Вычисление площади полигона на сфере и на эллипсоиде - История изменений

ErnieBoyd: /* Параметры эллипсоида */

2014-07-01T08:54:52Z

Параметры эллипсоида

← Предыдущая версия		Версия от 10:54, 1 июля 2014
Строка 90:		Строка 90:
	Из основных параметров выводятся другие: полярный радиус кривизны ''c'', эксцентриситет ''e'', второй эксентриситет ''e′'':		Из основных параметров выводятся другие: полярный радиус кривизны ''c'', эксцентриситет ''e'', второй эксентриситет ''e′'':

	: <math>c = \frac{a}{1 - f} \qquad e = f (2 - f) \qquad e'^2 = \frac{e^2}{1 - e^2}</math>		: <math>c = \frac{a}{1 - f} \qquad e^2 = f (2 - f) \qquad e'^2 = \frac{e^2}{1 - e^2}</math>

	=== Классический способ ===		=== Классический способ ===

ErnieBoyd: /* Эквивалентное отображение */

2014-06-21T07:57:40Z

Эквивалентное отображение

← Предыдущая версия		Версия от 09:57, 21 июня 2014
Строка 118:		Строка 118:
	При эквивалентном отображении долгота на эллипсоиде ''λ'' равна долготе на эквивалентной сфере, а геодезической широте на эллипсоиде ''φ'' соответствует так называемая эквивалентная широта на сфере ''β'':		При эквивалентном отображении долгота на эллипсоиде ''λ'' равна долготе на эквивалентной сфере, а геодезической широте на эллипсоиде ''φ'' соответствует так называемая эквивалентная широта на сфере ''β'':

	: <math>\beta = \varphi - \left( \frac{1}{3} e^2 + \frac{31}{180} e^4 + \frac{59}{560} e^6 + \cdots \right) \sin 2 \varphi + \left( \frac{17}{360} e^4 + \frac{61}{1260} e^6 + \cdots \right) \sin 4 \varphi - \left( \frac{383}{45360} e^6 + \cdots \right) \sin 6 \varphi + \cdots</math>		: <math>\begin{align}
			\beta = \varphi & - \left( \frac{1}{3} e^2 + \frac{31}{180} e^4 + \frac{59}{560} e^6 + \cdots \right) \sin 2 \varphi + \left( \frac{17}{360} e^4 + \frac{61}{1260} e^6 + \cdots \right) \sin 4 \varphi - \\
			& - \left( \frac{383}{45360} e^6 + \cdots \right) \sin 6 \varphi + \cdots
			\end{align}</math>

	Ряд такого вида называется тригонометрическим.		Ряд такого вида называется тригонометрическим.

ErnieBoyd: /* Сферический избыток */

2014-06-21T07:53:22Z

Сферический избыток

← Предыдущая версия		Версия от 09:53, 21 июня 2014
Строка 38:		Строка 38:
	Отличие полного поворота от 2''π'' радиан называется сферическим избытком или эксцессом ''ε'', который пропорционален площади полигона ''S'':		Отличие полного поворота от 2''π'' радиан называется сферическим избытком или эксцессом ''ε'', который пропорционален площади полигона ''S'':

	: <math>\begin{~~array}{rcl~~}		: <math>\begin{align}
	\varepsilon & = & 2 \pi - \displaystyle \sum_{i=1}^n \tau_i \\		\varepsilon & = 2 \pi - \displaystyle \sum_{i=1}^n \tau_i \\
	S & = & \varepsilon R^2		S & = \varepsilon R^2
	\end{~~array~~}</math>		\end{align}</math>

	где ''R'' — радиус сферы.		где ''R'' — радиус сферы.

ErnieBoyd: /* Полный поворот контура */

2014-06-21T07:52:09Z

Полный поворот контура

← Предыдущая версия		Версия от 09:52, 21 июня 2014
Строка 21:		Строка 21:
	Представим себе точку, движущуюся вдоль контура полигона. Вершины являются точками поворота. Внутренний угол при вершине ''θ'' равен разности азимутов направлений ''α'' в предыдущую и следующую вершины, а поворот есть угол ''τ'', смежный внутреннему:		Представим себе точку, движущуюся вдоль контура полигона. Вершины являются точками поворота. Внутренний угол при вершине ''θ'' равен разности азимутов направлений ''α'' в предыдущую и следующую вершины, а поворот есть угол ''τ'', смежный внутреннему:

	: <math>\begin{~~array}{rcl~~}		: <math>\begin{align}
	\theta_i & = & \alpha_{i, i-1} - \alpha_{i, i+1} \\		\theta_i & = \alpha_{i, i-1} - \alpha_{i, i+1} \\
	\tau_i & = & \pi - \theta_i		\tau_i & = \pi - \theta_i
	\end{~~array~~}</math>		\end{align}</math>

	На евклидовой плоскости, обойдя любой замкнутый контур без самопересечений, точка совершает поворот ровно на одну окружность — 360°, или 2''π'' радиан. В случае многоугольника этот поворот складывается из суммы поворотов в вершинах.		На евклидовой плоскости, обойдя любой замкнутый контур без самопересечений, точка совершает поворот ровно на одну окружность — 360°, или 2''π'' радиан. В случае многоугольника этот поворот складывается из суммы поворотов в вершинах.

ErnieBoyd: /* Программа */

2014-04-24T05:51:47Z

Программа

← Предыдущая версия		Версия от 07:51, 24 апреля 2014
Строка 202:		Строка 202:
	Далее программа читает из файла данных вершины полигона, представленные парами геодезических координат ''λ'', ''φ'', и по приведённому выше алгоритму вычисляет площадь.		Далее программа читает из файла данных вершины полигона, представленные парами геодезических координат ''λ'', ''φ'', и по приведённому выше алгоритму вычисляет площадь.

	~~{{Скрытый~~
	~~\|Рамка = 1px dashed #336699~~
	~~\|Ссылка = left~~
	~~\|Выравнивание_заголовка = left~~
	~~\|Заголовок = area.py~~
	~~\|Фон_заголовка = #ccccff~~
	~~\|Содержание =~~
	<syntaxhighlight lang="python">		<syntaxhighlight lang="python">
	# -- coding: utf-8 --		# -- coding: utf-8 --
Строка 265:		Строка 258:
	print "%g" % area		print "%g" % area
	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>
	}}

	Код программы находится в архиве [[Медиа:Auth.zip\|Auth.zip]] в файле '''area.py'''.		Код программы находится в архиве [[Медиа:Auth.zip\|Auth.zip]] в файле '''area.py'''.

ErnieBoyd: /* Программа */

2014-04-24T05:40:12Z

Программа

← Предыдущая версия		Версия от 07:40, 24 апреля 2014
Строка 202:		Строка 202:
	Далее программа читает из файла данных вершины полигона, представленные парами геодезических координат ''λ'', ''φ'', и по приведённому выше алгоритму вычисляет площадь.		Далее программа читает из файла данных вершины полигона, представленные парами геодезических координат ''λ'', ''φ'', и по приведённому выше алгоритму вычисляет площадь.

			{{Скрытый
			\|Рамка = 1px dashed #336699
			\|Ссылка = left
			\|Выравнивание_заголовка = left
			\|Заголовок = area.py
			\|Фон_заголовка = #ccccff
			\|Содержание =
	<syntaxhighlight lang="python">		<syntaxhighlight lang="python">
	# -- coding: utf-8 --		# -- coding: utf-8 --
Строка 258:		Строка 265:
	print "%g" % area		print "%g" % area
	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>
			}}

	Код программы находится в архиве [[Медиа:Auth.zip\|Auth.zip]] в файле '''area.py'''.		Код программы находится в архиве [[Медиа:Auth.zip\|Auth.zip]] в файле '''area.py'''.

Максим Дубинин в 10:42, 18 апреля 2014

2014-04-18T10:42:55Z

← Предыдущая версия		Версия от 12:42, 18 апреля 2014
Строка 261:		Строка 261:
	Код программы находится в архиве [[Медиа:Auth.zip\|Auth.zip]] в файле '''area.py'''.		Код программы находится в архиве [[Медиа:Auth.zip\|Auth.zip]] в файле '''area.py'''.

	Чтобы скрипт был предельно прост, не ~~выполняется~~ некоторые необходимые проверки. Поэтому к данным предъявляются такие требования:		Чтобы скрипт был предельно прост, не выполняются некоторые необходимые проверки. Поэтому к данным предъявляются такие требования:
	* последняя точка должна совпадать с первой;		* последняя точка должна совпадать с первой;
	* точки не должны дублироваться.		* точки не должны дублироваться.

ErnieBoyd: /* Замечания */

2014-03-25T15:49:28Z

Замечания

← Предыдущая версия		Версия от 17:49, 25 марта 2014
Строка 138:		Строка 138:
	Важно помнить, что геодезическая линия на эллипсоиде не отображается в дугу большой окружности на сфере. Правда, отличие становится заметным лишь при длинах сторон, сравнимых с размерами Земли. Так, при самом неудачном положении линии длиной 4 тысячи километров «провисание» в середине приближается к пяти километрам. Для линий, вытянутых вдоль меридианов, «провисание» отсутствует.		Важно помнить, что геодезическая линия на эллипсоиде не отображается в дугу большой окружности на сфере. Правда, отличие становится заметным лишь при длинах сторон, сравнимых с размерами Земли. Так, при самом неудачном положении линии длиной 4 тысячи километров «провисание» в середине приближается к пяти километрам. Для линий, вытянутых вдоль меридианов, «провисание» отсутствует.

	В каждую длинную сторону следует вставлять дополнительные вершины. Для этого надо решать одну обратную и много прямых геодезических задач, только не на сфере, а на эллипсоиде, используя алгоритмы сфероидической геодезии. Только после этого можно пересчитывать геодезические широты промежуточных узлов в широты эквивалентные. Чем короче полученные отрезки, тем меньше расхождение между дугой большой окружности на эквивалентной сфере и отображением геодезической линии. Можно сделать процедуру вставки итеративной, т.е. добавлять точки до сходимости площади в пределах заданной точности.		В каждую длинную сторону, не являющуюся отрезком меридиана, следует вставлять дополнительные вершины. Для этого надо решать одну обратную и много прямых геодезических задач, только не на сфере, а на эллипсоиде, используя алгоритмы сфероидической геодезии. Только после этого можно пересчитывать геодезические широты промежуточных узлов в широты эквивалентные. Чем короче полученные отрезки, тем меньше расхождение между дугой большой окружности на эквивалентной сфере и отображением геодезической линии. Можно сделать процедуру вставки итеративной, т.е. добавлять точки до сходимости площади в пределах заданной точности.

	К счастью, береговые линии и границы государств обычно образованы сравнительно короткими отрезками полилиний. А длинные границы полярных владений вытянуты вдоль меридианов, которые являются геодезическими линиями.		К счастью, береговые линии и границы государств обычно образованы сравнительно короткими отрезками полилиний. А длинные границы полярных владений вытянуты вдоль меридианов, которые являются геодезическими линиями.

ErnieBoyd: /* Замечания */

2014-03-25T15:48:14Z

Замечания

← Предыдущая версия		Версия от 17:48, 25 марта 2014
Строка 136:		Строка 136:
	=== Замечания ===		=== Замечания ===

	Важно помнить, что геодезическая линия на эллипсоиде не отображается в дугу большой окружности на сфере. Правда, отличие становится заметным лишь при длинах сторон, сравнимых с размерами Земли. Так, при самом неудачном положении линии длиной 4 тысячи километров ~~провисание~~ в середине приближается к пяти километрам. Для линий, вытянутых вдоль меридианов, ~~провисание~~ отсутствует.		Важно помнить, что геодезическая линия на эллипсоиде не отображается в дугу большой окружности на сфере. Правда, отличие становится заметным лишь при длинах сторон, сравнимых с размерами Земли. Так, при самом неудачном положении линии длиной 4 тысячи километров «провисание» в середине приближается к пяти километрам. Для линий, вытянутых вдоль меридианов, «провисание» отсутствует.

	В каждую длинную сторону следует вставлять дополнительные вершины. Для этого надо решать одну обратную и много прямых геодезических задач, только не на сфере, а на эллипсоиде, используя алгоритмы сфероидической геодезии. Только после этого можно пересчитывать геодезические широты промежуточных узлов в широты эквивалентные. Чем короче полученные отрезки, тем меньше расхождение между дугой большой окружности на эквивалентной сфере и отображением геодезической линии. Можно сделать процедуру вставки итеративной, т.е. добавлять точки до сходимости площади в пределах заданной точности.		В каждую длинную сторону следует вставлять дополнительные вершины. Для этого надо решать одну обратную и много прямых геодезических задач, только не на сфере, а на эллипсоиде, используя алгоритмы сфероидической геодезии. Только после этого можно пересчитывать геодезические широты промежуточных узлов в широты эквивалентные. Чем короче полученные отрезки, тем меньше расхождение между дугой большой окружности на эквивалентной сфере и отображением геодезической линии. Можно сделать процедуру вставки итеративной, т.е. добавлять точки до сходимости площади в пределах заданной точности.

ErnieBoyd: /* Замечания */

2014-03-25T15:43:38Z

Замечания

← Предыдущая версия		Версия от 17:43, 25 марта 2014
Строка 142:		Строка 142:
	К счастью, береговые линии и границы государств обычно образованы сравнительно короткими отрезками полилиний. А длинные границы полярных владений вытянуты вдоль меридианов, которые являются геодезическими линиями.		К счастью, береговые линии и границы государств обычно образованы сравнительно короткими отрезками полилиний. А длинные границы полярных владений вытянуты вдоль меридианов, которые являются геодезическими линиями.

	Отрезки параллелей, напротив, геодезическими линиями не являются. Вдоль геодезической линии поворот по определению равен нулю. Параллель же является кривой линией на поверхности. Замечательно, что кривизна её ~~одна и та же~~, ~~и это позволяет легко вычислять поворот~~ вдоль отрезка параллели:		Отрезки параллелей, напротив, геодезическими линиями не являются. Вдоль геодезической линии поворот по определению равен нулю. Параллель же является кривой линией на поверхности. Замечательно, что кривизна её постоянна, что даёт простую зависимость поворота вдоль отрезка параллели от широты и разности долгот:

	: <math>\Delta \tau = \left( \lambda_1 - \lambda_2 \right) \sin \beta</math>		: <math>\Delta \tau = \left( \lambda_1 - \lambda_2 \right) \sin \beta</math>