Геодезические системы пространственных координат

Эта страница опубликована в основном списке статей сайта
по адресу http://gis-lab.info/qa/geodesic-coords.html

Рассматриваются преобразования между пространственными координатными системами. Приводится пример программной реализации на языке Питон.

Земной эллипсоид

Земным эллипсоидом называется эллипсоид вращения, поверхность которого по форме и размерам довольно близка к поверхности геоида.

Поверхность эллипсоида образуется вращением эллипса вокруг его малой оси, которая также является осью вращения эллипсоида.

Эллипс обычно определяется размером его большой полуоси a и сжатием f. Реже вместо сжатия задаётся размер малой полуоси b:

$f={\frac {a-b}{a}}\qquad b=a(1-f)$

В теории и практике вычислений широко используются такие параметры, как полярный радиус кривизны поверхности c, первый эксцентриситет e и второй эксцентриситет e′:

$c={\frac {a}{1-f}}\qquad e^{2}=f(2-f)\qquad e'^{2}={\frac {e^{2}}{1-e^{2}}}$

Пример функции Питона, вычисляющей по a и f параметры b, c, e и e′:

def initSpher(a, f):
    b = a * (1. - f)
    c = a / (1. - f)
    e2 = f * (2. - f)
    e12 = e2 / (1. - e2)
    return (b, c, e2, e12)

Системы координат

Рассмотрим следующие системы координат.

1. Геоцентрические декартовы прямоугольные координаты:
   • начало координат находится в центре эллипсоида,
   • ось z расположена вдоль оси вращения эллипсоида и направлена в северный полюс,
   • ось x лежит в пересечении экватора и начального меридиана,
   • ось y лежит в пересечении экватора и меридиана с долготой L = 90°.
2. Система геодезических координат:

   геодезическая широта B

   угол между нормалью к поверхности эллипсоида и плоскостью экватора,

   геодезическая долгота L

   угол между плоскостями данного и начального меридианов,

   геодезическая высота H

   кратчайшее расстояние до поверхности эллипсоида.

3. Топоцентрические декартовы прямоугольные координаты:
   • начало координат находится в некоторой точке Q₀ (B₀, L₀, H₀) над эллипсоидом,
   • ось z расположена вдоль нормали к поверхности эллипсоида и направлена вверх,
   • ось x расположена в плоскости меридиана и направлена на север,
   • ось y перпендикулярна к осям x и z и направлена на восток.

Помимо широкого использования в геодезических целях, каждая из представленных координатных систем находит важное применение в прикладных областях.

Геодезические координаты со времён седой древности используются в навигации и картографии. В картографии они являются основой построения проекций.

Геоцентрическая система координат необходима для вычисления спутниковых орбит и решения других орбитальных задач.

Проекции, используемые картографами различных стран, основаны на различных геодезических датумах, т.е. созданы на различных эллипсоидах с разными размерами, положением центров и ориентацией осей в пространстве. Самый простой и точный способ пересчёта координат, заданных в разных датумах, зиждется на преобразованиях между геодезическими и геоцентрическими системами. В общем случае схема пересчёта координат между двумя проекциями выполняется в пять этапов:

1. координаты первой проекции — в геодезические координаты на первом эллипсоиде,
2. геодезические координаты — в геоцентрические координаты первого датума,
3. геоцентрические координаты первого датума — в геоцентрические координаты второго датума,
4. геоцентрические координаты — в геодезические координаты на втором эллипсоиде,
5. геодезические координаты — в координаты второй проекции.

Топоцентрическая система координат — естественная система для работы различных наземных объектов: ракетных стартовых комплексов, станций слежения за спутниками, станций ПВО и других измерительных комплексов. Естественно, собираемая информация в каждом случае преобразуется в общую систему координат, связанную с Землёй — геодезическую систему координат.

Преобразования координат

Переход от геодезических координат к геоцентрическим

Это преобразование выполняется по следующим формулам:

${\begin{aligned}x&=(N+H)\cos B\cos L\\y&=(N+H)\cos B\sin L\\z&=(N+H-e^{2}N)\sin B\end{aligned}}$

Здесь N — так называемый радиус кривизны первого вертикала:

$N={\frac {a}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}B}}}={\frac {c}{\sqrt {1+e'^{2}\cos ^{2}B}}}$

Реализация на Питоне:

def fromLatLong(lat, lon, h, a, f):
    b, c, e2, e12 = initSpher(a, f)
    cos_lat = math.cos(lat)
    n = c / math.sqrt(1. + e12 * cos_lat ** 2)
    p = (n + h) * cos_lat
    x = p * math.cos(lon)
    y = p * math.sin(lon)
    z = (n + h - e2 * n) * math.sin(lat)
    return (x, y, z)

Переход от геоцентрических координат к геодезическим

Проще всего вычисляется долгота:

$\operatorname {tg\,} L={\frac {y}{x}}$

Сложнее с определением широты и высоты. Существует множество способов решения этой задачи. Воспользуемся итеративным методом Боуринга.

В начале находится предварительная оценка широты B:

$\operatorname {tg\,} B={\frac {z}{p}}\left(1+e'^{2}{\frac {b}{r}}\right)$

Здесь r — геоцентрический радиус-вектор, p — расстояние от оси вращения эллипсоида:

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\qquad p={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

Затем вычисляется параметр θ (приведённая широта) и получается уточнённое значение широты:

${\begin{aligned}\operatorname {tg\,} \theta &=(1-f)\operatorname {tg\,} B\\\operatorname {tg\,} B&={\dfrac {z+e'^{2}b\sin ^{3}\theta }{p-e^{2}a\cos ^{3}\theta }}\end{aligned}}$

Действия по последним двум формулам предполагается повторять до сходимости к требуемой точности. Как правило, бывает достаточно одной итерации. В примере реализации метода Боуринга, приведённом ниже, запрограммировано две итерации.

В конце определяется высота:

$H={\frac {p}{\cos B}}-N={\frac {z}{\sin B}}-N(1-e^{2})$

def toLatLong(x, y, z, a, f):
    b, c, e2, e12 = initSpher(a, f)
    p = math.hypot(x, y)
    if p == 0.:
        lat = math.copysign(math.pi / 2., z)
        lon = 0.
        h = math.fabs(z) - b
    else:
        t = z / p * (1. + e12 * b / math.hypot(p, z))
        for i in range(2):
            t = t * (1. - f)
            lat = math.atan(t)
            cos_lat = math.cos(lat)
            sin_lat = math.sin(lat)
            t = (z + e12 * b * sin_lat ** 3) / (p - e2 * a * cos_lat ** 3)
        lon = math.atan2(y, x)
        lat = math.atan(t)
        cos_lat = math.cos(lat)
        n = c / math.sqrt(1. + e12 * cos_lat ** 2)
        if math.fabs(t) <= 1.:
            h = p / cos_lat - n
        else:
            h = z / math.sin(lat) - n * (1. - e2)
    return (lat, lon, h)

Переход от геоцентрических координат к топоцентрическим

Постановка задачи: начало топоцентрической системы координат задано точкой Q₀ (B₀, L₀, H₀); по геоцентрическим координатам точки Q (x, y, z) вычислить её топоцентрические координаты.

Конформное преобразование между двумя декартовыми прямоугольными системами координат всегда может быть представлено последовательностью сдвигов и вращений координатной системы. Данное преобразование можно реализовать по следующему алгоритму:

• сместить начало координат вдоль оси z на величину e² N₀ sin B₀ до вершины конуса, образованного нормалями, лежащими на параллели с широтой B₀,
• повернуть систему координат вокруг оси z на угол L₀, чтобы ось x оказалась в плоскости меридиана точки Q₀,
• повернуть систему координат вокруг оси y на угол 90° − B₀, чтобы ось z совпала с нормалью к поверхности эллипсоида в точке Q₀,
• сместить начало координат вдоль оси z на величину N₀ + H₀ в точку Q₀,
• изменить знак x на противоположный.

Реализация алгоритма:

def toTopo(lat0, lon0, h0, x, y, z, a, f):
    b, c, e2, e12 = initSpher(a, f)
    sin_lat = math.sin(lat0)
    n = a / math.sqrt(1. - e2 * sin_lat ** 2)
    z = z + e2 * n * sin_lat
    x, y = rotate(x, y, lon0)
    z, x = rotate(z, x, math.pi / 2. - lat0)
    z = z - (n + h0)
    x = -x
    return (x, y, z)

Функция toTopo() содержит обращения к функции вращения rotate():

def rotate(x, y, a):
    c, s = math.cos(a), math.sin(a)
    return (x * c + y * s, -x * s + y * c)

Переход от топоцентрических координат к геоцентрическим

Постановка задачи: начало топоцентрической системы координат задано точкой Q₀ (B₀, L₀, H₀); по топоцентрическим координатам точки Q (x, y, z) вычислить её геоцентрические координаты.

Алгоритм решения получается обращением алгоритма обратной задачи:

• изменить знак x на противоположный,
• сместить начало координат вдоль оси z на величину N₀ + H₀ в точку пересечения с осью вращения эллипсоида,
• повернуть систему координат вокруг оси y на угол B₀ − 90°, чтобы ось z совпала с осью вращения эллипсоида,
• повернуть систему координат вокруг оси z на угол −L₀, чтобы ось x оказалась в плоскости начального меридиана,
• сместить начало координат вдоль оси z на величину e² N₀ sin B₀ в центр эллипсоида.

Реализация алгоритма:

def fromTopo(lat0, lon0, h0, x, y, z, a, f):
    b, c, e2, e12 = initSpher(a, f)
    sin_lat = math.sin(lat0)
    n = a / math.sqrt(1. - e2 * sin_lat ** 2)
    x = -x
    z = z + (n + h0)
    z, x = rotate(z, x, lat0 - math.pi / 2.)
    x, y = rotate(x, y, -lon0)
    z = z - e2 * n * sin_lat
    return (x, y, z)

Переход от геодезических координат к топоцентрическим. Обратная пространственная задача

Постановка задачи: начало топоцентрической системы координат задано точкой Q₀ (B₀, L₀, H₀); по геодезическим координатам точки Q (B, L, H) вычислить её топоцентрические координаты x, y, z.

Задача решается последовательным применением готовых алгоритмов:

• по геодезическим координатам точки B, L, H вычислить её геоцентрические координаты x, y, z,
• по геоцентрическим координатам точки вычислить её топоцентрические координаты x, y, z.

Реализация алгоритма:

def inverse3d(lat0, lon0, h0, lat, lon, h, a, f):
    x, y, z = fromLatLong(lat, lon, h, a, f)
    return toTopo(lat0, lon0, h0, x, y, z, a, f)

Рассмотренная задача является разновидностью обратной геодезической задачи в пространстве. Вместо декартовых прямоугольных топоцентрических координат может требоваться вычисление каких-то других связанных с ними величин, например, полярных координат «дальность-азимут-зенитное расстояние», варианты могут быть разные. Однако в большинстве случаев сначала находятся топоцентрические x, y, z, по которым и выводятся искомые значения.

Переход от топоцентрических координат к геодезическим. Прямая пространственная задача

Постановка задачи: начало топоцентрической системы координат задано точкой Q₀ (B₀, L₀, H₀); по топоцентрическим координатам точки Q (x, y, z) вычислить её геодезические координаты B, L, H.

Задача решается через вычисление геоцентрических координат:

• по тороцентрическим координатам точки x, y, z вычислить её геоцентрические координаты,
• по геоцентрическим координатам точки x, y, z вычислить её геодезические координаты B, L, H.

Реализация алгоритма:

def forward3d(lat0, lon0, h0, x, y, z, a, f):
    x, y, z = fromTopo(lat0, lon0, h0, x, y, z, a, f)
    return toLatLong(x, y, z, a, f)

Эта задача является разновидностью прямой геодезической задачи в пространстве. Вместо декартовых прямоугольных топоцентрических координат могут задаваться какие-то другие связанные с ними величины, например, полярные координаты «дальность-азимут-зенитное расстояние», варианты могут быть разные. Однако в большинстве случаев сначала находятся топоцентрические x, y, z, по которым и решается задача.

Пример программной реализации

Коды вышеприведённых функций находятся в архиве Spheroid.zip в файле spheroid.py. Напишем программы, которые используют их для преобразования координат.

Пересчёт топоцентрических координат в геодезические

В этом примере программы явно задаются параметры эллипсоида a, f и геодезические координаты начала топоцентрической системы B₀, L₀, H₀. Координаты точек x, y, z читаются из файла данных и пересчитанные значения B, L, H выводятся в консоль.

from sys import argv
import math
import spheroid

script, fn = argv

a, f = 6378137., 1./298.257223563 # WGS 84

lat0, lon0, hgt0 = math.radians(65.), math.radians(45.), 500.

fp = open(fn, 'r')
for line in fp:
    x, y, z = map(float, line.split(" "))
    lat, lon, hgt = spheroid.forward3d(lat0, lon0, hgt0, x, y, z, a, f)
    print "%.8f %.8f %.3f" % (math.degrees(lat), math.degrees(lon), hgt)
fp.close()

Этот скрипт находится в архиве Spheroid.zip в файле forwrd3d.py.

Файл данных должен содержать в каждой строке координаты одной точки x, y, z, разделённые пробелом. Создадим файл данных fwd3d.dat:

-40000 30000 0

Выполним скрипт в командной строке:

$ python forwrd3d.py fwd3d.dat

Координаты на выходе:

64.63992461 45.62743323 695.578

Запишем полученные координаты в файл результатов inv3d.dat:

$ python forwrd3d.py fwd3d.dat > inv3d.dat

Пересчёт геодезических координат в топоцентрические

В этом примере программы явно задаются параметры эллипсоида a, f и геодезические координаты начала топоцентрической системы B₀, L₀, H₀. Координаты точек B, L, H читаются из файла данных и пересчитанные значения x, y, z выводятся в консоль.

from sys import argv
import math
import spheroid

script, fn = argv

a, f = 6378137., 1./298.257223563 # WGS 84

lat0, lon0, hgt0 = math.radians(65.), math.radians(45.), 500.

fp = open(fn, 'r')
for line in fp:
    lat, lon, hgt = map(float, line.split(" "))
    lat = math.radians(lat)
    lon = math.radians(lon)
    x, y, z = spheroid.inverse3d(lat0, lon0, hgt0, lat, lon, hgt, a, f)
    print "%.3f %.3f %.3f" % (x, y, z)
fp.close()

Этот скрипт находится в архиве Spheroid.zip в файле invers3d.py.

Файл данных должен содержать в каждой строке координаты одной точки B, L, H, разделённые пробелом. Используем в качестве файла данных созданный выше inv3d.dat:

64.63992461 45.62743323 695.578

Выполним скрипт в командной строке:

$ python invers3d.py inv3d.dat

Координаты на выходе:

-40000.000 30000.000 0.000

Ссылки

• Robert Burtch, A Comparison of Methods Used in Rectangular to Geodetic Coordinate Transformations, 2006