Создание треугольных сеток на сфере

Эта страница является черновиком статьи.

Два-три предложения.

Генерация сетки в сферическом треугольнике

В качестве базы для создания сетки используется сферический треугольник, заданный координатами своих вершин.

Метод бисекций

Назовём бисекциями операции деления исходного треугольника на четыре треугольника нового поколения. Собственно термин «бисекция» относится к делению сторон пополам. В середины рёбер вставляются новые вершины (белые точки на рисунках), которые соединяются новыми рёбрами (пунктирные линии), образующими новые треугольники. Следующее поколение получается очередной бисекцией.

В терминах геометрии на сфере задача вставки точек в стороны треугольников решается последовательным решением обратной и прямой геодезических задач. Однако в данном случае гораздо проще использовать векторную алгебру. Пусть концы стороны заданы векторами a и b; тогда средняя точка f вычисляется как их нормированная сумма:

$\mathbf {f} ={\frac {\mathbf {a} +\mathbf {b} }{|\mathbf {a} +\mathbf {b} |}}$

Первая бисекция	Вторая бисекция
Трисекция

Метод трисекций

Исходный треугольник делится на девять треугольников нового поколения. В результате трисекции каждая сторона делится на три равных отрезка, в концы которых вставляются вершины. Итого шесть новых вершин, и седьмая вставляется в геометрический центр треугольника. Вершины соединяются рёбрами, образующими треугольники.

Проще всего вычислить положение центральной точки g:

$\mathbf {g} ={\frac {\mathbf {a} +\mathbf {b} +\mathbf {c} }{|\mathbf {a} +\mathbf {b} +\mathbf {c} |}}$

где a, b и c — векторы вершин исходного треугольника.

Разделить стороны на три равных отрезка сложнее. Простое решение предлагает утилита PROJ.4 geod:

$ geod +a=радиус_Земли +lat_1=широта_1 +lon_1=долгота_1 +lat_2=широта_2 +lon_2=долгота_2 +n_S=3

где параметры lat_1, lon_1, lat_2, lon_2 задают начало и конец линии, а параметр n_S задаёт число отрезков. Результатом будут широты и долготы четырёх точек, лежащих на равных расстояниях вдоль отрезка.

Ссылки

• Задачи на сфере: обратная геодезическая задача
• Задачи на сфере: прямая геодезическая задача
• man_geod – PROJ.4