Bolotoved: Новая страница: «{{Статья|Опубликована|polynom-calc}} {{Аннотация|Математические выкладки решения задачи, приме…»

2012-08-25T01:23:59Z

Новая страница: «{{Статья|Опубликована|polynom-calc}} {{Аннотация|Математические выкладки решения задачи, приме…»

Новая страница

{{Статья|Опубликована|polynom-calc}}
{{Аннотация|Математические выкладки решения задачи, применяемой при привязке данных}}

==Введение==

При операции географической привязки данных, то есть перевода данных из локальной системы координат в географическую или прямоугольную, сам пересчет обычно происходит "за сценой" и его особенности часто понятны пользователю только интуитивно. Эта статья показывает полный алгоритм пересчета и может быть использована для реализации алгоритмов привязки данных в своем ПО и просто для более полного понимания того, что происходит на самом деле. Для менее насыщенного формулами описания рекомендуем ознакомиться со статьей "[http://gis-lab.info/qa/polynom.html Полиномиальные преобразования]". Указанная статья, хотя и содержит формулы преобразований, не показывает детальной их реализации, однако представляет важную информацию о применении данных преобразований на практике. Для того, чтобы посмотреть примеры реализации подобных преобразований, рекомендуем ознакомиться со статьей "[http://gis-lab.info/qa/polynom-calc-examples.html Полиномиальные преобразования - примеры реализации]", которая показывает примеры реализации на языке Delphi, R, Excel и Mathcad.

Так как одно из наиболее часто используемых преобразований при привязки - полиномиальное преобразование 2-й степени, мы иллюстрируем наши расчеты на его примере. Вычисления для [http://gis-lab.info/qa/affine-math.html аффинного преобразования] (оно же полиномиальное преобразование 1-й степени) выполняются аналогичным образом, с меньшим количеством коэффициентов.

Данная статья иллюстрирует случай, когда количество точек привязки равно минимально необходимому, в данном случае n = 6. В случае если точек больше и необходимо так же вычислить ошибку, математика будет несколько другая. Мы планируем осветить этот вопрос в отдельной статье.

==Математика==

Решение задачи трансформации сводится к нахождению коэффициентов системы уравнений. Напомним, что в случае полиномиального преобразования 2-й степени, система уравнений выглядит следующим образом:

[[Image:polynom-calc-01.gif|295px|система уравнений|center]]

где:

x,y - координаты в исходной системе координат (известны) x',y' - координаты в конечной системе координат (известны) a0-5,b0-5 - коэффициенты (неизвестны)

Таким образом, имея 12 неизвестных, нам понадобится 6 пар точек с известными координатами до и после трансформации (x1,y1; x2,y2; x3,y3; x4,y4; x5,y5; x6,y6 и x1',y1'; x2',y2'; x3',y3'; x4',y4'; x5',y5'; x6',y6'):

[[Image:polynom-calc-02.gif|347px|система уравнений|center]]

Или, перегруппируя этот набор уравнений по x и y:

[[Image:polynom-calc-03.gif|335px|система уравнений|center]]

Каждая группа используется соответственно для получения коэффициентов ai и bi. В матричной форме это выглядит следующим образом, для a и b:

[[Image:polynom-calc-04.gif|313px|система уравнений|center]]

[[Image:polynom-calc-05.gif|307px|система уравнений|center]]

Для получение коэффициентов, каждая часть уравнения должна быть умножена на обратную матрицу с коэффициентами, например для a:

[[Image:polynom-calc-06.gif|459px|система уравнений|center]]

Таким образом в матричной форме, вычисление коэффициентов:

[[Image:polynom-calc-07.gif|288px|система уравнений|center]]

Необходимо иметь в виду, что для обратного преобразования из x,y в x',y' матрица коэффициентов будет выражаться несколько по другому и сами коэффициенты будут другими:

[[Image:polynom-calc-08.gif|317px|система уравнений|center]]

Таким образом, для решения данной системы, наше программное обеспечение должно уметь производить операции получения обратной матрицы и умножения матриц.

Полученный набор коэффициентов подставляется потом в исходные уравнения и задача получения новых координат решается для каждого пиксела исходного растра, получая таким образом результат в выходной системе координат.

==Ссылки по теме==
*[http://gis-lab.info/qa/polynom.html Полиномиальные преобразования]
*[http://gis-lab.info/qa/rmse.html Среднеквадратичная ошибка (RMSE)]
*[http://gis-lab.info/qa/polynom-calc-examples.html Полиномиальные преобразования - примеры реализации]

Полиномиальные преобразования - математика - История изменений

Bolotoved: Новая страница: «{{Статья|Опубликована|polynom-calc}} {{Аннотация|Математические выкладки решения задачи, приме…»