Конформное преобразование

Конформное преобразование на плоскости широко используется в геодезии при создании местных координатных систем на небольшие территории, ограниченные, как правило, размерами населённого пункта.

Введение

Следующие формулы связывают координаты точек x, y, заданные в местной системе координат (МСК), и координаты X, Y, заданные в государственной системе координат (ГСК):

${\begin{array}{lcl}X&=&a_{0}+m(x\cos \theta -y\sin \theta )\\Y&=&b_{0}+m(x\sin \theta +y\cos \theta )\end{array}}$

где a₀, b₀ — положение начала МСК в ГСК, m — масштабный множитель, θ — угол разворота.

Используемый в геодезии набор параметров называется «ключ». Он определяется следующими величинами: X₀, Y₀, x₀, y₀, m, θ. Первые четыре — обычно координаты одного из геодезических пунктов в двух системах.

Исходный материал для определения параметров — пары координат пунктов геодезической сети, полученные из независимого уравнивания одних и тех же измерений в МСК и в ГСК. В зависимости от класса пунктам (вернее, парам уравнений) назначаются веса p.

Алгоритм нахождения параметров

Для определения четырёх параметров принимается следующая математическая модель:

${\begin{array}{lcl}X'&=&a_{0}+a_{1}x-b_{1}y\\Y'&=&b_{0}+b_{1}x+a_{1}y\end{array}}$

Очевидно, конформное преобразование является частным случаем аффинного.

1. Вычисление взвешенных средних

${\bar {x}}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}}}\quad {\bar {y}}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}y_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}}}\quad {\bar {X}}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}X_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}}}\quad {\bar {Y}}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}Y_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}}}$

2. Перенос осей в центр масс

$\Delta x_{i}=x_{i}-{\bar {x}}\quad \Delta y_{i}=y_{i}-{\bar {y}}\quad \Delta X_{i}=X_{i}-{\bar {X}}\quad \Delta Y_{i}=Y_{i}-{\bar {Y}}$

3. Вычисление a₁ и b₁

$S_{1}=\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}\Delta X_{i}\Delta x_{i}$	$S_{2}=\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}\Delta Y_{i}\Delta y_{i}$
$S_{3}=\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}\Delta Y_{i}\Delta x_{i}$	$S_{4}=\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}\Delta X_{i}\Delta y_{i}$
$S_{5}=\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}\left(\Delta x_{i}^{2}+\Delta y_{i}^{2}\right)$
$a_{1}={\frac {S_{1}+S_{2}}{S_{5}}}$	$b_{1}={\frac {S_{3}-S_{4}}{S_{5}}}$