Конформное преобразование

Конформное преобразование на плоскости широко используется в геодезии при создании местных координатных систем на небольшие территории, ограниченные размерами населённого пункта.

Введение

Следующие формулы связывают координаты точек x, y, заданные в местной системе координат (МСК), и координаты X, Y, заданные в государственной системе координат (ГСК):

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} X & = & X_0 + m \big[ (x - x_0) \cos \theta - (y - y_0) \sin \theta \big] \\ Y & = & Y_0 + m \big[ (x - x_0) \sin \theta + (y - y_0) \cos \theta \big] \end{array}}

где m — масштабный множитель, θ — угол разворота, X₀, Y₀, x₀, y₀ — координаты одного из геодезических пунктов в ГСК и МСК, как правило. Этот набор параметров называется «ключ».

Исходный материал для определения ключа — пары координат пунктов геодезической сети, полученные из независимого уравнивания одних и тех же измерений в МСК и в ГСК. В зависимости от класса пунктам (вернее, соответствующим парам уравнений) назначаются веса p.

Алгоритм нахождения параметров

В общем случае для определения параметров конформного преобразования принимается следующая математическая модель:

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} X' & = & a_0 + a_1 x - b_1 y \\ Y' & = & b_0 + b_1 x + a_1 y \end{array}}

и вычислению подлежат четыре параметра.

Очевидно, конформное преобразование является частным случаем аффинного.

Шаг 1: вычисление взвешенных средних

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bar{x} = \frac{\sum\limits_{i=1}^n p_i x_i}{\sum\limits_{i=1}^n p_i} \quad \bar{y} = \frac{\sum\limits_{i=1}^n p_i y_i}{\sum\limits_{i=1}^n p_i} \quad \bar{X} = \frac{\sum\limits_{i=1}^n p_i X_i}{\sum\limits_{i=1}^n p_i} \quad \bar{Y} = \frac{\sum\limits_{i=1}^n p_i Y_i}{\sum\limits_{i=1}^n p_i} }

Шаг 2: перенос осей в центр масс

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta x_i = x_i - \bar{x} \quad \Delta y_i = y_i - \bar{y} \quad \Delta X_i = X_i - \bar{X} \quad \Delta Y_i = Y_i - \bar{Y} }

Шаг 3: вычисление a₁ и b₁

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_1 = \sum\limits_{i=1}^n p_i \Delta X_i \Delta x_i}	Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_2 = \sum\limits_{i=1}^n p_i \Delta Y_i \Delta y_i}
Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_3 = \sum\limits_{i=1}^n p_i \Delta Y_i \Delta x_i}	Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_4 = \sum\limits_{i=1}^n p_i \Delta X_i \Delta y_i}
Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_5 = \sum\limits_{i=1}^n p_i \left( \Delta x_i^2 + \Delta y_i^2 \right)}
Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_1 = \frac{S_1 + S_2}{S_5}}	Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b_1 = \frac{S_3 - S_4}{S_5}}

Шаг 4: вычисление a₀ и b₀

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} a_0 & = & \bar{X} - a_1 \bar{x} + b_1 \bar{y} \\ b_0 & = & \bar{Y} - b_1 \bar{x} - a_1 \bar{y} \end{array}}

Шаг 5: вычисление невязок

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_{xi} = X_i - X_i' \quad v_{yi} = Y_i - Y_i' }

Невязки позволяют выявить точки, плохо укладывающиеся в полученную модель. Классическая процедура удаляет такие «отлетающие» точки, после чего вычисление параметров повторяется без них. Робастные процедуры переназначают веса уравнениям в соответствии с невязками, и повторное вычисление повторяется с полным набором точек при том, что «отлетающие» влияют на результат незначительно.

Кроме того, невязки необходимы для оценки точности измерений и результатов в целом.

Шаг 6: вычисление ключа

Вычислим масштабный множитель и угол разворота:

$m={\sqrt {a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}}\qquad \theta =\operatorname {arc\,tg} {\frac {b_{1}}{a_{1}}}$

Выберем пункт с малыми невязками по возможности в середине массива точек. Его координаты в обеих системах X_i, Y_i, x_i, y_i становятся параметрами X₀, Y₀, x₀, y₀.

Впрочем, такой пункт может быть выбран ещё до вычисления параметров. Тогда параметры a₀, b₀ теряют независимость, и их определение становится ненужным. Шаги 1 и 4 выпадают из алгоритма, а шаг 2 заменяется на следующий набор уравнений:

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta x_i = x_i - x_0 \quad \Delta y_i = y_i - y_0 \quad \Delta X_i = X_i - X_0 \quad \Delta Y_i = Y_i - Y_0 }

В результате параметры a₁, b₁ и m, θ получатся несколько другими. Впрочем, отличие, как правило, несущественно даже по меркам геодезии.