, y₀.

Впрочем, такой пункт может быть выбран ещё до вычисления параметров. Тогда параметры a₀, b₀ теряют независимость, и их определение становится ненужным. Шаги 1 и 4 выпадают из алгоритма, а шаг 2 заменяется на следующий набор уравнений:

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta x_i = x_i - x_0 \quad \Delta y_i = y_i - y_0 \quad \Delta X_i = X_i - X_0 \quad \Delta Y_i = Y_i - Y_0 }

В результате параметры a₁, b₁ и m, θ получатся несколько другими. Впрочем, отличие, как правило, несущественно даже по меркам геодезии.