Конформное преобразование

Введение

Конформное преобразование на плоскости широко используется в геодезии при создании местных координатных систем на небольшие территории, ограниченные, как правило, размерами населённого пункта.

Математическая модель

Следующие формулы связывают координаты точек x, y, заданные в местной системе координат (МСК), и координаты X, Y, заданные в государственной системе координат (ГСК):

${\begin{array}{lcl}X&=&a_{0}+m(x\cos \theta -y\sin \theta )\\Y&=&b_{0}+m(x\sin \theta +y\cos \theta )\end{array}}$

где параметры a₀, b₀ — положение начала МСК в ГСК, m — масштабный множитель, θ — угол разворота.

Для определения этих четырёх параметров принимается следующая математическая модель:

${\begin{array}{lcl}X'&=&a_{0}+a_{1}x-b_{1}y\\Y'&=&b_{0}+b_{1}x+a_{1}y\end{array}}$

Очевидно, конформное преобразование является частным случаем аффинного.

В геодезии набор параметров называется «ключ». Исходный материал для его определения — пары координат пунктов геодезической сети, полученные из независимого уравнивания измерений в МСК и в ГСК. В зависимости от класса пунктам (вернее, парам уравнений) назначаются веса.

Ключ включает следующие параметры: X₀, Y₀, x₀, y₀, m, θ. Первые четыре величины — обычно координаты одного из геодезических пунктов.