Местная система координат линейного объекта: различия между версиями

Материал из GIS-Lab
Перейти к навигации Перейти к поиску
 
(не показано 112 промежуточных версий 3 участников)
Строка 1: Строка 1:
{{Статья|Черновик}}
{{Статья|Опубликована|local-cs-linear-object}}


{{Аннотация|Конструирование проекции для представления системы координат линейного объекта в ГИС}}
{{Аннотация|Конструирование проекции для представления системы координат линейного объекта в ГИС}}
Строка 5: Строка 5:
== Введение ==
== Введение ==


Система координат линейного объекта строится для эксплуатации протяжённого инженерного сооружения.
Система координат линейного объекта строится для обеспечения строительства или эксплуатации протяжённого инженерного сооружения.
Принципы построения проекции сходны с классическим подходом, изложенным в статье [http://gis-lab.info/qa/local-cs.html «Добавление местной координатной системы в GIS»].
Целью при этом является минимизация искажений, присущих проекции, в полосе объекта.
Однако постановка задачи отличается.


== Постановка задачи ==
== Постановка задачи ==


На оси сооружения задана линия положением двух его конечных точек в глобальной системе координат (ГСК).
Пусть ось сооружения задана положением двух крайних точек в глобальной системе координат (ГСК).


Пусть в местной системе (МСК) начало координат совмещено с первой точкой, расстояние между точками задано величиной ''L'', а ось ''OX'' направлена вдоль оси сооружения наружу. В такой системе координаты второй точки будут равны ''X'' = −''L'', ''Y'' = 0.
В местной системе (МСК) совместим начало координат с точкой в середине отрезка геодезической линии, соединяющей крайние точки.
Ось ''OX'' направим вдоль оси сооружения.
Потребуем, чтобы расстояние между крайними точками равнялось априори заданной величине ''L''.


Требуется подобрать проекцию, подходящую для представления такой МСК в ГИС.
Требуется подобрать проекцию, подходящую для представления такой МСК в ГИС и в программах, используемых геодезистами.


== О проекции ==
== О проекции ==
Строка 24: Строка 25:
* широта и долгота центра проекции ''φ''₀, ''λ''₀
* широта и долгота центра проекции ''φ''₀, ''λ''₀
* азимут начальной линии ''α''
* азимут начальной линии ''α''
* разворот координатных осей ''γ''
* масштаб на начальной линии ''k''₀
* масштаб на начальной линии ''k''₀
* прямоугольные координаты в центре проекции ''x''₀, ''y''₀
* прямоугольные координаты в центре проекции ''x''₀, ''y''₀
* разворот координатных осей ''γ''


Азимут начальной линии должен находиться в диапазоне −90° < ''α'' < +90°. Таким образом, если разворот ''γ'' не задан, ось ''OY'' будет направлена вдоль начальной линии в северную полуплоскость, ''OX'' в восточную.
Азимут начальной линии должен находиться в диапазоне −90° < ''α'' < +90°. Таким образом, если разворот ''γ'' равен нулю, ось ''OY'' будет направлена вдоль начальной линии в северную полуплоскость, ''OX'' в восточную.


Азимут ''α'' не может равняться 0°. Если ось направлена вдоль меридиана, выбирайте проекцию Гаусса-Крюгера. Также ''α'' не может принимать значения ±90°. Это тоже не проблема, поскольку в окрестности таких значений азимут вдоль геодезической линии меняется довольно быстро, и можно выбрать центр проекции на некотором удалении от первоначально выбранной точки.
Разворот ''γ'' обычно приравнивается значению ''α'', чтобы компенсировать начальный разворот осей и вернуть оси ''OY'' направление строго на север. Возможность его явного задания позволяет произвольно управлять ориентацией осей МСК. Если задать нулевой разворот ''γ'', ось ''OY'' будет направлена вдоль начальной линии в северную полуплоскость, ''OX'' перпендикулярно к начальной линии в восточную.
 
Разворот ''γ'' первоначально вводился для компенсации начального разворота осей, чтобы вернуть оси ''OY'' направление строго на север. Для нас это великолепная возможность управлять ориентацией осей МСК произвольно.


== Определение параметров ==
== Определение параметров ==


Приведём данные тестового примера. Осевая линия задана положением конечных точек на эллипсоиде WGS 84: ''φ''₁ = 51° с.ш., ''λ''₁ = 22° в.д., ''φ''₂ = 50° с.ш., ''λ''₂ = 20° в.д. Расстояние вдоль оси задано длиной ''L'' = 180300 м.
Приведём данные тестового примера. Осевая линия задана координатами конечных точек на эллипсоиде WGS 84:


Рассмотрим последовательность решения задачи с использованием '''PROJ.4'''. Вид строки параметров таков:
{| class="wikitable"
|-
! NN
! ''φ''
! ''λ''
|-
| 1
| 52°00′03.358″N
| 23°07′37.837″E
|-
| 2
| 52°00′46.722″N
| 23°10′15.918″E
|}


<pre>
Расстояние вдоль оси задано значением ''L'' = 3300.000 м.
+proj=omerc +lat_0=φ₀ +lonc=λ₀ +alpha=α +gamma=γ +k_0=k₀ +x_0=x₀ +y_0=y₀
</pre>


Простой подход состоит в том, чтобы поместить центр проекции в первую точку. В соответствии с постановкой задачи определяются следующие параметры:
Рассмотрим последовательность решения задачи с использованием '''PROJ'''. Вид строки параметров таков:


<pre>
<pre>
+lat_0=51 +lonc=22 +x_0=0 +y_0=0
+proj=omerc +lat_0=φ₀ +lonc=λ₀ +alpha=α +k_0=k₀ +x_0=x₀ +y_0=y₀ +gamma=γ
</pre>
</pre>


Для определения параметра ''alpha'' нужно решить обратную геодезическую задачу и найти азимут в первой точке на вторую ''α''₁₂. Здесь возможны два случая:
Задачу помещения центра проекции в середину линии, соединяющей конечные точки, решим в два этапа. Сначала решим обратную геодезическую задачу, что даст азимут с первой точки на вторую ''α''₁₂, азимут со второй точки на первую ''α''₂₁ и длину отрезка геодезической линии между ними ''S''. Затем решим прямую геодезическую задачу (ПГЗ), чтобы получить координаты средней точки и азимуты направлений с неё на конечные точки.
* вторая точка севернее первой, −90° < ''α''₁₂ < +90°; ''alpha'' = ''α''₁₂
* вторая точка южнее первой, 90° < ''α''₁₂ < 270°; ''alpha'' = ''α''₁₂ − 180°
 
Поскольку поставлена задача направить ось ''OX'' вдоль начальной линии в противоположную сторону от второй точки, параметру ''gamma'' присвоим значение −90° в первом случае и +90° во втором.
 
Значение параметра ''k_0'' также можно оценить по результатам решения обратной геодезической задачи: ''k_0'' = ''L'' / ''S'', где ''L'' — заданная длина линии, ''S'' — длина геодезической из решения ОГЗ.


=== Решение обратной геодезической задачи ===
=== Решение обратной геодезической задачи ===


Итак, из решения ОГЗ мы хотим получить азимут ''α''₁₂ и расстояние ''S'', нужные для определения параметров ''alpha'' и ''k_0'' соответственно.
Цель — вычисление азимутов прямого и обратного направлений, а также длины отрезка геодезической линии на поверхности эллипсоида.


Пикантность ситуации придаёт тот факт, что на эллипсоиде через две точки проходит геодезическая линия, которая в блестящей математике косой проекции сэра Мартина Хотина отображается в кривую на апосфере, не совпадающую с дугой большого круга. Расчёты показывают, что вследствие этого точность соответствия ''alpha'' = ''α''₁₂ и ''k_0'' = ''L'' / ''S'' при расстояниях в несколько десятков километров перестаёт удовлетворять геодезии.
Решим ОГЗ с помощью утилиты '''geod''' из пакета '''PROJ.4''':
<syntaxhighlight lang="bash">
$ geod -I -f "%.17g" -F "%.17g" +ellps=WGS84 +units=m <<EOF
> 52d00'03.358"N 023d07'37.837"E 52d00'46.722"N 023d10'15.918"E
> EOF
</syntaxhighlight>
Программа выдаёт решение на эллипсоиде в виде строки значений ''α''₁₂, ''α''₂₁, ''S''₁₂:
<pre>
66.017759443956336 -113.94763462689073 3299.7360258541303
</pre>


Впрочем, многие объекты имеют скромные размеры «всего» в несколько километров, и для них это неприятное обстоятельство имеет исключительно теоретическое значение.
=== Решение прямой геодезической задачи ===


Однако есть ещё одно обстоятельство. Утилита '''geod''' из пакета '''PROJ.4''' версии 4.9.0 будет решать геодезические задачи на эллипсоиде, используя библиотеку '''GeographicLib'''. Но сегодня в ходу '''PROJ.4''' версии 4.8.0, и '''geod''' умеет считать только для сферы.
Цель — получить координаты и азимут середины отрезка геодезической линии. Прежде всего вычислим половину длины отрезка:
 
Так или иначе, надо научиться обходиться подручными средствами.
 
Подготовим файл данных с координатами конечных пунктов '''inv.dat''':
<pre>
<pre>
51N 22E 50N 20E
3299.7360258541303 / 2 = 1649.86801292706515
</pre>
</pre>
и решим ОГЗ:
Для контроля решим ПГЗ дважды, от обоих концов линии. Используем ту же утилиту '''geod''':
<syntaxhighlight lang="bash">
<syntaxhighlight lang="bash">
$ geod -I -f "%.10f" -F "%f" +ellps=WGS84 +units=m inv.dat
$ geod -f "%.17g" +ellps=WGS84 +units=m <<EOF
> 52d00'03.358"N 023d07'37.837"E 66.017759443956336 1649.86801292706515
> 52d00'46.722"N 023d10'15.918"E -113.94763462689073 1649.86801292706515
> EOF
</syntaxhighlight>
</syntaxhighlight>
Возможно, в следующей версии '''PROJ.4''' результатом этой команды будет решение на эллипсоиде. Сегодня же из решения на сфере радиусом, равным экваториальному радиусу эллипсоида WGS 84, получилась такая строка значений ''α''₁₂, ''α''₂₁, ''S'':
Результатом будут две строки значений: ''φ''₀, ''λ''₀, ''α'':
<pre>
<pre>
-127.3948484062 51.0617802663  180119.673397
52.006957604612808 23.14912969166868 -113.96494062446807
52.006957604612793 23.149129691668666 66.035059375531944
</pre>
</pre>
Координаты центра проекции практически совпадают, азимуты обратных направлений отличаются на 180°.


=== Построение проекции ===
=== Построение проекции ===


По результатам решения ОГЗ построим черновую проекцию. Поскольку ''φ''₂ < ''φ''₁, имеет место второй вариант; примем ''alpha'' = ''α''₁₂ + 180° = 52.6051515938°, ''gamma'' = +90°. Масштабный коэффициент пока приравняем единице: ''k_0'' = 1. Получен предварительный набор параметров:
По результатам решения ПГЗ построим проекцию в первом приближении. Параметры ''lat_0'' и ''lonc'' примем равными ''φ''₀ и ''λ''₀. Параметр ''alpha'' должен быть в диапазоне ±90°, примем для него значение ''α''₀₂ = ''α''₀₁ ± 180°. Чтобы направить ось ''OX'' вдоль направления 0–1, параметр разворота ''gamma'' примем равным 90°. Вот предварительный набор:
<pre>
<pre>
+proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6051515938 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0
+lat_0=50.504316101 +lonc=20.989441172 +alpha=51.89831026 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0 +gamma=90
</pre>
</pre>
Подготовим файл с координатами конечных точек '''p12.dat''':
Вычислим координаты конечных точек в проекции:
<syntaxhighlight lang="bash">
$ proj -r -f "%.17g" +proj=omerc +lat_0=52.0069576046128 +lonc=23.1491296916687 +alpha=66.0350593755319 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0 +gamma=90 +ellps=WGS84 +units=m <<EOF
> 52d00'03.358"N 023d07'37.837"E
> 52d00'46.722"N 023d10'15.918"E
> EOF
</syntaxhighlight>
Программа выдаёт координаты первой и второй точек ''x''₁, ''y''₁ и ''x''₂, ''y''₂:
<pre>
<pre>
22 51
-1649.8680129311654 -1.0102527905258779e-13
20 50
1649.8680129226682 1.0631327490867519e-09
</pre>
</pre>
Выполним команду:
Вычислим масштаб ''k_0'' как отношение заданной длины ''L'' к разности координат ''x''₂ − ''x''₁: ''k_0'' = 3300 / (1649.8680129226682 + 1649.8680129311654) = 1.0000799985647634. Подставим это значение вместо единицы:
<syntaxhighlight lang="bash">
<syntaxhighlight lang="bash">
$ proj -f "%f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6051515938 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p12.dat
$ proj -r -f "%.17g" +proj=omerc +lat_0=52.0069576046128 +lonc=23.1491296916687 +alpha=66.0350593755319 +k_0=1.00007999856476 +x_0=0 +y_0=0 +gamma=90 +ellps=WGS84 +units=m <<EOF
> 52d00'03.358"N 023d07'37.837"E
> 52d00'46.722"N 023d10'15.918"E
> EOF
</syntaxhighlight>
</syntaxhighlight>
Программа выдаёт координаты первой и второй точек ''x''₁, ''y''₁ и ''x''₂, ''y''₂ в МСК:
Вывод программы:
<pre>
<pre>
-0.000000      0.000000
-1650.0000000040786 -1.0103336092990638e-13
-180292.238188  238.386305
1649.9999999969975 1.0632177981808281e-09
</pre>
</pre>
Координаты первой точки равны нулю, как и ожидалось. Коорданаты второй точки отличаются от ожидаемых −''L'' и 0. Ненулевое значение ''y''₂ говорит о том, что начальная линия проходит мимо второй точки. Значит, нужно подобрать параметр ''alpha'', чтобы исправить промах. Матметоды отлично справляются с поиском корня уравнения ''x''₂(''alpha'') = 0. Однако можно добавить немножко геометрии в задачу и улучшать значение параметра по формуле ''alpha''′ = ''alpha'' − arctg [(''y''₂ − ''y''₁) / (''x''₂ − ''x''₁)] = ''alpha'' − arctg (''y''₂ / ''x''₂). Через пять итераций при ''alpha'' = 52.6809193468 получаем
Точки практически лежат на оси ''OX'', расстояние между ними 3300.000 м. Поставленная задача решена, проекция построена.
 
== Пользовательская проекция в QGIS ==
 
Создадим пользовательскую систему координат в формате WKT.
 
=== Вариант B ===
 
Косая проекция Меркатора может быть задана в вариантах A и B. Начнём со второго, поскольку в нём плоские координаты отсчитываются от центра проекции, и для него всё готово.
 
В начале введём название системы координат латиницей "Biala Podlaska airdrome".
 
При вводе параметров проекции поможет следующая таблица соответствия:
 
{| class="wikitable"
|-
! WKT !! PROJ
|-
| Latitude of projection centre || lat_0
|-
| Longitude of projection centre || lonc
|-
| Azimuth of initial line || alpha
|-
| Angle from Rectified to Skew Grid || gamma
|-
| Scale factor on initial line || k, k_0
|-
| Easting at projection centre || x_0
|-
| Northing at projection centre || y_0
|}
 
В конце вставим название покрываемой территории "Europe - Poland - Biala Podlaska" и охват в формате ''φ''<sub>min</sub>, ''λ''<sub>min</sub>, ''φ''<sub>max</sub>, ''λ''<sub>max</sub>.
 
Готовая система координат в формате WKT:
 
<syntaxhighlight lang="xml">
PROJCRS["Biala Podlaska airdrome",
    BASEGEOGCRS["WGS 84",
        DATUM["World Geodetic System 1984",
            ELLIPSOID["WGS 84",6378137,298.257223563,
                LENGTHUNIT["metre",1]]],
        PRIMEM["Greenwich",0,
            ANGLEUNIT["Degree",0.0174532925199433]],
        ID["EPSG",4326]],
    CONVERSION["Biala Podlaska airdrome",
        METHOD["Hotine Oblique Mercator (variant B)",
            ID["EPSG",9815]],
        PARAMETER["Latitude of projection centre",52.0069576046128,
            ANGLEUNIT["degree",0.0174532925199433],
            ID["EPSG",8811]],
        PARAMETER["Longitude of projection centre",23.1491296916687,
            ANGLEUNIT["degree",0.0174532925199433],
            ID["EPSG",8812]],
        PARAMETER["Azimuth of initial line",66.0350593755319,
            ANGLEUNIT["degree",0.0174532925199433],
            ID["EPSG",8813]],
        PARAMETER["Angle from Rectified to Skew Grid",90,
            ANGLEUNIT["degree",0.0174532925199433],
            ID["EPSG",8814]],
        PARAMETER["Scale factor on initial line",1.00007999856476,
            SCALEUNIT["unity",1],
            ID["EPSG",8815]],
        PARAMETER["Easting at projection centre",0,
            LENGTHUNIT["metre",1],
            ID["EPSG",8816]],
        PARAMETER["Northing at projection centre",0,
            LENGTHUNIT["metre",1],
            ID["EPSG",8817]]],
    CS[Cartesian,2],
        AXIS["(E)",east,
            ORDER[1],
            LENGTHUNIT["metre",1]],
        AXIS["(N)",north,
            ORDER[2],
            LENGTHUNIT["metre",1]],
    USAGE[
        SCOPE["unknown"],
        AREA["Europe - Poland - Biala Podlaska"],
        BBOX[51.9,23.0,52.1,23.3]]]
</syntaxhighlight>
 
=== Вариант A ===
 
В варианте A прямоугольные координаты отсчитываются от точки пересечения начальной линии с экватором апосферы.
Практически он отличается от B числовыми значениями параметров ''x_0'' и ''y_0''.
 
Вычислим координаты центра проекции с параметром ''no_off'':
<syntaxhighlight lang="bash">
$ proj -r -f "%.17g" +proj=omerc +lat_0=52.0069576046128 +lonc=23.1491296916687 +alpha=66.0350593755319 +k_0=1.00007999856476 +x_0=0 +y_0=0 +gamma=90 +ellps=WGS84 +no_off +units=m <<EOF
> 52.0069576046128 23.1491296916687
> EOF
</syntaxhighlight>
Вывод программы:
<pre>
8064096.0024511777 -2.1496104200899204e-10
</pre>
Поменяв знаки на противоположные, получим параметры ''x_0'' = -8064096.00245118, ''y_0'' = 0.
 
Описание проекции в формате WKT по варианту A:
 
<pre>
<pre>
-0.000000       0.000000
PROJCRS["Biala Podlaska airdrome",
-180292.395746  0.000000
    BASEGEOGCRS["WGS 84",
        DATUM["World Geodetic System 1984",
            ELLIPSOID["WGS 84",6378137,298.257223563,
                LENGTHUNIT["metre",1]]],
        PRIMEM["Greenwich",0,
            ANGLEUNIT["Degree",0.0174532925199433]],
        ID["EPSG",4326]],
    CONVERSION["Biala Podlaska airdrome",
        METHOD["Hotine Oblique Mercator (variant A)",
            ID["EPSG",9812]],
        PARAMETER["Latitude of projection centre",52.0069576046128,
            ANGLEUNIT["degree",0.0174532925199433],
            ID["EPSG",8811]],
        PARAMETER["Longitude of projection centre",23.1491296916687,
            ANGLEUNIT["degree",0.0174532925199433],
            ID["EPSG",8812]],
        PARAMETER["Azimuth of initial line",66.0350593755319,
            ANGLEUNIT["degree",0.0174532925199433],
            ID["EPSG",8813]],
        PARAMETER["Angle from Rectified to Skew Grid",90,
            ANGLEUNIT["degree",0.0174532925199433],
            ID["EPSG",8814]],
        PARAMETER["Scale factor on initial line",1.00007999856476,
            SCALEUNIT["unity",1],
            ID["EPSG",8815]],
        PARAMETER["Easting at projection centre",-8064096.00245118,
            LENGTHUNIT["metre",1],
            ID["EPSG",8816]],
        PARAMETER["Northing at projection centre",0,
            LENGTHUNIT["metre",1],
            ID["EPSG",8817]]],
    CS[Cartesian,2],
        AXIS["(E)",east,
            ORDER[1],
            LENGTHUNIT["metre",1]],
        AXIS["(N)",north,
            ORDER[2],
            LENGTHUNIT["metre",1]],
    USAGE[
        SCOPE["unknown"],
        AREA["Europe - Poland - Biala Podlaska"],
        BBOX[51.9,23.0,52.1,23.3]]]
</pre>
</pre>


== Text ==
== Заключение ==


Text
Рассмотренный способ построения проекции прост, поскольку позволяет заменить знание математической картографии обращением к утилите '''geod''' из библиотеки '''PROJ''', которая используется как чёрный ящик. Этот подход не совсем корректен, поскольку геодезическая линия, соединяющая две точки на эллипсоиде, в косой проекции Меркатора отображается в кривую на апосфере, близкую к дуге большого круга, но не совпадающую с ней. К счастью, это несущественно даже для объектов длиной в сотни и тысячи километров.


== Ссылки ==
== Ссылки ==

Текущая версия от 05:44, 12 августа 2022

Эта страница опубликована в основном списке статей сайта
по адресу http://gis-lab.info/qa/local-cs-linear-object.html


Конструирование проекции для представления системы координат линейного объекта в ГИС

Введение

Система координат линейного объекта строится для обеспечения строительства или эксплуатации протяжённого инженерного сооружения. Целью при этом является минимизация искажений, присущих проекции, в полосе объекта.

Постановка задачи

Пусть ось сооружения задана положением двух крайних точек в глобальной системе координат (ГСК).

В местной системе (МСК) совместим начало координат с точкой в середине отрезка геодезической линии, соединяющей крайние точки. Ось OX направим вдоль оси сооружения. Потребуем, чтобы расстояние между крайними точками равнялось априори заданной величине L.

Требуется подобрать проекцию, подходящую для представления такой МСК в ГИС и в программах, используемых геодезистами.

О проекции

Выбор проекции однозначен. Это косая проекция Меркатора с такими значениями параметров, чтобы так называемая начальная линия (линия наименьшего масштаба) проходила через конечные точки, а расстояние между этими точками равнялось L.

Для косой проекции Меркатора задаются следующие параметры:

  • широта и долгота центра проекции φ₀, λ₀
  • азимут начальной линии α
  • масштаб на начальной линии k₀
  • прямоугольные координаты в центре проекции x₀, y₀
  • разворот координатных осей γ

Азимут начальной линии должен находиться в диапазоне −90° < α < +90°. Таким образом, если разворот γ равен нулю, ось OY будет направлена вдоль начальной линии в северную полуплоскость, OX в восточную.

Разворот γ обычно приравнивается значению α, чтобы компенсировать начальный разворот осей и вернуть оси OY направление строго на север. Возможность его явного задания позволяет произвольно управлять ориентацией осей МСК. Если задать нулевой разворот γ, ось OY будет направлена вдоль начальной линии в северную полуплоскость, OX перпендикулярно к начальной линии в восточную.

Определение параметров

Приведём данные тестового примера. Осевая линия задана координатами конечных точек на эллипсоиде WGS 84:

NN φ λ
1 52°00′03.358″N 23°07′37.837″E
2 52°00′46.722″N 23°10′15.918″E

Расстояние вдоль оси задано значением L = 3300.000 м.

Рассмотрим последовательность решения задачи с использованием PROJ. Вид строки параметров таков: 

+proj=omerc +lat_0=φ₀ +lonc=λ₀ +alpha=α +k_0=k₀ +x_0=x₀ +y_0=y₀ +gamma=γ

Задачу помещения центра проекции в середину линии, соединяющей конечные точки, решим в два этапа. Сначала решим обратную геодезическую задачу, что даст азимут с первой точки на вторую α₁₂, азимут со второй точки на первую α₂₁ и длину отрезка геодезической линии между ними S. Затем решим прямую геодезическую задачу (ПГЗ), чтобы получить координаты средней точки и азимуты направлений с неё на конечные точки.

Решение обратной геодезической задачи

Цель — вычисление азимутов прямого и обратного направлений, а также длины отрезка геодезической линии на поверхности эллипсоида.

Решим ОГЗ с помощью утилиты geod из пакета PROJ.4: 

$ geod -I -f "%.17g" -F "%.17g" +ellps=WGS84 +units=m <<EOF
> 52d00'03.358"N 023d07'37.837"E 52d00'46.722"N 023d10'15.918"E
> EOF

Программа выдаёт решение на эллипсоиде в виде строки значений α₁₂, α₂₁, S₁₂: 

66.017759443956336 -113.94763462689073 3299.7360258541303

Решение прямой геодезической задачи

Цель — получить координаты и азимут середины отрезка геодезической линии. Прежде всего вычислим половину длины отрезка: 

3299.7360258541303 / 2 = 1649.86801292706515

Для контроля решим ПГЗ дважды, от обоих концов линии. Используем ту же утилиту geod: 

$ geod -f "%.17g" +ellps=WGS84 +units=m <<EOF
> 52d00'03.358"N 023d07'37.837"E 66.017759443956336 1649.86801292706515
> 52d00'46.722"N 023d10'15.918"E -113.94763462689073 1649.86801292706515
> EOF

Результатом будут две строки значений: φ₀, λ₀, α: 

52.006957604612808 23.14912969166868 -113.96494062446807
52.006957604612793 23.149129691668666 66.035059375531944

Координаты центра проекции практически совпадают, азимуты обратных направлений отличаются на 180°.

Построение проекции

По результатам решения ПГЗ построим проекцию в первом приближении. Параметры lat_0 и lonc примем равными φ₀ и λ₀. Параметр alpha должен быть в диапазоне ±90°, примем для него значение α₀₂ = α₀₁ ± 180°. Чтобы направить ось OX вдоль направления 0–1, параметр разворота gamma примем равным 90°. Вот предварительный набор: 

+lat_0=50.504316101 +lonc=20.989441172 +alpha=51.89831026 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0 +gamma=90

Вычислим координаты конечных точек в проекции: 

$ proj -r -f "%.17g" +proj=omerc +lat_0=52.0069576046128 +lonc=23.1491296916687 +alpha=66.0350593755319 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0 +gamma=90 +ellps=WGS84 +units=m <<EOF
> 52d00'03.358"N 023d07'37.837"E
> 52d00'46.722"N 023d10'15.918"E
> EOF

Программа выдаёт координаты первой и второй точек x₁, y₁ и x₂, y₂: 

-1649.8680129311654 -1.0102527905258779e-13
1649.8680129226682 1.0631327490867519e-09

Вычислим масштаб k_0 как отношение заданной длины L к разности координат x₂ − x₁: k_0 = 3300 / (1649.8680129226682 + 1649.8680129311654) = 1.0000799985647634. Подставим это значение вместо единицы: 

$ proj -r -f "%.17g" +proj=omerc +lat_0=52.0069576046128 +lonc=23.1491296916687 +alpha=66.0350593755319 +k_0=1.00007999856476 +x_0=0 +y_0=0 +gamma=90 +ellps=WGS84 +units=m <<EOF
> 52d00'03.358"N 023d07'37.837"E
> 52d00'46.722"N 023d10'15.918"E
> EOF

Вывод программы: 

-1650.0000000040786 -1.0103336092990638e-13
1649.9999999969975 1.0632177981808281e-09

Точки практически лежат на оси OX, расстояние между ними 3300.000 м. Поставленная задача решена, проекция построена.

Пользовательская проекция в QGIS

Создадим пользовательскую систему координат в формате WKT.

Вариант B

Косая проекция Меркатора может быть задана в вариантах A и B. Начнём со второго, поскольку в нём плоские координаты отсчитываются от центра проекции, и для него всё готово.

В начале введём название системы координат латиницей "Biala Podlaska airdrome".

При вводе параметров проекции поможет следующая таблица соответствия:

WKT PROJ
Latitude of projection centre lat_0
Longitude of projection centre lonc
Azimuth of initial line alpha
Angle from Rectified to Skew Grid gamma
Scale factor on initial line k, k_0
Easting at projection centre x_0
Northing at projection centre y_0

В конце вставим название покрываемой территории "Europe - Poland - Biala Podlaska" и охват в формате φmin, λmin, φmax, λmax.

Готовая система координат в формате WKT: 

PROJCRS["Biala Podlaska airdrome",
    BASEGEOGCRS["WGS 84",
        DATUM["World Geodetic System 1984",
            ELLIPSOID["WGS 84",6378137,298.257223563,
                LENGTHUNIT["metre",1]]],
        PRIMEM["Greenwich",0,
            ANGLEUNIT["Degree",0.0174532925199433]],
        ID["EPSG",4326]],
    CONVERSION["Biala Podlaska airdrome",
        METHOD["Hotine Oblique Mercator (variant B)",
            ID["EPSG",9815]],
        PARAMETER["Latitude of projection centre",52.0069576046128,
            ANGLEUNIT["degree",0.0174532925199433],
            ID["EPSG",8811]],
        PARAMETER["Longitude of projection centre",23.1491296916687,
            ANGLEUNIT["degree",0.0174532925199433],
            ID["EPSG",8812]],
        PARAMETER["Azimuth of initial line",66.0350593755319,
            ANGLEUNIT["degree",0.0174532925199433],
            ID["EPSG",8813]],
        PARAMETER["Angle from Rectified to Skew Grid",90,
            ANGLEUNIT["degree",0.0174532925199433],
            ID["EPSG",8814]],
        PARAMETER["Scale factor on initial line",1.00007999856476,
            SCALEUNIT["unity",1],
            ID["EPSG",8815]],
        PARAMETER["Easting at projection centre",0,
            LENGTHUNIT["metre",1],
            ID["EPSG",8816]],
        PARAMETER["Northing at projection centre",0,
            LENGTHUNIT["metre",1],
            ID["EPSG",8817]]],
    CS[Cartesian,2],
        AXIS["(E)",east,
            ORDER[1],
            LENGTHUNIT["metre",1]],
        AXIS["(N)",north,
            ORDER[2],
            LENGTHUNIT["metre",1]],
    USAGE[
        SCOPE["unknown"],
        AREA["Europe - Poland - Biala Podlaska"],
        BBOX[51.9,23.0,52.1,23.3]]]

Вариант A

В варианте A прямоугольные координаты отсчитываются от точки пересечения начальной линии с экватором апосферы. Практически он отличается от B числовыми значениями параметров x_0 и y_0.

Вычислим координаты центра проекции с параметром no_off: 

$ proj -r -f "%.17g" +proj=omerc +lat_0=52.0069576046128 +lonc=23.1491296916687 +alpha=66.0350593755319 +k_0=1.00007999856476 +x_0=0 +y_0=0 +gamma=90 +ellps=WGS84 +no_off +units=m <<EOF
> 52.0069576046128 23.1491296916687
> EOF

Вывод программы: 

8064096.0024511777 -2.1496104200899204e-10

Поменяв знаки на противоположные, получим параметры x_0 = -8064096.00245118, y_0 = 0.

Описание проекции в формате WKT по варианту A: 

PROJCRS["Biala Podlaska airdrome",
    BASEGEOGCRS["WGS 84",
        DATUM["World Geodetic System 1984",
            ELLIPSOID["WGS 84",6378137,298.257223563,
                LENGTHUNIT["metre",1]]],
        PRIMEM["Greenwich",0,
            ANGLEUNIT["Degree",0.0174532925199433]],
        ID["EPSG",4326]],
    CONVERSION["Biala Podlaska airdrome",
        METHOD["Hotine Oblique Mercator (variant A)",
            ID["EPSG",9812]],
        PARAMETER["Latitude of projection centre",52.0069576046128,
            ANGLEUNIT["degree",0.0174532925199433],
            ID["EPSG",8811]],
        PARAMETER["Longitude of projection centre",23.1491296916687,
            ANGLEUNIT["degree",0.0174532925199433],
            ID["EPSG",8812]],
        PARAMETER["Azimuth of initial line",66.0350593755319,
            ANGLEUNIT["degree",0.0174532925199433],
            ID["EPSG",8813]],
        PARAMETER["Angle from Rectified to Skew Grid",90,
            ANGLEUNIT["degree",0.0174532925199433],
            ID["EPSG",8814]],
        PARAMETER["Scale factor on initial line",1.00007999856476,
            SCALEUNIT["unity",1],
            ID["EPSG",8815]],
        PARAMETER["Easting at projection centre",-8064096.00245118,
            LENGTHUNIT["metre",1],
            ID["EPSG",8816]],
        PARAMETER["Northing at projection centre",0,
            LENGTHUNIT["metre",1],
            ID["EPSG",8817]]],
    CS[Cartesian,2],
        AXIS["(E)",east,
            ORDER[1],
            LENGTHUNIT["metre",1]],
        AXIS["(N)",north,
            ORDER[2],
            LENGTHUNIT["metre",1]],
    USAGE[
        SCOPE["unknown"],
        AREA["Europe - Poland - Biala Podlaska"],
        BBOX[51.9,23.0,52.1,23.3]]]

Заключение

Рассмотренный способ построения проекции прост, поскольку позволяет заменить знание математической картографии обращением к утилите geod из библиотеки PROJ, которая используется как чёрный ящик. Этот подход не совсем корректен, поскольку геодезическая линия, соединяющая две точки на эллипсоиде, в косой проекции Меркатора отображается в кривую на апосфере, близкую к дуге большого круга, но не совпадающую с ней. К счастью, это несущественно даже для объектов длиной в сотни и тысячи километров.

Ссылки

Источник — https://wiki.gis-lab.info/index.php?title=Местная_система_координат_линейного_объекта&oldid=26804