Задачи на сфере: прямая геодезическая задача: различия между версиями
ErnieBoyd (обсуждение | вклад) |
ErnieBoyd (обсуждение | вклад) |
||
Строка 73: | Строка 73: | ||
=== Преобразование сферических координат в декартовы === | === Преобразование сферических координат в декартовы === | ||
: <math>\begin{ | : <math>\begin{align} | ||
x & = | x & = \cos \varphi \cos \lambda \\ | ||
y & = | y & = \cos \varphi \sin \lambda \\ | ||
z & = | z & = \sin \varphi | ||
\end{ | \end{align}</math> | ||
В данном случае в качестве сферических координат ''φ'', ''λ'' подставим углы (90° − ''σ''), (180° − ''α''₁). | В данном случае в качестве сферических координат ''φ'', ''λ'' подставим углы (90° − ''σ''), (180° − ''α''₁). |
Версия от 07:13, 21 июня 2014
по адресу http://gis-lab.info/qa/sphere-geodesic-direct-problem.html
Прямая геодезическая задача — это нахождение положения точки по координатам исходного пункта и значениям начального направления и расстояния.
Общие положения
В качестве модели Земли принимается сфера с радиусом R, равным среднему радиусу земного эллипсоида. Аналогом прямой линии на плоскости является геодезическая линия на поверхности. На сфере геодезическая линия — дуга большого круга.
Введём следующие обозначения:
- φ — географическая широта,
- λ — географическая долгота,
- α — азимут дуги большого круга,
- σ — сферическое расстояние (длина дуги большого круга, выраженная в долях радиуса шара).
Линейное расстояние по дуге большого круга s связано со сферическим расстоянием σ формулой s = R σ.
Прямая и обратная геодезические задачи являются важными элементами более сложных геодезических задач.
Постановка задачи
- Исходные данные
- координаты пункта Q₁, начальное направление и расстояние на сфере — φ₁, λ₁, α₁, σ.
- Определяемые величины
- координаты пункта Q₂ — φ₂, λ₂.
На рисунке синим цветом выделены заданные элементы сферического треугольника, красным цветом неизвестные.
Алгоритм
Существует великое множество подходов к решению поставленной задачи. Рассмотрим простой и надёжный векторный метод.
Последовательность решения:
- преобразовать углы (90° − σ) и (180° − α₁) в декартовы координаты,
- развернуть координатные оси вокруг оси Y на угол (φ₁ − 90°),
- развернуть координатные оси вокруг оси Z на угол −λ₁,
- преобразовать декартовы координаты в сферические.
Если третий пункт пропустить, на выходе вместо долготы λ₂ получится разность долгот (λ₂ − λ₁), что упростит алгоритм. Останется только прибавить долготу первого пункта. С другой строны, благодаря третьему пункту долгота λ₂ всегда будет в диапазоне [−180°, +180°].
Пример реализации алгоритма в виде функции языка Си:
/*
* Решение прямой геодезической задачи
*
* Аргументы исходные:
* pt1 - {широта, долгота} точки Q1
* azi - азимут начального направления
* dist - расстояние (сферическое)
*
* Аргументы определяемые:
* pt2 - {широта, долгота} точки Q2
*/
void SphereDirect(double pt1[], double azi, double dist, double pt2[])
{
double pt[2], x[3];
pt[0] = M_PI_2 - dist;
pt[1] = M_PI - azi;
SpherToCart(pt, x); // сферические -> декартовы
Rotate(x, pt1[0] - M_PI_2, 1); // первое вращение
Rotate(x, -pt1[1], 2); // второе вращение
CartToSpher(x, pt2); // декартовы -> сферические
return;
}
Следует заметить, что прямая и обратная задача математически идентичны, и алгоритмы их решения зеркально отражают друг друга.
Преобразование сферических координат в декартовы
В данном случае в качестве сферических координат φ, λ подставим углы (90° − σ), (180° − α₁).
Реализация на Си:
/*
* Преобразование сферических координат в вектор
*
* Аргументы исходные:
* y - {широта, долгота}
*
* Аргументы определяемые:
* x - вектор {x, y, z}
*/
void SpherToCart(double y[], double x[])
{
double p;
p = cos(y[0]);
x[2] = sin(y[0]);
x[1] = p * sin(y[1]);
x[0] = p * cos(y[1]);
return;
}
Вращение вокруг оси
Представим оператор вращения вокруг оси X на угол θ в следующем виде:
Операторы вращения вокруг осей Y и Z получаются перестановкой символов.
Реализация вращения вокруг i-ой координатной оси на Си:
/*
* Вращение вокруг координатной оси
*
* Аргументы:
* x - входной/выходной 3-вектор
* a - угол вращения
* i - номер координатной оси (0..2)
*/
void Rotate(double x[], double a, int i)
{
double c, s, xj;
int j, k;
j = (i + 1) % 3;
k = (i - 1) % 3;
c = cos(a);
s = sin(a);
xj = x[j] * c + x[k] * s;
x[k] = -x[j] * s + x[k] * c;
x[j] = xj;
return;
}
Преобразование декартовых координат в сферические
В данном случае в роли сферических координат φ, λ окажутся φ₂, λ₂.
Реализация на Си:
/*
* Преобразование вектора в сферические координаты
*
* Аргументы исходные:
* x - {x, y, z}
*
* Аргументы определяемые:
* y - {широта, долгота}
*
* Возвращает:
* длину вектора
*/
double CartToSpher(double x[], double y[])
{
double p;
p = hypot(x[0], x[1]);
y[1] = atan2(x[1], x[0]);
y[0] = atan2(x[2], p);
return hypot(p, x[2]);
}
Пример программной реализации
Исходники вышеприведённых функций можно найти в архиве Sph.zip в файле sph.c. Кроме того, в файл sph.h включены следующие определения:
#define A_E 6371.0 // радиус Земли в километрах
#define Degrees(x) (x * 57.29577951308232) // радианы -> градусы
#define Radians(x) (x / 57.29577951308232) // градусы -> радианы
Теперь напишем программу, которая обращается к функции SphereDirect для решения прямой задачи:
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include "sph.h"
int main(int argc, char *argv[])
{
char buf[1024];
double pt1[2], pt2[2];
double lat1, lon1, azi1, dist, azi2;
while (fgets(buf, 1024, stdin) != NULL) {
sscanf(buf, "%lf %lf %lf %lf", &lat1, &lon1, &azi1, &dist);
pt1[0] = Radians(lat1);
pt1[1] = Radians(lon1);
SphereDirect(pt1, Radians(azi1), dist / A_E, pt2); // Решение прямой задачи
SphereInverse(pt2, pt1, &azi2, &dist); // Вычисление обратного азимута
printf("%f\t%f\t%f\n", Degrees(pt2[0]), Degrees(pt2[1]), Degrees(azi2));
}
return 0;
}
В архиве Sph.zip этот код находится в файле dir.c. Создадим исполняемый модуль dir компилятором gcc:
$ gcc -o dir dir.c sph.c -lm
Впрочем, в архиве есть Makefile. Для MS Windows готовую программу dir.exe можно найти в архиве Sph-win32.zip.
Программа читает данные из стандартного ввода консоли и отправляет результаты на стандартный вывод. Для чтения и записи файлов используются символы перенаправления потока «>» и «<» соответственно. Из каждой строки ввода программа считывает координаты первого пункта φ₁, λ₁, начальный азимут α₁ в градусах и расстояние s в километрах; решает прямую задачу; записывает в строку вывода координаты второго пункта φ₂, λ₂ и обратный азимут α₂ в градусах.
Создадим файл dir.dat, содержащий одну строку данных:
30 0 44.804060 5001.1309
После запуска программы
$ dir < dir.dat
получим φ₂, λ₂, α₂:
52.000000 54.000001 262.415109
В архиве Sph-py.zip находятся скрипты на языке Питон. Выполнение скрипта в командной консоли:
$ python dir.py dir.dat
Решение прямой задачи средствами PROJ.4
В пакет PROJ.4 входит программа geod, предназначенная для решения прямых и обратных геодезических задач на сфере. Так выглядит команда обработки файла dir.dat:
$ geod +a=6371000 -f "%f" +units=km dir.dat
Параметр +a определяет радиус сферы, -f — формат вывода угловых величин, +units — единица измерения расстояний. В итоге получим идентичный результат:
52.000000 54.000001 -97.584891
Различие значений α₂ на 360° объясняется тем, что dir выводит азимуты в диапазоне от 0° до 360°, а geod от −180° до +180°.
С помощью geod можно также расставить промежуточные точки вдоль геодезической линии либо по дуге малого круга на заданном расстоянии от исходного пункта. В обоих случаях нужно задать положение начальной точки параметрами +lat_1, +lon_1 и либо координаты второй точки +lat_2, +lon_1, либо расстояние и азимут ко второй точке +S, +A. За подробностями обращайтесь к документации.
Альтернативные методы
Большая часть других методов основана на сферической тригонометрии. Многие из них используют вычисление φ₂ или (λ₂ − λ₁) по таким функциям, как синус, косинус или гаверсинус. Это приводит к неоднозначности результатов вблизи особых значений, когда производная функции равна нулю. Такие методы не могут считаться универсальными.
К наиболее надёжным относится следующий способ:
В сферической тригонометрии углы и стороны должны быть в диапазоне [0, 180°]. Алгоритмизация формул требует анализа и обработки случаев, когда входные величины не попадают в эти рамки.
Ссылки
- Вычисление расстояния и начального азимута между двумя точками на сфере
- Задачи на сфере: обратная геодезическая задача
- Задачи на сфере: угловая засечка
- Задачи на сфере: линейная засечка
- Краткий справочник по сферической тригонометрии
- man_geod – PROJ.4
- Earth radius
- Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия