Конформное преобразование

Введение

Конформное преобразование на плоскости широко используется в геодезии при создании местных координатных систем на небольшие территории, ограниченные, как правило, размерами населённого пункта.

Математическая модель

Следующие формулы связывают координаты точек x, y, заданные в местной системе координат (МСК), и координаты X, Y, заданные в государственной системе координат (ГСК):

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} X & = & a_0 + m (x\cos\theta - y\sin\theta) \\ Y & = & b_0 + m (x\sin\theta + y\cos\theta) \end{array}}

где параметры a₀, b₀ — положение начала МСК в ГСК, m — масштабный множитель, θ — угол разворота.

Для определения этих четырёх параметров принимается следующая математическая модель:

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} X' & = & a_0 + a_1 x - b_1 y \\ Y' & = & b_0 + b_1 x + a_1 y \end{array}}

Очевидно, конформное преобразование является частным случаем аффинного.

В геодезии набор параметров называется «ключ». Исходный материал для его определения — пары координат пунктов геодезической сети, полученные из независимого уравнивания измерений в МСК и в ГСК. В зависимости от класса пунктам (т. е. парам уравнений) назначаются веса.

Ключ включает следующие параметры: X₀, Y₀, x₀, y₀, m, θ. Первые четыре величины — обычно координаты одного из геодезических пунктов.