Задачи на сфере: угловая засечка

Эта страница является черновиком статьи.

Угловая засечка — это нахождение положения точки по координатам двух исходных пунктов и значениям азимутов направлений с этих пунктов на определяемую точку.

Общие положения

В качестве модели Земли принимается сфера с радиусом R, равным среднему радиусу земного эллипсоида. Аналогом прямой линии на плоскости является геодезическая линия на поверхности. На сфере геодезическая линия — дуга большого круга.

Введём следующие обозначения:

• φ — географическая широта,
• λ — географическая долгота,
• α — азимут дуги большого круга,
• σ — сферическое расстояние (длина дуги большого круга, выраженная в долях радиуса шара).

Линейное расстояние по дуге большого круга s связано со сферическим расстоянием σ формулой s = R σ.

Постановка задачи

Исходные данные

координаты пунктов Q₁, Q₂ — φ₁, λ₁, φ₂, λ₂,

начальные направления с пунктов Q₁, Q₂ на точку Q₃ — α₁₃, α₂₃.

Определяемые величины

координаты точки Q₃ — φ₃, λ₃.

Алгоритм

Угловая засечка

Решение любого вида засечек сводится к нахождению полярных координат искомой точки, т.е. начального направления и расстояния на неё с одного из исходных пунктов. На конечном этапе координаты находятся из решения прямой геодезической задачи. Поскольку в угловой засечке направления α₁₃ и α₂₃ уже заданы, остаётся определить расстояние σ₁₃ или σ₂₃.

На рисунке синим цветом выделены заданные элементы сферических треугольников, красным цветом неизвестные, зелёным — вспомогательные элементы. Очевидно, в треугольнике Q₁Q₂Q₃ нет ни одного известного элемента. Однако из решения обратной геодезической задачи для пунктов Q₁, Q₂ могут быть получены расстояние σ₁₂, а также азимуты α₁₂ и α₂₁, после чего углы β₁ и β₂ вычисляются как разности азимутов при соответствующих пунктах. Далее из решения треугольника Q₁Q₂Q₃ найдём сторону σ₁₃.

Последовательность действий:

1. решить обратную геодезическую задачу для Q₁, Q₂: по φ₁, λ₁, φ₂, λ₂ получить α₁₂, α₂₁, σ₁₂;
2. вычислить углы β₁, β₂;
3. в треугольнике Q₁Q₂Q₃ по σ₁₂, β₁, β₂ вычислить σ₁₃;
4. решить прямую геодезическую задачу для Q₁, Q₃: по φ₁, λ₁, α₁₃, σ₁₃ вычислить φ₃, λ₃.

Действия по первому и последнему пунктам рассмотрены в статьях Задачи на сфере: обратная геодезическая задача и Задачи на сфере: прямая геодезическая задача.

Углы β₁, β₂ и длина σ₁₃ вычисляются по формулам:

${\begin{array}{rcl}\beta _{1}&=&\alpha _{12}-\alpha _{13}\\\beta _{2}&=&\alpha _{23}-\alpha _{21}\\\sigma _{13}&=&\operatorname {arctg\,} {\dfrac {\sin \beta _{2}\sin \sigma _{12}}{\cos \beta _{2}\sin \beta _{1}+\sin \beta _{2}\cos \beta _{1}\cos \sigma _{12}}}\end{array}}$

Правда, до вычисления длины σ₁₃ необходимо проанализировать полученные значения углов β₁ и β₂. Ниже в коде функции можно увидеть пример такого анализа:

• если линии Q₁Q₃ и Q₂Q₃ совпадают с Q₁Q₂, решение не определено, т.к. решением может быть любая точка геодезической линии Q₁Q₂;
• если одна из линий Q₁Q₃ и Q₂Q₃ совпадает с Q₁Q₂, а другая нет, решением является пункт, из которого выходит другая;
• если линии Q₁Q₃ и Q₂Q₃ уходят в разные полушария от Q₁Q₂, функция находит ближайшее к Q₁Q₂ «ложное пересечение» этих линий.

Здесь необходимо пояснить, что на сфере две несовпадающие геодезические линии всегда пересекаются в двух точках-антиподах. В традиционной постановке задачи направление на нужное пересечение задаётся явно. Если же прямое и обратное направления по условию равнозначны, возникает вопрос выбора одного из антиподов: φ₃, λ₃ или φ₃′ = −φ₃, λ₃′ = λ₃ ± 180°.

Пример программной реализации

Пример функции SphereAngular на языке Си, реализующей вышеизоложенный алгоритм:

/*
 * Решение угловой засечки
 *
 * Аргументы исходные:
 *     pt1   - {широта, долгота} пункта Q1
 *     pt2   - {широта, долгота} пункта Q2
 *     azi13 - азимут направления Q1-Q3
 *     azi23 - азимут направления Q2-Q3
 *
 * Аргументы определяемые:
 *     pt3 - {широта, долгота} точки Q3
 */
int SphereAngular(double pt1[], double pt2[], double azi13, double azi23,
		  double pt3[])
{
  double azi12, dist12, azi21, dist13;
  double cos_beta1, sin_beta1, cos_beta2, sin_beta2, cos_dist12, sin_dist12;

  SphereInverse(pt2, pt1, &azi21, &dist12);
  SphereInverse(pt1, pt2, &azi12, &dist12);
  cos_beta1 = cos(azi13 - azi12);
  sin_beta1 = sin(azi13 - azi12);
  cos_beta2 = cos(azi21 - azi23);
  sin_beta2 = sin(azi21 - azi23);
  cos_dist12 = cos(dist12);
  sin_dist12 = sin(dist12);

  if (sin_beta1 == 0. && sin_beta2 == 0.)     // Решение - любая точка
    return -1;				      //   на большом круге Q1-Q2.
  else if (sin_beta1 == 0.) {
    pt3[0] = pt2[0];			      // Решение - точка Q2.
    pt3[1] = pt2[1];
    return 0;
  } else if (sin_beta2 == 0.) {		      // Решение - точка Q1.
    pt3[0] = pt1[0];
    pt3[1] = pt1[1];
    return 0;
  } else if (sin_beta1 * sin_beta2 < 0.) {    // Лучи Q1-Q3 и Q2-Q3 направлены
    if (fabs(sin_beta1) >= fabs(sin_beta2)) { //   в разные полусферы.
      cos_beta2 = -cos_beta2;		      // Выберем ближайшее решение:
      sin_beta2 = -sin_beta2;		      //   развернём луч Q2-Q3 на 180°;
    } else {				      //     иначе
      cos_beta1 = -cos_beta1;		      //   развернём луч Q1-Q3 на 180°.
      sin_beta1 = -sin_beta1;
    }
  }
  dist13 = atan2(fabs(sin_beta2) * sin_dist12,
		 cos_beta2 * fabs(sin_beta1)
		 + fabs(sin_beta2) * cos_beta1 * cos_dist12);
  SphereDirect(pt1, azi13, dist13, pt3);

  return 0;
}

Этот код находится в архиве Sph.zip в файле sph.c. Кроме того, в файл sph.h включены следующие определения:

#define A_E 6371.0				// радиус Земли в километрах
#define Degrees(x) (x * 57.29577951308232)	// радианы -> градусы
#define Radians(x) (x / 57.29577951308232)	// градусы -> радианы

Теперь напишем программу, которая обращается к функции SphereAngular для решения угловой засечки:

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include "sph.h"

int main(int argc, char *argv[])
{
  char buf[1024];
  double pt1[2], pt2[2], pt3[2];
  double lat1, lon1, lat2, lon2, azi13, azi23;

  while (fgets(buf, 1024, stdin) != NULL) {
    sscanf(buf, "%lf %lf %lf %lf %lf %lf",
	   &lat1, &lon1, &lat2, &lon2, &azi13, &azi23);
    pt1[0] = Radians(lat1);
    pt1[1] = Radians(lon1);
    pt2[0] = Radians(lat2);
    pt2[1] = Radians(lon2);
    if (SphereAngular(pt1, pt2, Radians(azi13), Radians(azi23), pt3))
      puts("\t"); /* Бесконечно много решений на большом круге Q1-Q2 */
    else
      printf("%f\t%f\n", Degrees(pt3[0]), Degrees(pt3[1]));
  }
  return 0;
}

В архиве Sph.zip этот код находится в файле ang.c. Создадим исполняемый модуль ang компилятором gcc:

$ gcc -o ang ang.c sph.c -lm

Впрочем, в архиве есть Makefile. Для MS Windows готовую программу ang.exe можно найти в архиве Sph-win32.zip.

Программа читает данные из стандартного ввода консоли и отправляет результаты на стандартный вывод. Для чтения и записи файлов используются символы перенаправления потока «>» и «<» соответственно. Из каждой строки ввода программа считывает координаты первого и второго пунктов φ₁, λ₁, φ₂, λ₂, начальные азимуты α₁₃ и α₂₃ в градусах; решает угловую засечку; выводит в строку вывода координаты третьей точки φ₃, λ₃ в градусах.

Создадим файл ang.dat, содержащий одну строку данных:

30 0 60 30 44.80406 110.389945

После запуска программы

$ ang < ang.dat

получим φ₃, λ₃:

52.000000 54.000000

В архиве Sph-py.zip находится код на языке Питон. Запуск программы из командной консоли:

$ python ang.py ang.dat

Ссылки

• Вычисление расстояния и начального азимута между двумя точками на сфере
• Нахождение точки пересечения двух линий по углам и двум известным точкам (биангуляция)
• Задачи на сфере: обратная геодезическая задача
• Задачи на сфере: прямая геодезическая задача
• Задачи на сфере: линейная засечка
• Краткий справочник по сферической тригонометрии
• Earth radius
• Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия