Задачи на сфере: обратная геодезическая задача - История изменений

Игорь Белов: /* Решение обратной задачи средствами PROJ.4 */

2020-05-10T05:46:02Z

Решение обратной задачи средствами PROJ.4

← Предыдущая версия		Версия от 07:46, 10 мая 2020
Строка 253:		Строка 253:
	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>

	== Решение обратной задачи средствами PROJ.4 ==		== Решение обратной задачи средствами PROJ ==

	В пакет PROJ.4 входит программа '''geod''', предназначенная для решения прямых и обратных геодезических задач на сфере. Так выглядит команда обработки файла '''inv.dat''':		В пакет PROJ входит программа '''geod''', предназначенная для решения прямых и обратных геодезических задач на сфере. Так выглядит команда обработки файла '''inv.dat''':

	<syntaxhighlight lang="bash">		<syntaxhighlight lang="bash">
	$ geod +a=6371000 -I -f "%f" -F "%.4f" +units=km inv.dat		$ geod +a=6371000 +b=6371000 -I -f "%f" -F "%.4f" +units=km inv.dat
	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>

ErnieBoyd: /* Альтернативные методы */

2014-06-21T06:20:15Z

Альтернативные методы

← Предыдущая версия		Версия от 08:20, 21 июня 2014
Строка 277:		Строка 277:
	К наиболее надёжным относится следующий способ:		К наиболее надёжным относится следующий способ:

	<math>\begin{~~array}{rcl~~}		<math>\begin{align}
	\xi & = & \sin \varphi_2 \cos \varphi_1 - \cos \varphi_2 \sin \varphi_1 \cos (\lambda_2 - \lambda_1) \\		\xi & = \sin \varphi_2 \cos \varphi_1 - \cos \varphi_2 \sin \varphi_1 \cos (\lambda_2 - \lambda_1) \\
	\eta & = & \cos \varphi_2 \sin (\lambda_2 - \lambda_1) \\		\eta & = \cos \varphi_2 \sin (\lambda_2 - \lambda_1) \\
	\operatorname{tg\,} \alpha_1 & = & \dfrac{\eta}{\xi} \\		\operatorname{tg\,} \alpha_1 & = \dfrac{\eta}{\xi} \\
	\operatorname{tg\,} \sigma & = & \dfrac{\xi \cos \alpha_1 + \eta \sin \alpha_1}{\sin \varphi_1 \sin \varphi_2 + \cos \varphi_1 \cos \varphi_2 \cos (\lambda_2 - \lambda_1)}		\operatorname{tg\,} \sigma & = \dfrac{\xi \cos \alpha_1 + \eta \sin \alpha_1}{\sin \varphi_1 \sin \varphi_2 + \cos \varphi_1 \cos \varphi_2 \cos (\lambda_2 - \lambda_1)}
	\end{~~array~~}</math>		\end{align}</math>

	В сферической тригонометрии углы и стороны должны быть в диапазоне [0, 180°]. Алгоритмизация формул требует анализа и обработки случаев, когда входные величины не попадают в эти рамки.		В сферической тригонометрии углы и стороны должны быть в диапазоне [0, 180°]. Алгоритмизация формул требует анализа и обработки случаев, когда входные величины не попадают в эти рамки.

ErnieBoyd: /* Преобразование декартовых координат в сферические */

2014-06-21T06:19:20Z

Преобразование декартовых координат в сферические

← Предыдущая версия		Версия от 08:19, 21 июня 2014
Строка 148:		Строка 148:
	=== Преобразование декартовых координат в сферические ===		=== Преобразование декартовых координат в сферические ===

	: <math>\begin{~~array}{rcl~~}		: <math>\begin{align}
	\lambda & = & \operatorname{arctg\,} \dfrac{y}{x} \\		\lambda & = \operatorname{arctg\,} \dfrac{y}{x} \\
	\varphi & = & \operatorname{arctg\,} \dfrac{z}{\sqrt{x^2 + y^2}}		\varphi & = \operatorname{arctg\,} \dfrac{z}{\sqrt{x^2 + y^2}}
	\end{~~array~~}</math>		\end{align}</math>

	В данном случае в роли сферических координат ''φ'', ''λ'' окажутся углы (90° − ''σ''), (180° − ''α''₁).		В данном случае в роли сферических координат ''φ'', ''λ'' окажутся углы (90° − ''σ''), (180° − ''α''₁).

ErnieBoyd: /* Вращение вокруг оси */

2014-06-21T06:18:36Z

Вращение вокруг оси

← Предыдущая версия		Версия от 08:18, 21 июня 2014
Строка 110:		Строка 110:
	Представим оператор вращения вокруг оси ''X'' на угол ''θ'' в следующем виде:		Представим оператор вращения вокруг оси ''X'' на угол ''θ'' в следующем виде:

	: <math>\begin{~~array}{rcl~~}		: <math>\begin{align}
	x' & = & x \\		x' & = x \\
	y' & = & y \cos \theta + z \sin \theta \\		y' & = y \cos \theta + z \sin \theta \\
	z' & = & - y \sin \theta + z \cos \theta		z' & = - y \sin \theta + z \cos \theta
	\end{~~array~~}</math>		\end{align}</math>

	Операторы вращения вокруг осей ''Y'' и ''Z'' получаются перестановкой символов.		Операторы вращения вокруг осей ''Y'' и ''Z'' получаются перестановкой символов.

ErnieBoyd: /* Преобразование сферических координат в декартовы */

2014-06-21T06:17:54Z

Преобразование сферических координат в декартовы

← Предыдущая версия		Версия от 08:17, 21 июня 2014
Строка 73:		Строка 73:
	=== Преобразование сферических координат в декартовы ===		=== Преобразование сферических координат в декартовы ===

	: <math>\begin{~~array}{rcl~~}		: <math>\begin{align}
	x & = & \cos \varphi \cos \lambda \\		x & = \cos \varphi \cos \lambda \\
	y & = & \cos \varphi \sin \lambda \\		y & = \cos \varphi \sin \lambda \\
	z & = & \sin \varphi		z & = \sin \varphi
	\end{~~array~~}</math>		\end{align}</math>

	В данном случае в качестве сферических координат ''φ'', ''λ'' подставим ''φ''₂, ''λ''₂.		В данном случае в качестве сферических координат ''φ'', ''λ'' подставим ''φ''₂, ''λ''₂.

ErnieBoyd: /* Преобразование декартовых координат в сферические */

2014-03-23T08:14:42Z

Преобразование декартовых координат в сферические

← Предыдущая версия		Версия от 10:14, 23 марта 2014
Строка 174:		Строка 174:
	double p;		double p;

	p = ~~sqrt~~(x[0] ~~* x[0] + x[1] *~~ x[1]);		p = hypot(x[0], x[1]);
	y[1] = atan2(x[1], x[0]);		y[1] = atan2(x[1], x[0]);
	y[0] = atan2(x[2], p);		y[0] = atan2(x[2], p);

	return ~~sqrt~~(p ~~* p + x[2] *~~ x[2]);		return hypot(p, x[2]);
	}		}
	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>

ErnieBoyd: /* Ссылки */

2014-03-19T03:40:32Z

Ссылки

← Предыдущая версия		Версия от 05:40, 19 марта 2014
Строка 287:		Строка 287:

	== Ссылки ==		== Ссылки ==
	* [[Вычисление расстояния и начального азимута между двумя точками на сфере]]		* [http://gis-lab.info/qa/great-circles.html Вычисление расстояния и начального азимута между двумя точками на сфере]
	* [[Задачи на сфере: прямая геодезическая задача]]		* [http://gis-lab.info/qa/sphere-geodesic-direct-problem.html Задачи на сфере: прямая геодезическая задача]
	* [[Задачи на сфере: угловая засечка]]		* [http://gis-lab.info/qa/sphere-geodesic-angular-resection.html Задачи на сфере: угловая засечка]
	* [[Задачи на сфере: линейная засечка]]		* [http://gis-lab.info/qa/sphere-geodesic-linear-resection.html Задачи на сфере: линейная засечка]
	* [http://www.pm298.ru/sferich.php Краткий справочник по сферической тригонометрии]		* [http://www.pm298.ru/sferich.php Краткий справочник по сферической тригонометрии]
	* [http://trac.osgeo.org/proj/wiki/man_geod man_geod – PROJ.4]		* [http://trac.osgeo.org/proj/wiki/man_geod man_geod – PROJ.4]
	* [http://en.wikipedia.org/wiki/Earth_radius Earth radius]		* [http://en.wikipedia.org/wiki/Earth_radius Earth radius]
	* [http://gis-lab.info/docs/books/sphere-trigonometry/sphere-trigonometry.rar Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия]		* [http://gis-lab.info/docs/books/sphere-trigonometry/sphere-trigonometry.rar Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия]

ErnieBoyd: /* Альтернативные методы */

2014-03-19T03:37:58Z

Альтернативные методы

← Предыдущая версия		Версия от 05:37, 19 марта 2014
Строка 271:		Строка 271:
	== Альтернативные методы ==		== Альтернативные методы ==

	Некоторые элементы альтернативных методов решения обратной задачи представлены в статье [[Вычисление расстояния и начального азимута между двумя точками на сфере]].		Некоторые элементы альтернативных методов решения обратной задачи представлены в статье [http://gis-lab.info/qa/great-circles.html Вычисление расстояния и начального азимута между двумя точками на сфере].

	В большинстве своём другие методы основаны на сферической тригонометрии. Многие из них используют вычисление ''σ'' или ''α''₁ по таким функциям, как синус, косинус или гаверсинус. Это приводит к неоднозначности результатов вблизи особых значений, когда производная функции равна нулю. Такие методы не могут считаться универсальными.		В большинстве своём другие методы основаны на сферической тригонометрии. Многие из них используют вычисление ''σ'' или ''α''₁ по таким функциям, как синус, косинус или гаверсинус. Это приводит к неоднозначности результатов вблизи особых значений, когда производная функции равна нулю. Такие методы не могут считаться универсальными.

ErnieBoyd: /* Решение обратной задачи средствами PROJ.4 */

2014-03-18T06:13:30Z

Решение обратной задачи средствами PROJ.4

← Предыдущая версия		Версия от 08:13, 18 марта 2014
Строка 261:		Строка 261:
	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>

	Параметр <tt>+a</tt> определяет радиус сферы, <tt>-I</tt> — решение обратных задач, <tt>-f</tt> — формат вывода угловых величин, <tt>-F</tt> — формат вывода длин линий, <tt>+units</tt> — единица измерения расстояний. В результате получим идентичный ~~результат~~:		Параметр <tt>+a</tt> определяет радиус сферы, <tt>-I</tt> — решение обратных задач, <tt>-f</tt> — формат вывода угловых величин, <tt>-F</tt> — формат вывода длин линий, <tt>+units</tt> — единица измерения расстояний. В результате получим идентичный вывод:

	<pre>		<pre>

Александр Мурый в 20:32, 17 марта 2014

2014-03-17T20:32:52Z

← Предыдущая версия		Версия от 22:32, 17 марта 2014
Строка 1:		Строка 1:
	{{Статья\|~~Черновик~~}}		{{Статья\|Опубликована\|sphere-geodesic-invert-problem}}

	{{Аннотация\|Обратная геодезическая задача — это нахождение начального направления и расстояния между двумя точками с известными координатами.}}		{{Аннотация\|Обратная геодезическая задача — это нахождение начального направления и расстояния между двумя точками с известными координатами.}}