GIS-Lab - Вклад [ru]

GISConf - служба помощи

2015-11-17T08:33:48Z

ErnieBoyd: /* Эксперты */

На конференции Открытые ГИС планируется создать "Службу помощи" - отдельную стойку или стол, где каждый сможет подойти и задать свои вопросы одному из экспертов.

==Как работает==
В этой секции работает группа умудренных экспертов, каждый из которых готов потратить от 30 до 60 минут своего времени на ответы по ГИС и около тематики.
Предполагается помещение на 5-7 человек для консультаций. На экране ноутбука (идеально - компьютер с двумя мониторами) эксперт может показать какие-то наглядные вещи.
Данный формат общения будет работать как минимум один день конференции.

Компетенция эксперта может быть как технологической, так и тематической (например, GeoServer или Геомаркетинг). Для каждого эксперта можно определить круг компетенций (основная, второстепенные, "где-то что-то слышал").

==Эксперты==
Имя и Фамилия. День, в который выступает. Время, в которое присутствует. Основные компетенции. Второстепенные компетенции.

{| class="wikitable"
|-
! Имя
! Дата
! Время
! Компетенции (основные)
! Компетенции (второстепенные)
|-
|Максим Дубинин
|21
|12:20-13:20
|Развертывание
|Лицензирование
|-
|Никита Лаврентьев
|21
|13:20-14:20
|QGIS
|БПЛА
|-
|Андрей Жуков
|21
|14:20-15:20
|GeoServer, картографические стили
|Все прочее про Geoserver
|-
|Игорь Белов
|21
|15:20-16:00
|Проекции, системы координат
|
|-
|Илья Зверев
|21
|16:00-17:00
|OpenStreetMap (редактирование и получение данных)
|Leaflet
|-
|Евгений Никулин
|21
|17:00-18:00
|QGIS
|
|-
|Николай Лебедев
|21
|18:20-19:20
|Mapnik
|PostGIS
|-
|Дмитрий Колесов
|22
|12:00-13:00
|GRASS GIS
|
|-
|Александр Клешнин
|22
|13:00-14:00
|QGIS
|PostGIS
|-
|Александр Мурый
|22
|14:00-15:00
|GRASS GIS, OSGeo-Live
|QGIS и прочие ОГИС
|-
|Владислав Филиппов
|22
|16:00-17:00
|GeoServer, кэширование
|Все прочее про Geoserver
|-
|Александр Паршин
|22
|17:00-18:00
|Leaflet
|
|-
|Дмитрий Барышников
|22
|18:00-19:00
|GDAL
|
|}

Геодезические системы пространственных координат

2015-02-25T14:49:13Z

ErnieBoyd: /* Переход от геодезических координат к геоцентрическим */

{{Статья|Опубликована|geodesic-coords}}

{{Аннотация|Рассматриваются преобразования между пространственными координатными системами. Приводится пример программной реализации на языке Питон.}}

== Земной эллипсоид ==

Земным эллипсоидом называется эллипсоид вращения, поверхность которого по форме и размерам довольно близка к поверхности геоида.

Поверхность эллипсоида образуется вращением эллипса вокруг его малой оси, которая также является осью вращения эллипсоида.

Эллипс обычно определяется размером его большой полуоси ''a'' и сжатием ''f''. Реже вместо сжатия задаётся размер малой полуоси ''b'':

: <math>f = \frac{a - b}{a} \qquad b = a (1 - f)</math>

В теории и практике вычислений широко используются такие параметры, как полярный радиус кривизны поверхности ''c'', первый эксцентриситет ''e'' и второй эксцентриситет ''e′'':

: <math>c = \frac{a}{1 - f} \qquad e^2 = f (2 - f) \qquad e'^2 = \frac{e^2}{1 - e^2}</math>

Пример функции Питона, вычисляющей по ''a'' и ''f'' параметры ''b'', ''c'', ''e'' и ''e′'':

<syntaxhighlight lang="python">
def initSpher(a, f):
b = a * (1. - f)
c = a / (1. - f)
e2 = f * (2. - f)
e12 = e2 / (1. - e2)
return (b, c, e2, e12)
</syntaxhighlight>

== Системы координат ==

Рассмотрим следующие системы координат.
# Геоцентрические декартовы прямоугольные координаты:
#* начало координат находится в центре эллипсоида,
#* ось ''z'' расположена вдоль оси вращения эллипсоида и направлена в северный полюс,
#* ось ''x'' лежит в пересечении экватора и начального меридиана,
#* ось ''y'' лежит в пересечении экватора и меридиана с долготой ''L'' = 90°.
# Система геодезических координат:
#; геодезическая широта ''B'' : угол между нормалью к поверхности эллипсоида и плоскостью экватора,
#; геодезическая долгота ''L'' : угол между плоскостями данного и начального меридианов,
#; геодезическая высота ''H'' : кратчайшее расстояние до поверхности эллипсоида.
# Топоцентрические декартовы прямоугольные координаты:
#* начало координат находится в некоторой точке ''Q''₀ (''B''₀, ''L''₀, ''H''₀) над эллипсоидом,
#* ось ''z'' расположена вдоль нормали к поверхности эллипсоида и направлена вверх,
#* ось ''x'' расположена в плоскости меридиана и направлена на север,
#* ось ''y'' перпендикулярна к осям ''x'' и ''z'' и направлена на восток.

Помимо широкого использования в геодезических целях, каждая из представленных координатных систем находит важное применение в прикладных областях.

Геодезические координаты со времён седой древности используются в навигации и картографии. В картографии они являются основой построения проекций.

Геоцентрическая система координат необходима для вычисления спутниковых орбит и решения других орбитальных задач.

Проекции, используемые картографами различных стран, основаны на различных геодезических датумах, т.е. созданы на различных эллипсоидах с разными размерами, положением центров и ориентацией осей в пространстве. Самый простой и точный способ пересчёта координат, заданных в разных датумах, зиждется на преобразованиях между геодезическими и геоцентрическими системами. В общем случае схема пересчёта координат между двумя проекциями выполняется в пять этапов:
#координаты первой проекции — в геодезические координаты на первом эллипсоиде,
#геодезические координаты — в геоцентрические координаты первого датума,
#геоцентрические координаты первого датума — в геоцентрические координаты второго датума,
#геоцентрические координаты — в геодезические координаты на втором эллипсоиде,
#геодезические координаты — в координаты второй проекции.

Топоцентрическая система координат — естественная система для работы различных наземных объектов: ракетных стартовых комплексов, станций слежения за спутниками, станций ПВО и других измерительных комплексов. Естественно, собираемая информация в каждом случае преобразуется в общую систему координат, связанную с Землёй — геодезическую систему координат.

== Преобразования координат ==

=== Переход от геодезических координат к геоцентрическим ===

Это преобразование выполняется по следующим формулам:

: <math>\begin{align}
x & = (N + H) \cos B \cos L \\
y & = (N + H) \cos B \sin L \\
z & = (N + H - e^2 N) \sin B
\end{align}</math>

Здесь ''N'' — так называемый радиус кривизны первого вертикала:

: <math>N = \frac{a}\sqrt{1 - e^2 \sin^2 B} = \frac{c}\sqrt{1 + e'^2 \cos^2 B}</math>

Реализация на Питоне:

<syntaxhighlight lang="python">
def fromLatLong(lat, lon, h, a, f):
b, c, e2, e12 = initSpher(a, f)
cos_lat = math.cos(lat)
n = c / math.sqrt(1. + e12 * cos_lat ** 2)
p = (n + h) * cos_lat
x = p * math.cos(lon)
y = p * math.sin(lon)
z = (n + h - e2 * n) * math.sin(lat)
return (x, y, z)
</syntaxhighlight>

=== Переход от геоцентрических координат к геодезическим ===

Проще всего вычисляется долгота:

: <math>\operatorname{tg\,} L = \frac{y}{x}</math>

Сложнее с определением широты и высоты. Существует множество способов решения этой задачи. Воспользуемся итеративным методом Боуринга.

В начале находится предварительная оценка широты ''B'':

: <math>\operatorname{tg\,} B = \frac{z}{r} \left( 1 + e'^2 \frac{b}{\rho} \right)</math>

Здесь ''ρ'' — геоцентрический радиус-вектор, ''r'' — расстояние от оси вращения эллипсоида:

: <math>\rho = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \qquad r = \sqrt{x^2 + y^2}</math>

Затем вычисляется параметр ''θ'' (приведённая широта) и получается уточнённое значение широты:

: <math>\begin{align}
\operatorname{tg\,} \theta & = (1 - f) \operatorname{tg\,} B \\
\operatorname{tg\,} B & = \dfrac{z + e'^2 b \sin^3 \theta}{p - e^2 a \cos^3 \theta}
\end{align}</math>

Действия по последним двум формулам предполагается повторять до сходимости к требуемой точности. Как правило, бывает достаточно одной итерации. В примере реализации метода Боуринга, приведённом ниже, запрограммировано две итерации.

В конце определяется высота:

: <math>H = \frac{r}{\cos B} - N = \frac{z}{\sin B} - N (1 - e^2)</math>

<syntaxhighlight lang="python">
def toLatLong(x, y, z, a, f):
b, c, e2, e12 = initSpher(a, f)
p = math.hypot(x, y)
if p == 0.:
lat = math.copysign(math.pi / 2., z)
lon = 0.
h = math.fabs(z) - b
else:
t = z / p * (1. + e12 * b / math.hypot(p, z))
for i in range(2):
t = t * (1. - f)
lat = math.atan(t)
cos_lat = math.cos(lat)
sin_lat = math.sin(lat)
t = (z + e12 * b * sin_lat ** 3) / (p - e2 * a * cos_lat ** 3)
lon = math.atan2(y, x)
lat = math.atan(t)
cos_lat = math.cos(lat)
n = c / math.sqrt(1. + e12 * cos_lat ** 2)
if math.fabs(t) <= 1.:
h = p / cos_lat - n
else:
h = z / math.sin(lat) - n * (1. - e2)
return (lat, lon, h)
</syntaxhighlight>

=== Переход от геоцентрических координат к топоцентрическим ===

Постановка задачи: начало топоцентрической системы координат задано точкой ''Q''₀ (''B''₀, ''L''₀, ''H''₀); по геоцентрическим координатам точки ''Q'' (''x'', ''y'', ''z'') вычислить её топоцентрические координаты.

Конформное преобразование между двумя декартовыми прямоугольными системами координат всегда может быть представлено последовательностью сдвигов и вращений координатной системы. Данное преобразование можно реализовать по следующему алгоритму:
* сместить начало координат вдоль оси ''z'' на величину ''e''² ''N''₀ sin ''B''₀ до вершины конуса, образованного нормалями, лежащими на параллели с широтой ''B''₀,
* повернуть систему координат вокруг оси ''z'' на угол ''L''₀, чтобы ось ''x'' оказалась в плоскости меридиана точки ''Q''₀,
* повернуть систему координат вокруг оси ''y'' на угол 90° − ''B''₀, чтобы ось ''z'' совпала с нормалью к поверхности эллипсоида в точке ''Q''₀,
* сместить начало координат вдоль оси ''z'' на величину ''N''₀ + ''H''₀ в точку ''Q''₀,
* изменить знак ''x'' на противоположный.

Реализация алгоритма:

<syntaxhighlight lang="python">
def toTopo(lat0, lon0, h0, x, y, z, a, f):
b, c, e2, e12 = initSpher(a, f)
sin_lat = math.sin(lat0)
n = a / math.sqrt(1. - e2 * sin_lat ** 2)
z = z + e2 * n * sin_lat
x, y = rotate(x, y, lon0)
z, x = rotate(z, x, math.pi / 2. - lat0)
z = z - (n + h0)
x = -x
return (x, y, z)
</syntaxhighlight>

Функция '''toTopo()''' содержит обращения к функции вращения '''rotate()''':

<syntaxhighlight lang="python">
def rotate(x, y, a):
c, s = math.cos(a), math.sin(a)
return (x * c + y * s, -x * s + y * c)
</syntaxhighlight>

=== Переход от топоцентрических координат к геоцентрическим ===

Постановка задачи: начало топоцентрической системы координат задано точкой ''Q''₀ (''B''₀, ''L''₀, ''H''₀); по топоцентрическим координатам точки ''Q'' (''x'', ''y'', ''z'') вычислить её геоцентрические координаты.

Алгоритм решения получается обращением алгоритма обратной задачи:
* изменить знак ''x'' на противоположный,
* сместить начало координат вдоль оси ''z'' на величину ''N''₀ + ''H''₀ в точку пересечения с осью вращения эллипсоида,
* повернуть систему координат вокруг оси ''y'' на угол ''B''₀ − 90°, чтобы ось ''z'' совпала с осью вращения эллипсоида,
* повернуть систему координат вокруг оси ''z'' на угол −''L''₀, чтобы ось ''x'' оказалась в плоскости начального меридиана,
* сместить начало координат вдоль оси ''z'' на величину ''e''² ''N''₀ sin ''B''₀ в центр эллипсоида.

Реализация алгоритма:

<syntaxhighlight lang="python">
def fromTopo(lat0, lon0, h0, x, y, z, a, f):
b, c, e2, e12 = initSpher(a, f)
sin_lat = math.sin(lat0)
n = a / math.sqrt(1. - e2 * sin_lat ** 2)
x = -x
z = z + (n + h0)
z, x = rotate(z, x, lat0 - math.pi / 2.)
x, y = rotate(x, y, -lon0)
z = z - e2 * n * sin_lat
return (x, y, z)
</syntaxhighlight>

=== Переход от геодезических координат к топоцентрическим. Обратная пространственная задача ===

Постановка задачи: начало топоцентрической системы координат задано точкой ''Q''₀ (''B''₀, ''L''₀, ''H''₀); по геодезическим координатам точки ''Q'' (''B'', ''L'', ''H'') вычислить её топоцентрические координаты ''x'', ''y'', ''z''.

Задача решается последовательным применением готовых алгоритмов:
* по геодезическим координатам точки ''B'', ''L'', ''H'' вычислить её геоцентрические координаты ''x'', ''y'', ''z'',
* по геоцентрическим координатам точки вычислить её топоцентрические координаты ''x'', ''y'', ''z''.

Реализация алгоритма:

<syntaxhighlight lang="python">
def inverse3d(lat0, lon0, h0, lat, lon, h, a, f):
x, y, z = fromLatLong(lat, lon, h, a, f)
return toTopo(lat0, lon0, h0, x, y, z, a, f)
</syntaxhighlight>

Рассмотренная задача является разновидностью обратной геодезической задачи в пространстве. Вместо декартовых прямоугольных топоцентрических координат может требоваться вычисление каких-то других связанных с ними величин, например, полярных координат «дальность-азимут-зенитное расстояние», варианты могут быть разные. Однако в большинстве случаев сначала находятся топоцентрические ''x'', ''y'', ''z'', по которым и выводятся искомые значения.

=== Переход от топоцентрических координат к геодезическим. Прямая пространственная задача ===

Постановка задачи: начало топоцентрической системы координат задано точкой ''Q''₀ (''B''₀, ''L''₀, ''H''₀); по топоцентрическим координатам точки ''Q'' (''x'', ''y'', ''z'') вычислить её геодезические координаты ''B'', ''L'', ''H''.

Задача решается через вычисление геоцентрических координат:
* по тороцентрическим координатам точки ''x'', ''y'', ''z'' вычислить её геоцентрические координаты,
* по геоцентрическим координатам точки ''x'', ''y'', ''z'' вычислить её геодезические координаты ''B'', ''L'', ''H''.

Реализация алгоритма:

<syntaxhighlight lang="python">
def forward3d(lat0, lon0, h0, x, y, z, a, f):
x, y, z = fromTopo(lat0, lon0, h0, x, y, z, a, f)
return toLatLong(x, y, z, a, f)
</syntaxhighlight>

Эта задача является разновидностью прямой геодезической задачи в пространстве. Вместо декартовых прямоугольных топоцентрических координат могут задаваться какие-то другие связанные с ними величины, например, полярные координаты «дальность-азимут-зенитное расстояние», варианты могут быть разные. Однако в большинстве случаев сначала находятся топоцентрические ''x'', ''y'', ''z'', по которым и решается задача.

== Пример программной реализации ==

Коды вышеприведённых функций находятся в архиве [[Медиа:Spheroid.zip|Spheroid.zip]] в файле '''spheroid.py'''. Напишем программы, которые используют их для преобразования координат.

=== Пересчёт топоцентрических координат в геодезические ===

В этом примере программы явно задаются параметры эллипсоида ''a'', ''f'' и геодезические координаты начала топоцентрической системы ''B''₀, ''L''₀, ''H''₀. Координаты точек ''x'', ''y'', ''z'' читаются из файла данных и пересчитанные значения ''B'', ''L'', ''H'' выводятся в консоль.

<syntaxhighlight lang="python">
from sys import argv
import math
import spheroid

script, fn = argv

a, f = 6378137., 1./298.257223563 # WGS 84

lat0, lon0, hgt0 = math.radians(65.), math.radians(45.), 500.

fp = open(fn, 'r')
for line in fp:
x, y, z = map(float, line.split(" "))
lat, lon, hgt = spheroid.forward3d(lat0, lon0, hgt0, x, y, z, a, f)
print "%.8f %.8f %.3f" % (math.degrees(lat), math.degrees(lon), hgt)
fp.close()
</syntaxhighlight>

Этот скрипт находится в архиве [[Медиа:Spheroid.zip|Spheroid.zip]] в файле '''forwrd3d.py'''.

Файл данных должен содержать в каждой строке координаты одной точки ''x'', ''y'', ''z'', разделённые пробелом. Создадим файл данных '''fwd3d.dat''':

<pre>-40000 30000 0</pre>

Выполним скрипт в командной строке:

<pre>$ python forwrd3d.py fwd3d.dat</pre>

Координаты на выходе:

<pre>64.63992461 45.62743323 695.578</pre>

Запишем полученные координаты в файл результатов '''inv3d.dat''':

<pre>$ python forwrd3d.py fwd3d.dat > inv3d.dat</pre>

=== Пересчёт геодезических координат в топоцентрические ===

В этом примере программы явно задаются параметры эллипсоида ''a'', ''f'' и геодезические координаты начала топоцентрической системы ''B''₀, ''L''₀, ''H''₀. Координаты точек ''B'', ''L'', ''H'' читаются из файла данных и пересчитанные значения ''x'', ''y'', ''z'' выводятся в консоль.

<syntaxhighlight lang="python">
from sys import argv
import math
import spheroid

script, fn = argv

a, f = 6378137., 1./298.257223563 # WGS 84

lat0, lon0, hgt0 = math.radians(65.), math.radians(45.), 500.

fp = open(fn, 'r')
for line in fp:
lat, lon, hgt = map(float, line.split(" "))
lat = math.radians(lat)
lon = math.radians(lon)
x, y, z = spheroid.inverse3d(lat0, lon0, hgt0, lat, lon, hgt, a, f)
print "%.3f %.3f %.3f" % (x, y, z)
fp.close()
</syntaxhighlight>

Этот скрипт находится в архиве [[Медиа:Spheroid.zip|Spheroid.zip]] в файле '''invers3d.py'''.

Файл данных должен содержать в каждой строке координаты одной точки ''B'', ''L'', ''H'', разделённые пробелом. Используем в качестве файла данных созданный выше '''inv3d.dat''':

<pre>64.63992461 45.62743323 695.578</pre>

Выполним скрипт в командной строке:

<pre>$ python invers3d.py inv3d.dat</pre>

Координаты на выходе:

<pre>-40000.000 30000.000 0.000</pre>

== Ссылки ==
* [http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.139.7504&rep=rep1&type=pdf Robert Burtch, A Comparison of Methods Used in Rectangular to Geodetic Coordinate Transformations, 2006]

Местная система координат линейного объекта

2014-11-26T10:39:17Z

ErnieBoyd: /* Построение проекции */

{{Статья|Черновик}}

{{Аннотация|Конструирование проекции для представления системы координат линейного объекта в ГИС}}

== Введение ==

Система координат линейного объекта строится для эксплуатации протяжённого инженерного сооружения.
Принципы построения проекции сходны с классическим подходом, изложенным в статье [http://gis-lab.info/qa/local-cs.html «Добавление местной координатной системы в GIS»].
Однако постановка задачи отличается.

== Постановка задачи ==

На оси сооружения задана линия положением двух его конечных точек в глобальной системе координат (ГСК).

Пусть в местной системе (МСК) начало координат совмещено с первой точкой, расстояние между точками задано величиной ''L'', а ось ''OX'' направлена вдоль оси сооружения наружу. В такой системе координаты второй точки будут равны ''X'' = −''L'', ''Y'' = 0.

Требуется подобрать проекцию, подходящую для представления такой МСК в ГИС.

== О проекции ==

Выбор проекции однозначен. Это косая проекция Меркатора с такими значениями параметров, чтобы так называемая начальная линия (линия наименьшего масштаба) проходила через конечные точки, а расстояние между этими точками равнялось ''L''.

Для косой проекции Меркатора задаются следующие параметры:
* широта и долгота центра проекции ''φ''₀, ''λ''₀
* азимут начальной линии ''α''
* разворот координатных осей ''γ''
* масштаб на начальной линии ''k''₀
* прямоугольные координаты в центре проекции ''x''₀, ''y''₀

Азимут начальной линии должен находиться в диапазоне −90° < ''α'' < +90°. Таким образом, если разворот ''γ'' не задан, ось ''OY'' будет направлена вдоль начальной линии в северную полуплоскость, ''OX'' в восточную.

Азимут ''α'' не может равняться 0°. Если ось направлена вдоль меридиана, выбирайте проекцию Гаусса-Крюгера. Также ''α'' не может принимать значения ±90°. Это тоже не проблема, поскольку в окрестности таких значений азимут вдоль геодезической линии меняется довольно быстро, и можно выбрать центр проекции на некотором удалении от первоначально выбранной точки.

Разворот ''γ'' первоначально вводился для компенсации начального разворота осей, чтобы вернуть оси ''OY'' направление строго на север. Для нас это великолепная возможность управлять ориентацией осей МСК произвольно.

== Определение параметров ==

Приведём данные тестового примера. Осевая линия задана положением конечных точек на эллипсоиде WGS 84: ''φ''₁ = 51° с.ш., ''λ''₁ = 22° в.д., ''φ''₂ = 50° с.ш., ''λ''₂ = 20° в.д. Расстояние вдоль оси задано длиной ''L'' = 180300 м.

Рассмотрим последовательность решения задачи с использованием '''PROJ.4'''. Вид строки параметров таков:

<pre>
+proj=omerc +lat_0=φ₀ +lonc=λ₀ +alpha=α +gamma=γ +k_0=k₀ +x_0=x₀ +y_0=y₀
</pre>

Простой подход состоит в том, чтобы поместить центр проекции в первую точку. В соответствии с постановкой задачи определяются следующие параметры:

<pre>
+lat_0=51 +lonc=22 +x_0=0 +y_0=0
</pre>

Для определения параметра ''alpha'' нужно решить обратную геодезическую задачу и найти азимут в первой точке на вторую ''α''₁₂. Здесь возможны два случая:
* вторая точка севернее первой, −90° < ''α''₁₂ < +90°; ''alpha'' = ''α''₁₂
* вторая точка южнее первой, 90° < ''α''₁₂ < 270°; ''alpha'' = ''α''₁₂ − 180°

Поскольку поставлена задача направить ось ''OX'' вдоль начальной линии в противоположную сторону от второй точки, параметру ''gamma'' присвоим значение −90° в первом случае и +90° во втором.

Значение параметра ''k_0'' также можно оценить по результатам решения обратной геодезической задачи: ''k_0'' = ''L'' / ''S'', где ''L'' — заданная длина линии, ''S'' — длина геодезической из решения ОГЗ.

=== Решение обратной геодезической задачи ===

Итак, из решения ОГЗ мы хотим получить азимут ''α''₁₂ и расстояние ''S'', нужные для определения параметров ''alpha'' и ''k_0'' соответственно.

Пикантность ситуации придаёт тот факт, что на эллипсоиде через две точки проходит геодезическая линия, которая в блестящей математике косой проекции сэра Мартина Хотайна отображается в кривую на апосфере, не совпадающую с дугой большого круга. Расчёты показывают, что вследствие этого точность соответствия ''alpha'' = ''α''₁₂ и ''k_0'' = ''L'' / ''S'' при расстояниях в несколько десятков километров перестаёт удовлетворять требованиям геодезии.

Впрочем, многие объекты имеют скромные размеры «всего» в несколько километров, и для них этот неприятный момент имеет исключительно теоретическое значение.

Однако есть ещё одно обстоятельство. Утилита '''geod''' из пакета '''PROJ.4''' версии 4.9.0 будет решать геодезические задачи на эллипсоиде, используя библиотеку '''GeographicLib'''. Но сегодня в ходу '''PROJ.4''' версии 4.8.0, и '''geod''' умеет считать только для сферы.

Так или иначе, надо научиться обходиться подручными средствами.

Подготовим файл данных с координатами конечных пунктов '''inv.dat''':
<pre>
51N 22E 50N 20E
</pre>
и решим ОГЗ:
<syntaxhighlight lang="bash">
$ geod -I -f "%.10f" -F "%f" +ellps=WGS84 +units=m inv.dat
</syntaxhighlight>
Возможно, в следующей версии '''PROJ.4''' результатом этой команды будет решение на эллипсоиде. Сегодня же из решения на сфере радиусом, равным экваториальному радиусу эллипсоида WGS 84, получилась такая строка значений ''α''₁₂, ''α''₂₁, ''S'':
<pre>
-127.3948484062 51.0617802663 180119.673397
</pre>

=== Построение проекции ===

По результатам решения ОГЗ построим черновую проекцию. Поскольку ''φ''₂ < ''φ''₁, имеет место второй вариант; примем ''alpha'' = ''α''₁₂ + 180° = 52.6051515938°, ''gamma'' = +90°. Масштабный коэффициент пока приравняем единице: ''k_0'' = 1. Получен предварительный набор параметров:
<pre>
+proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6051515938 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0
</pre>
Подготовим файл с координатами конечных точек '''p12.dat''':
<pre>
22 51
20 50
</pre>
Выполним команду:
<syntaxhighlight lang="bash">
$ proj -f "%f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6051515938 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p12.dat
</syntaxhighlight>
Программа выдаёт координаты первой и второй точек ''x''₁, ''y''₁ и ''x''₂, ''y''₂ в МСК:
<pre>
-0.000000 0.000000
-180292.238188 238.386305
</pre>
Координаты первой точки равны нулю, как и должно быть. Координаты второй точки отличаются от ожидаемых значений −''L'' и 0. Ненулевая величина ''y''₂ говорит о том, что начальная линия проходит мимо второй точки. Значит, нужно подобрать параметр ''alpha'', чтобы исправить промах.

Численные методы отлично справляются с поиском корня уравнения ''x''₂(''alpha'') = 0. Добавим немного геометрии в задачу и будем улучшать значение параметра по формуле ''alpha''′ = ''alpha'' − arctg [(''y''₂ − ''y''₁) / (''x''₂ − ''x''₁)]. Может, это не очень эффективно, но через пять итераций при ''alpha'' = 52.6809193468 получаем такие координаты:
<pre>
-0.000000 0.000000
-180292.395746 0.000000
</pre>
Вычисляем параметр ''k_0'' по формуле ''k_0'' = −''L'' / (''x''₂ − ''x''₁) = 180300 / 180292.238188 = 1.0000421773.

Запуск '''proj''' с окончательным набором параметров:
<syntaxhighlight lang="bash">
proj -f "%f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6809193468 +gamma=90 +k_0=1.0000421773 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p12.dat
</syntaxhighlight>
Результаты:
<pre>
-0.000 0.000
-180300.000 0.000
</pre>
Проекция построена.

== Вторая проекция ==

Нередко требуется вторая проекция, являющаяся зеркальным отражением первой: начало координат МСК-2 во второй точке, ось ''OX'' направлена вдоль оси в сторону, противоположную направлению на первую точку. Таким образом МСК-2 развёрнута по отношению к МСК-1 на 180° и смещена вдоль оси ''OX'' на длину ''L''.

Последнее предложение имеет особый смысл для выбора способа построения МСК-2. Если выбрать способ, изложенный для МСК-1, только с центром проекции во второй точке и опорой на азимут ''α''₂₁, выяснится, что апосфера во втором случае будет не та, что в первом, и большие круги, проходящие через две точки, не совпадают. Правда, разница незаметна, пока расстояние не достигает величин в несколько десятков километров.

Таким образом, если нужна пара взаимоувязанных МСК, вторая система строится на параметрах первой. Параметр ''gamma'' изменяем на 180°, параметру ''x_0'' присваиваем значение ''−L'', всего-то и делов.

== Тестирование ==

Создадим файл с координатами двух точек '''pt34.dat''' на эллипсоиде:
<pre>
21 51
21 50
</pre>
Вычислим координаты в МСК-1:
<syntaxhighlight lang="bash">
proj -f "%.3f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6809193468 +gamma=90 +k_0=1.0000421773 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p34.dat
</syntaxhighlight>
<pre>
-55539.071 42936.465
-124171.432 -44612.843
</pre>
Вычислим координаты в МСК-2:
<syntaxhighlight lang="bash">
proj -f "%.3f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6809193468 +gamma=-90 +k_0=1.0000421773 +x_0=-180300 +y_0=0 +ellps=WGS84 p34.dat
</syntaxhighlight>
<pre>
-124760.929 -42936.465
-56128.568 44612.843
</pre>
Калькулятор подтверждает, что:
* суммы координат ''x'' соответствующих точек равны ''−L''
* суммы координат ''y'' соответствующих точек равны нулю

== Заключение ==

Рассмотренный способ построения проекции прост, поскольку позволяет заменить знание математической картографии обращением к '''PROJ.4''', который используется как чёрный ящик.

В косой проекции Меркатора масштаб отображения вдоль начальной линии не является постоянным, поскольку при изменении широты меняется кривизна сечения эллипсоида. Это несущественно для объектов длиной в несколько километров, но становится заметным при очень больших длинах. Чтобы уменьшить эффект, центр проекции располагают в середине линии.

В этом случае задача построения проекции по двум точкам усложняется: центр проекции нужно поместить на дугу большого круга, проходящего через конечные точки. Пожалуй, всё же проще использовать для решения таких задач сферическую тригонометрию на апосфере.

== Ссылки ==

* [http://pubs.usgs.gov/pp/1395/report.pdf Map Projections — A Working Manual, Snyder J. P., USGS Professional Paper 1395, 1987]
* [http://remotesensing.org/geotiff/proj_list/guid7.html Coordinate Conversions and Transformations including Formulas, EPSG Guidance Note 7, 2002]
* [http://remotesensing.org/geotiff/proj_list/hotine_oblique_mercator.html Hotine Oblique Mercator]
* [http://trac.osgeo.org/proj/wiki/man_proj man_proj – PROJ.4]
* [http://trac.osgeo.org/proj/wiki/man_geod man_geod – PROJ.4]
* [http://geographiclib.sourceforge.net/ GeographicLib]
* [http://gis-lab.info/qa/local-cs.html Добавление местной координатной системы в GIS]

Местная система координат линейного объекта

2014-11-21T20:04:41Z

ErnieBoyd: /* Построение проекции */

{{Статья|Черновик}}

{{Аннотация|Конструирование проекции для представления системы координат линейного объекта в ГИС}}

== Введение ==

Система координат линейного объекта строится для эксплуатации протяжённого инженерного сооружения.
Принципы построения проекции сходны с классическим подходом, изложенным в статье [http://gis-lab.info/qa/local-cs.html «Добавление местной координатной системы в GIS»].
Однако постановка задачи отличается.

== Постановка задачи ==

На оси сооружения задана линия положением двух его конечных точек в глобальной системе координат (ГСК).

Пусть в местной системе (МСК) начало координат совмещено с первой точкой, расстояние между точками задано величиной ''L'', а ось ''OX'' направлена вдоль оси сооружения наружу. В такой системе координаты второй точки будут равны ''X'' = −''L'', ''Y'' = 0.

Требуется подобрать проекцию, подходящую для представления такой МСК в ГИС.

== О проекции ==

Выбор проекции однозначен. Это косая проекция Меркатора с такими значениями параметров, чтобы так называемая начальная линия (линия наименьшего масштаба) проходила через конечные точки, а расстояние между этими точками равнялось ''L''.

Для косой проекции Меркатора задаются следующие параметры:
* широта и долгота центра проекции ''φ''₀, ''λ''₀
* азимут начальной линии ''α''
* разворот координатных осей ''γ''
* масштаб на начальной линии ''k''₀
* прямоугольные координаты в центре проекции ''x''₀, ''y''₀

Азимут начальной линии должен находиться в диапазоне −90° < ''α'' < +90°. Таким образом, если разворот ''γ'' не задан, ось ''OY'' будет направлена вдоль начальной линии в северную полуплоскость, ''OX'' в восточную.

Азимут ''α'' не может равняться 0°. Если ось направлена вдоль меридиана, выбирайте проекцию Гаусса-Крюгера. Также ''α'' не может принимать значения ±90°. Это тоже не проблема, поскольку в окрестности таких значений азимут вдоль геодезической линии меняется довольно быстро, и можно выбрать центр проекции на некотором удалении от первоначально выбранной точки.

Разворот ''γ'' первоначально вводился для компенсации начального разворота осей, чтобы вернуть оси ''OY'' направление строго на север. Для нас это великолепная возможность управлять ориентацией осей МСК произвольно.

== Определение параметров ==

Приведём данные тестового примера. Осевая линия задана положением конечных точек на эллипсоиде WGS 84: ''φ''₁ = 51° с.ш., ''λ''₁ = 22° в.д., ''φ''₂ = 50° с.ш., ''λ''₂ = 20° в.д. Расстояние вдоль оси задано длиной ''L'' = 180300 м.

Рассмотрим последовательность решения задачи с использованием '''PROJ.4'''. Вид строки параметров таков:

<pre>
+proj=omerc +lat_0=φ₀ +lonc=λ₀ +alpha=α +gamma=γ +k_0=k₀ +x_0=x₀ +y_0=y₀
</pre>

Простой подход состоит в том, чтобы поместить центр проекции в первую точку. В соответствии с постановкой задачи определяются следующие параметры:

<pre>
+lat_0=51 +lonc=22 +x_0=0 +y_0=0
</pre>

Для определения параметра ''alpha'' нужно решить обратную геодезическую задачу и найти азимут в первой точке на вторую ''α''₁₂. Здесь возможны два случая:
* вторая точка севернее первой, −90° < ''α''₁₂ < +90°; ''alpha'' = ''α''₁₂
* вторая точка южнее первой, 90° < ''α''₁₂ < 270°; ''alpha'' = ''α''₁₂ − 180°

Поскольку поставлена задача направить ось ''OX'' вдоль начальной линии в противоположную сторону от второй точки, параметру ''gamma'' присвоим значение −90° в первом случае и +90° во втором.

Значение параметра ''k_0'' также можно оценить по результатам решения обратной геодезической задачи: ''k_0'' = ''L'' / ''S'', где ''L'' — заданная длина линии, ''S'' — длина геодезической из решения ОГЗ.

=== Решение обратной геодезической задачи ===

Итак, из решения ОГЗ мы хотим получить азимут ''α''₁₂ и расстояние ''S'', нужные для определения параметров ''alpha'' и ''k_0'' соответственно.

Пикантность ситуации придаёт тот факт, что на эллипсоиде через две точки проходит геодезическая линия, которая в блестящей математике косой проекции сэра Мартина Хотайна отображается в кривую на апосфере, не совпадающую с дугой большого круга. Расчёты показывают, что вследствие этого точность соответствия ''alpha'' = ''α''₁₂ и ''k_0'' = ''L'' / ''S'' при расстояниях в несколько десятков километров перестаёт удовлетворять требованиям геодезии.

Впрочем, многие объекты имеют скромные размеры «всего» в несколько километров, и для них этот неприятный момент имеет исключительно теоретическое значение.

Однако есть ещё одно обстоятельство. Утилита '''geod''' из пакета '''PROJ.4''' версии 4.9.0 будет решать геодезические задачи на эллипсоиде, используя библиотеку '''GeographicLib'''. Но сегодня в ходу '''PROJ.4''' версии 4.8.0, и '''geod''' умеет считать только для сферы.

Так или иначе, надо научиться обходиться подручными средствами.

Подготовим файл данных с координатами конечных пунктов '''inv.dat''':
<pre>
51N 22E 50N 20E
</pre>
и решим ОГЗ:
<syntaxhighlight lang="bash">
$ geod -I -f "%.10f" -F "%f" +ellps=WGS84 +units=m inv.dat
</syntaxhighlight>
Возможно, в следующей версии '''PROJ.4''' результатом этой команды будет решение на эллипсоиде. Сегодня же из решения на сфере радиусом, равным экваториальному радиусу эллипсоида WGS 84, получилась такая строка значений ''α''₁₂, ''α''₂₁, ''S'':
<pre>
-127.3948484062 51.0617802663 180119.673397
</pre>

=== Построение проекции ===

По результатам решения ОГЗ построим черновую проекцию. Поскольку ''φ''₂ < ''φ''₁, имеет место второй вариант; примем ''alpha'' = ''α''₁₂ + 180° = 52.6051515938°, ''gamma'' = +90°. Масштабный коэффициент пока приравняем единице: ''k_0'' = 1. Получен предварительный набор параметров:
<pre>
+proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6051515938 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0
</pre>
Подготовим файл с координатами конечных точек '''p12.dat''':
<pre>
22 51
20 50
</pre>
Выполним команду:
<syntaxhighlight lang="bash">
$ proj -f "%f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6051515938 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p12.dat
</syntaxhighlight>
Программа выдаёт координаты первой и второй точек ''x''₁, ''y''₁ и ''x''₂, ''y''₂ в МСК:
<pre>
-0.000000 0.000000
-180292.238188 238.386305
</pre>
Координаты первой точки равны нулю, как и должно быть. Координаты второй точки отличаются от ожидаемых значений −''L'' и 0. Ненулевая величина ''y''₂ говорит о том, что начальная линия проходит мимо второй точки. Значит, нужно подобрать параметр ''alpha'', чтобы исправить промах.

Численные методы отлично справляются с поиском корня уравнения ''x''₂(''alpha'') = 0. Добавим немного геометрии в задачу и будем улучшать значение параметра по формуле ''alpha''′ = ''alpha'' − arctg [(''y''₂ − ''y''₁) / (''x''₂ − ''x''₁)]. Может, это не очень эффективно, но через пять итераций при ''alpha'' = 52.6809193468 получаем такие координаты:
<pre>
-0.000000 0.000000
-180292.395746 0.000000
</pre>
Вычисляем параметр ''k_0'' по формуле ''k_0'' = −''L'' / (''x''₂ − ''x''₁) = 180300 / 180292.238188 = 1.0000421773.

Запуск '''proj''' с окончательным набором параметров:
<syntaxhighlight lang="bash">
proj -f "%f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6809193468 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p12.dat
</syntaxhighlight>
Результаты:
<pre>
-0.000 0.000
-180300.000 0.000
</pre>
Проекция построена.

== Вторая проекция ==

Нередко требуется вторая проекция, являющаяся зеркальным отражением первой: начало координат МСК-2 во второй точке, ось ''OX'' направлена вдоль оси в сторону, противоположную направлению на первую точку. Таким образом МСК-2 развёрнута по отношению к МСК-1 на 180° и смещена вдоль оси ''OX'' на длину ''L''.

Последнее предложение имеет особый смысл для выбора способа построения МСК-2. Если выбрать способ, изложенный для МСК-1, только с центром проекции во второй точке и опорой на азимут ''α''₂₁, выяснится, что апосфера во втором случае будет не та, что в первом, и большие круги, проходящие через две точки, не совпадают. Правда, разница незаметна, пока расстояние не достигает величин в несколько десятков километров.

Таким образом, если нужна пара взаимоувязанных МСК, вторая система строится на параметрах первой. Параметр ''gamma'' изменяем на 180°, параметру ''x_0'' присваиваем значение ''−L'', всего-то и делов.

== Тестирование ==

Создадим файл с координатами двух точек '''pt34.dat''' на эллипсоиде:
<pre>
21 51
21 50
</pre>
Вычислим координаты в МСК-1:
<syntaxhighlight lang="bash">
proj -f "%.3f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6809193468 +gamma=90 +k_0=1.0000421773 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p34.dat
</syntaxhighlight>
<pre>
-55539.071 42936.465
-124171.432 -44612.843
</pre>
Вычислим координаты в МСК-2:
<syntaxhighlight lang="bash">
proj -f "%.3f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6809193468 +gamma=-90 +k_0=1.0000421773 +x_0=-180300 +y_0=0 +ellps=WGS84 p34.dat
</syntaxhighlight>
<pre>
-124760.929 -42936.465
-56128.568 44612.843
</pre>
Калькулятор подтверждает, что:
* суммы координат ''x'' соответствующих точек равны ''−L''
* суммы координат ''y'' соответствующих точек равны нулю

== Заключение ==

Рассмотренный способ построения проекции прост, поскольку позволяет заменить знание математической картографии обращением к '''PROJ.4''', который используется как чёрный ящик.

В косой проекции Меркатора масштаб отображения вдоль начальной линии не является постоянным, поскольку при изменении широты меняется кривизна сечения эллипсоида. Это несущественно для объектов длиной в несколько километров, но становится заметным при очень больших длинах. Чтобы уменьшить эффект, центр проекции располагают в середине линии.

В этом случае задача построения проекции по двум точкам усложняется: центр проекции нужно поместить на дугу большого круга, проходящего через конечные точки. Пожалуй, всё же проще использовать для решения таких задач сферическую тригонометрию на апосфере.

== Ссылки ==

* [http://pubs.usgs.gov/pp/1395/report.pdf Map Projections — A Working Manual, Snyder J. P., USGS Professional Paper 1395, 1987]
* [http://remotesensing.org/geotiff/proj_list/guid7.html Coordinate Conversions and Transformations including Formulas, EPSG Guidance Note 7, 2002]
* [http://remotesensing.org/geotiff/proj_list/hotine_oblique_mercator.html Hotine Oblique Mercator]
* [http://trac.osgeo.org/proj/wiki/man_proj man_proj – PROJ.4]
* [http://trac.osgeo.org/proj/wiki/man_geod man_geod – PROJ.4]
* [http://geographiclib.sourceforge.net/ GeographicLib]
* [http://gis-lab.info/qa/local-cs.html Добавление местной координатной системы в GIS]

Местная система координат линейного объекта

2014-11-21T18:09:13Z

ErnieBoyd: /* Построение проекции */

{{Статья|Черновик}}

{{Аннотация|Конструирование проекции для представления системы координат линейного объекта в ГИС}}

== Введение ==

Система координат линейного объекта строится для эксплуатации протяжённого инженерного сооружения.
Принципы построения проекции сходны с классическим подходом, изложенным в статье [http://gis-lab.info/qa/local-cs.html «Добавление местной координатной системы в GIS»].
Однако постановка задачи отличается.

== Постановка задачи ==

На оси сооружения задана линия положением двух его конечных точек в глобальной системе координат (ГСК).

Пусть в местной системе (МСК) начало координат совмещено с первой точкой, расстояние между точками задано величиной ''L'', а ось ''OX'' направлена вдоль оси сооружения наружу. В такой системе координаты второй точки будут равны ''X'' = −''L'', ''Y'' = 0.

Требуется подобрать проекцию, подходящую для представления такой МСК в ГИС.

== О проекции ==

Выбор проекции однозначен. Это косая проекция Меркатора с такими значениями параметров, чтобы так называемая начальная линия (линия наименьшего масштаба) проходила через конечные точки, а расстояние между этими точками равнялось ''L''.

Для косой проекции Меркатора задаются следующие параметры:
* широта и долгота центра проекции ''φ''₀, ''λ''₀
* азимут начальной линии ''α''
* разворот координатных осей ''γ''
* масштаб на начальной линии ''k''₀
* прямоугольные координаты в центре проекции ''x''₀, ''y''₀

Азимут начальной линии должен находиться в диапазоне −90° < ''α'' < +90°. Таким образом, если разворот ''γ'' не задан, ось ''OY'' будет направлена вдоль начальной линии в северную полуплоскость, ''OX'' в восточную.

Азимут ''α'' не может равняться 0°. Если ось направлена вдоль меридиана, выбирайте проекцию Гаусса-Крюгера. Также ''α'' не может принимать значения ±90°. Это тоже не проблема, поскольку в окрестности таких значений азимут вдоль геодезической линии меняется довольно быстро, и можно выбрать центр проекции на некотором удалении от первоначально выбранной точки.

Разворот ''γ'' первоначально вводился для компенсации начального разворота осей, чтобы вернуть оси ''OY'' направление строго на север. Для нас это великолепная возможность управлять ориентацией осей МСК произвольно.

== Определение параметров ==

Приведём данные тестового примера. Осевая линия задана положением конечных точек на эллипсоиде WGS 84: ''φ''₁ = 51° с.ш., ''λ''₁ = 22° в.д., ''φ''₂ = 50° с.ш., ''λ''₂ = 20° в.д. Расстояние вдоль оси задано длиной ''L'' = 180300 м.

Рассмотрим последовательность решения задачи с использованием '''PROJ.4'''. Вид строки параметров таков:

<pre>
+proj=omerc +lat_0=φ₀ +lonc=λ₀ +alpha=α +gamma=γ +k_0=k₀ +x_0=x₀ +y_0=y₀
</pre>

Простой подход состоит в том, чтобы поместить центр проекции в первую точку. В соответствии с постановкой задачи определяются следующие параметры:

<pre>
+lat_0=51 +lonc=22 +x_0=0 +y_0=0
</pre>

Для определения параметра ''alpha'' нужно решить обратную геодезическую задачу и найти азимут в первой точке на вторую ''α''₁₂. Здесь возможны два случая:
* вторая точка севернее первой, −90° < ''α''₁₂ < +90°; ''alpha'' = ''α''₁₂
* вторая точка южнее первой, 90° < ''α''₁₂ < 270°; ''alpha'' = ''α''₁₂ − 180°

Поскольку поставлена задача направить ось ''OX'' вдоль начальной линии в противоположную сторону от второй точки, параметру ''gamma'' присвоим значение −90° в первом случае и +90° во втором.

Значение параметра ''k_0'' также можно оценить по результатам решения обратной геодезической задачи: ''k_0'' = ''L'' / ''S'', где ''L'' — заданная длина линии, ''S'' — длина геодезической из решения ОГЗ.

=== Решение обратной геодезической задачи ===

Итак, из решения ОГЗ мы хотим получить азимут ''α''₁₂ и расстояние ''S'', нужные для определения параметров ''alpha'' и ''k_0'' соответственно.

Пикантность ситуации придаёт тот факт, что на эллипсоиде через две точки проходит геодезическая линия, которая в блестящей математике косой проекции сэра Мартина Хотайна отображается в кривую на апосфере, не совпадающую с дугой большого круга. Расчёты показывают, что вследствие этого точность соответствия ''alpha'' = ''α''₁₂ и ''k_0'' = ''L'' / ''S'' при расстояниях в несколько десятков километров перестаёт удовлетворять требованиям геодезии.

Впрочем, многие объекты имеют скромные размеры «всего» в несколько километров, и для них этот неприятный момент имеет исключительно теоретическое значение.

Однако есть ещё одно обстоятельство. Утилита '''geod''' из пакета '''PROJ.4''' версии 4.9.0 будет решать геодезические задачи на эллипсоиде, используя библиотеку '''GeographicLib'''. Но сегодня в ходу '''PROJ.4''' версии 4.8.0, и '''geod''' умеет считать только для сферы.

Так или иначе, надо научиться обходиться подручными средствами.

Подготовим файл данных с координатами конечных пунктов '''inv.dat''':
<pre>
51N 22E 50N 20E
</pre>
и решим ОГЗ:
<syntaxhighlight lang="bash">
$ geod -I -f "%.10f" -F "%f" +ellps=WGS84 +units=m inv.dat
</syntaxhighlight>
Возможно, в следующей версии '''PROJ.4''' результатом этой команды будет решение на эллипсоиде. Сегодня же из решения на сфере радиусом, равным экваториальному радиусу эллипсоида WGS 84, получилась такая строка значений ''α''₁₂, ''α''₂₁, ''S'':
<pre>
-127.3948484062 51.0617802663 180119.673397
</pre>

=== Построение проекции ===

По результатам решения ОГЗ построим черновую проекцию. Поскольку ''φ''₂ < ''φ''₁, имеет место второй вариант; примем ''alpha'' = ''α''₁₂ + 180° = 52.6051515938°, ''gamma'' = +90°. Масштабный коэффициент пока приравняем единице: ''k_0'' = 1. Получен предварительный набор параметров:
<pre>
+proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6051515938 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0
</pre>
Подготовим файл с координатами конечных точек '''p12.dat''':
<pre>
22 51
20 50
</pre>
Выполним команду:
<syntaxhighlight lang="bash">
$ proj -f "%f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6051515938 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p12.dat
</syntaxhighlight>
Программа выдаёт координаты первой и второй точек ''x''₁, ''y''₁ и ''x''₂, ''y''₂ в МСК:
<pre>
-0.000000 0.000000
-180292.238188 238.386305
</pre>
Координаты первой точки равны нулю, как и ожидалось. Координаты второй точки отличаются от ожидаемых значений −''L'' и 0. Ненулевая величина ''y''₂ говорит о том, что начальная линия проходит мимо второй точки. Значит, нужно подобрать параметр ''alpha'', чтобы исправить промах.

Численные методы отлично справляются с поиском корня уравнения ''x''₂(''alpha'') = 0. Добавим немного геометрии в задачу и будем улучшать значение параметра по формуле ''alpha''′ = ''alpha'' − arctg [(''y''₂ − ''y''₁) / (''x''₂ − ''x''₁)]. Может, это не очень эффективно, но через пять итераций при ''alpha'' = 52.6809193468 получаем такие координаты:
<pre>
-0.000000 0.000000
-180292.395746 0.000000
</pre>
Вычисляем параметр ''k_0'' по формуле ''k_0'' = −''L'' / (''x''₂ − ''x''₁) = 180300 / 180292.238188 = 1.0000421773.

Запуск '''proj''' с окончательным набором параметров:
<syntaxhighlight lang="bash">
proj -f "%f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6809193468 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p12.dat
</syntaxhighlight>
Результаты:
<pre>
-0.000 0.000
-180300.000 0.000
</pre>
Проекция построена.

== Вторая проекция ==

Нередко требуется вторая проекция, являющаяся зеркальным отражением первой: начало координат МСК-2 во второй точке, ось ''OX'' направлена вдоль оси в сторону, противоположную направлению на первую точку. Таким образом МСК-2 развёрнута по отношению к МСК-1 на 180° и смещена вдоль оси ''OX'' на длину ''L''.

Последнее предложение имеет особый смысл для выбора способа построения МСК-2. Если выбрать способ, изложенный для МСК-1, только с центром проекции во второй точке и опорой на азимут ''α''₂₁, выяснится, что апосфера во втором случае будет не та, что в первом, и большие круги, проходящие через две точки, не совпадают. Правда, разница незаметна, пока расстояние не достигает величин в несколько десятков километров.

Таким образом, если нужна пара взаимоувязанных МСК, вторая система строится на параметрах первой. Параметр ''gamma'' изменяем на 180°, параметру ''x_0'' присваиваем значение ''−L'', всего-то и делов.

== Тестирование ==

Создадим файл с координатами двух точек '''pt34.dat''' на эллипсоиде:
<pre>
21 51
21 50
</pre>
Вычислим координаты в МСК-1:
<syntaxhighlight lang="bash">
proj -f "%.3f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6809193468 +gamma=90 +k_0=1.0000421773 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p34.dat
</syntaxhighlight>
<pre>
-55539.071 42936.465
-124171.432 -44612.843
</pre>
Вычислим координаты в МСК-2:
<syntaxhighlight lang="bash">
proj -f "%.3f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6809193468 +gamma=-90 +k_0=1.0000421773 +x_0=-180300 +y_0=0 +ellps=WGS84 p34.dat
</syntaxhighlight>
<pre>
-124760.929 -42936.465
-56128.568 44612.843
</pre>
Калькулятор подтверждает, что:
* суммы координат ''x'' соответствующих точек равны ''−L''
* суммы координат ''y'' соответствующих точек равны нулю

== Заключение ==

Рассмотренный способ построения проекции прост, поскольку позволяет заменить знание математической картографии обращением к '''PROJ.4''', который используется как чёрный ящик.

В косой проекции Меркатора масштаб отображения вдоль начальной линии не является постоянным, поскольку при изменении широты меняется кривизна сечения эллипсоида. Это несущественно для объектов длиной в несколько километров, но становится заметным при очень больших длинах. Чтобы уменьшить эффект, центр проекции располагают в середине линии.

В этом случае задача построения проекции по двум точкам усложняется: центр проекции нужно поместить на дугу большого круга, проходящего через конечные точки. Пожалуй, всё же проще использовать для решения таких задач сферическую тригонометрию на апосфере.

== Ссылки ==

* [http://pubs.usgs.gov/pp/1395/report.pdf Map Projections — A Working Manual, Snyder J. P., USGS Professional Paper 1395, 1987]
* [http://remotesensing.org/geotiff/proj_list/guid7.html Coordinate Conversions and Transformations including Formulas, EPSG Guidance Note 7, 2002]
* [http://remotesensing.org/geotiff/proj_list/hotine_oblique_mercator.html Hotine Oblique Mercator]
* [http://trac.osgeo.org/proj/wiki/man_proj man_proj – PROJ.4]
* [http://trac.osgeo.org/proj/wiki/man_geod man_geod – PROJ.4]
* [http://geographiclib.sourceforge.net/ GeographicLib]
* [http://gis-lab.info/qa/local-cs.html Добавление местной координатной системы в GIS]

Местная система координат линейного объекта

2014-11-21T18:06:54Z

ErnieBoyd: /* Решение обратной геодезической задачи */

{{Статья|Черновик}}

{{Аннотация|Конструирование проекции для представления системы координат линейного объекта в ГИС}}

== Введение ==

Система координат линейного объекта строится для эксплуатации протяжённого инженерного сооружения.
Принципы построения проекции сходны с классическим подходом, изложенным в статье [http://gis-lab.info/qa/local-cs.html «Добавление местной координатной системы в GIS»].
Однако постановка задачи отличается.

== Постановка задачи ==

На оси сооружения задана линия положением двух его конечных точек в глобальной системе координат (ГСК).

Пусть в местной системе (МСК) начало координат совмещено с первой точкой, расстояние между точками задано величиной ''L'', а ось ''OX'' направлена вдоль оси сооружения наружу. В такой системе координаты второй точки будут равны ''X'' = −''L'', ''Y'' = 0.

Требуется подобрать проекцию, подходящую для представления такой МСК в ГИС.

== О проекции ==

Выбор проекции однозначен. Это косая проекция Меркатора с такими значениями параметров, чтобы так называемая начальная линия (линия наименьшего масштаба) проходила через конечные точки, а расстояние между этими точками равнялось ''L''.

Для косой проекции Меркатора задаются следующие параметры:
* широта и долгота центра проекции ''φ''₀, ''λ''₀
* азимут начальной линии ''α''
* разворот координатных осей ''γ''
* масштаб на начальной линии ''k''₀
* прямоугольные координаты в центре проекции ''x''₀, ''y''₀

Азимут начальной линии должен находиться в диапазоне −90° < ''α'' < +90°. Таким образом, если разворот ''γ'' не задан, ось ''OY'' будет направлена вдоль начальной линии в северную полуплоскость, ''OX'' в восточную.

Азимут ''α'' не может равняться 0°. Если ось направлена вдоль меридиана, выбирайте проекцию Гаусса-Крюгера. Также ''α'' не может принимать значения ±90°. Это тоже не проблема, поскольку в окрестности таких значений азимут вдоль геодезической линии меняется довольно быстро, и можно выбрать центр проекции на некотором удалении от первоначально выбранной точки.

Разворот ''γ'' первоначально вводился для компенсации начального разворота осей, чтобы вернуть оси ''OY'' направление строго на север. Для нас это великолепная возможность управлять ориентацией осей МСК произвольно.

== Определение параметров ==

Приведём данные тестового примера. Осевая линия задана положением конечных точек на эллипсоиде WGS 84: ''φ''₁ = 51° с.ш., ''λ''₁ = 22° в.д., ''φ''₂ = 50° с.ш., ''λ''₂ = 20° в.д. Расстояние вдоль оси задано длиной ''L'' = 180300 м.

Рассмотрим последовательность решения задачи с использованием '''PROJ.4'''. Вид строки параметров таков:

<pre>
+proj=omerc +lat_0=φ₀ +lonc=λ₀ +alpha=α +gamma=γ +k_0=k₀ +x_0=x₀ +y_0=y₀
</pre>

Простой подход состоит в том, чтобы поместить центр проекции в первую точку. В соответствии с постановкой задачи определяются следующие параметры:

<pre>
+lat_0=51 +lonc=22 +x_0=0 +y_0=0
</pre>

Для определения параметра ''alpha'' нужно решить обратную геодезическую задачу и найти азимут в первой точке на вторую ''α''₁₂. Здесь возможны два случая:
* вторая точка севернее первой, −90° < ''α''₁₂ < +90°; ''alpha'' = ''α''₁₂
* вторая точка южнее первой, 90° < ''α''₁₂ < 270°; ''alpha'' = ''α''₁₂ − 180°

Поскольку поставлена задача направить ось ''OX'' вдоль начальной линии в противоположную сторону от второй точки, параметру ''gamma'' присвоим значение −90° в первом случае и +90° во втором.

Значение параметра ''k_0'' также можно оценить по результатам решения обратной геодезической задачи: ''k_0'' = ''L'' / ''S'', где ''L'' — заданная длина линии, ''S'' — длина геодезической из решения ОГЗ.

=== Решение обратной геодезической задачи ===

Итак, из решения ОГЗ мы хотим получить азимут ''α''₁₂ и расстояние ''S'', нужные для определения параметров ''alpha'' и ''k_0'' соответственно.

Пикантность ситуации придаёт тот факт, что на эллипсоиде через две точки проходит геодезическая линия, которая в блестящей математике косой проекции сэра Мартина Хотайна отображается в кривую на апосфере, не совпадающую с дугой большого круга. Расчёты показывают, что вследствие этого точность соответствия ''alpha'' = ''α''₁₂ и ''k_0'' = ''L'' / ''S'' при расстояниях в несколько десятков километров перестаёт удовлетворять требованиям геодезии.

Впрочем, многие объекты имеют скромные размеры «всего» в несколько километров, и для них этот неприятный момент имеет исключительно теоретическое значение.

Однако есть ещё одно обстоятельство. Утилита '''geod''' из пакета '''PROJ.4''' версии 4.9.0 будет решать геодезические задачи на эллипсоиде, используя библиотеку '''GeographicLib'''. Но сегодня в ходу '''PROJ.4''' версии 4.8.0, и '''geod''' умеет считать только для сферы.

Так или иначе, надо научиться обходиться подручными средствами.

Подготовим файл данных с координатами конечных пунктов '''inv.dat''':
<pre>
51N 22E 50N 20E
</pre>
и решим ОГЗ:
<syntaxhighlight lang="bash">
$ geod -I -f "%.10f" -F "%f" +ellps=WGS84 +units=m inv.dat
</syntaxhighlight>
Возможно, в следующей версии '''PROJ.4''' результатом этой команды будет решение на эллипсоиде. Сегодня же из решения на сфере радиусом, равным экваториальному радиусу эллипсоида WGS 84, получилась такая строка значений ''α''₁₂, ''α''₂₁, ''S'':
<pre>
-127.3948484062 51.0617802663 180119.673397
</pre>

=== Построение проекции ===

По результатам решения ОГЗ построим черновую проекцию. Поскольку ''φ''₂ < ''φ''₁, имеет место второй вариант; примем ''alpha'' = ''α''₁₂ + 180° = 52.6051515938°, ''gamma'' = +90°. Масштабный коэффициент пока приравняем единице: ''k_0'' = 1. Получен предварительный набор параметров:
<pre>
+proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6051515938 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0
</pre>
Подготовим файл с координатами конечных точек '''p12.dat''':
<pre>
22 51
20 50
</pre>
Выполним команду:
<syntaxhighlight lang="bash">
$ proj -f "%f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6051515938 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p12.dat
</syntaxhighlight>
Программа выдаёт координаты первой и второй точек ''x''₁, ''y''₁ и ''x''₂, ''y''₂ в МСК:
<pre>
-0.000000 0.000000
-180292.238188 238.386305
</pre>
Координаты первой точки равны нулю, как и ожидалось. Координаты второй точки отличаются от ожидаемых −''L'' и 0. Ненулевое значение ''y''₂ говорит о том, что начальная линия проходит мимо второй точки. Значит, нужно подобрать параметр ''alpha'', чтобы исправить промах.

Численные методы отлично справляются с поиском корня уравнения ''x''₂(''alpha'') = 0. Добавим немного геометрии в задачу и будем улучшать значение параметра по формуле ''alpha''′ = ''alpha'' − arctg [(''y''₂ − ''y''₁) / (''x''₂ − ''x''₁)]. Может, это не очень эффективно, но через пять итераций при ''alpha'' = 52.6809193468 получаем такие координаты:
<pre>
-0.000000 0.000000
-180292.395746 0.000000
</pre>
Вычисляем параметр ''k_0'' по формуле ''k_0'' = −''L'' / (''x''₂ − ''x''₁) = 180300 / 180292.238188 = 1.0000421773.

Запуск '''proj''' с окончательным набором параметров:
<syntaxhighlight lang="bash">
proj -f "%f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6809193468 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p12.dat
</syntaxhighlight>
Результаты:
<pre>
-0.000 0.000
-180300.000 0.000
</pre>
Проекция построена.

== Вторая проекция ==

Нередко требуется вторая проекция, являющаяся зеркальным отражением первой: начало координат МСК-2 во второй точке, ось ''OX'' направлена вдоль оси в сторону, противоположную направлению на первую точку. Таким образом МСК-2 развёрнута по отношению к МСК-1 на 180° и смещена вдоль оси ''OX'' на длину ''L''.

Последнее предложение имеет особый смысл для выбора способа построения МСК-2. Если выбрать способ, изложенный для МСК-1, только с центром проекции во второй точке и опорой на азимут ''α''₂₁, выяснится, что апосфера во втором случае будет не та, что в первом, и большие круги, проходящие через две точки, не совпадают. Правда, разница незаметна, пока расстояние не достигает величин в несколько десятков километров.

Таким образом, если нужна пара взаимоувязанных МСК, вторая система строится на параметрах первой. Параметр ''gamma'' изменяем на 180°, параметру ''x_0'' присваиваем значение ''−L'', всего-то и делов.

== Тестирование ==

Создадим файл с координатами двух точек '''pt34.dat''' на эллипсоиде:
<pre>
21 51
21 50
</pre>
Вычислим координаты в МСК-1:
<syntaxhighlight lang="bash">
proj -f "%.3f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6809193468 +gamma=90 +k_0=1.0000421773 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p34.dat
</syntaxhighlight>
<pre>
-55539.071 42936.465
-124171.432 -44612.843
</pre>
Вычислим координаты в МСК-2:
<syntaxhighlight lang="bash">
proj -f "%.3f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6809193468 +gamma=-90 +k_0=1.0000421773 +x_0=-180300 +y_0=0 +ellps=WGS84 p34.dat
</syntaxhighlight>
<pre>
-124760.929 -42936.465
-56128.568 44612.843
</pre>
Калькулятор подтверждает, что:
* суммы координат ''x'' соответствующих точек равны ''−L''
* суммы координат ''y'' соответствующих точек равны нулю

== Заключение ==

Рассмотренный способ построения проекции прост, поскольку позволяет заменить знание математической картографии обращением к '''PROJ.4''', который используется как чёрный ящик.

В косой проекции Меркатора масштаб отображения вдоль начальной линии не является постоянным, поскольку при изменении широты меняется кривизна сечения эллипсоида. Это несущественно для объектов длиной в несколько километров, но становится заметным при очень больших длинах. Чтобы уменьшить эффект, центр проекции располагают в середине линии.

В этом случае задача построения проекции по двум точкам усложняется: центр проекции нужно поместить на дугу большого круга, проходящего через конечные точки. Пожалуй, всё же проще использовать для решения таких задач сферическую тригонометрию на апосфере.

== Ссылки ==

* [http://pubs.usgs.gov/pp/1395/report.pdf Map Projections — A Working Manual, Snyder J. P., USGS Professional Paper 1395, 1987]
* [http://remotesensing.org/geotiff/proj_list/guid7.html Coordinate Conversions and Transformations including Formulas, EPSG Guidance Note 7, 2002]
* [http://remotesensing.org/geotiff/proj_list/hotine_oblique_mercator.html Hotine Oblique Mercator]
* [http://trac.osgeo.org/proj/wiki/man_proj man_proj – PROJ.4]
* [http://trac.osgeo.org/proj/wiki/man_geod man_geod – PROJ.4]
* [http://geographiclib.sourceforge.net/ GeographicLib]
* [http://gis-lab.info/qa/local-cs.html Добавление местной координатной системы в GIS]

Местная система координат линейного объекта

2014-11-21T17:24:24Z

ErnieBoyd: /* Вторая проекция */

{{Статья|Черновик}}

{{Аннотация|Конструирование проекции для представления системы координат линейного объекта в ГИС}}

== Введение ==

Система координат линейного объекта строится для эксплуатации протяжённого инженерного сооружения.
Принципы построения проекции сходны с классическим подходом, изложенным в статье [http://gis-lab.info/qa/local-cs.html «Добавление местной координатной системы в GIS»].
Однако постановка задачи отличается.

== Постановка задачи ==

На оси сооружения задана линия положением двух его конечных точек в глобальной системе координат (ГСК).

Пусть в местной системе (МСК) начало координат совмещено с первой точкой, расстояние между точками задано величиной ''L'', а ось ''OX'' направлена вдоль оси сооружения наружу. В такой системе координаты второй точки будут равны ''X'' = −''L'', ''Y'' = 0.

Требуется подобрать проекцию, подходящую для представления такой МСК в ГИС.

== О проекции ==

Выбор проекции однозначен. Это косая проекция Меркатора с такими значениями параметров, чтобы так называемая начальная линия (линия наименьшего масштаба) проходила через конечные точки, а расстояние между этими точками равнялось ''L''.

Для косой проекции Меркатора задаются следующие параметры:
* широта и долгота центра проекции ''φ''₀, ''λ''₀
* азимут начальной линии ''α''
* разворот координатных осей ''γ''
* масштаб на начальной линии ''k''₀
* прямоугольные координаты в центре проекции ''x''₀, ''y''₀

Азимут начальной линии должен находиться в диапазоне −90° < ''α'' < +90°. Таким образом, если разворот ''γ'' не задан, ось ''OY'' будет направлена вдоль начальной линии в северную полуплоскость, ''OX'' в восточную.

Азимут ''α'' не может равняться 0°. Если ось направлена вдоль меридиана, выбирайте проекцию Гаусса-Крюгера. Также ''α'' не может принимать значения ±90°. Это тоже не проблема, поскольку в окрестности таких значений азимут вдоль геодезической линии меняется довольно быстро, и можно выбрать центр проекции на некотором удалении от первоначально выбранной точки.

Разворот ''γ'' первоначально вводился для компенсации начального разворота осей, чтобы вернуть оси ''OY'' направление строго на север. Для нас это великолепная возможность управлять ориентацией осей МСК произвольно.

== Определение параметров ==

Приведём данные тестового примера. Осевая линия задана положением конечных точек на эллипсоиде WGS 84: ''φ''₁ = 51° с.ш., ''λ''₁ = 22° в.д., ''φ''₂ = 50° с.ш., ''λ''₂ = 20° в.д. Расстояние вдоль оси задано длиной ''L'' = 180300 м.

Рассмотрим последовательность решения задачи с использованием '''PROJ.4'''. Вид строки параметров таков:

<pre>
+proj=omerc +lat_0=φ₀ +lonc=λ₀ +alpha=α +gamma=γ +k_0=k₀ +x_0=x₀ +y_0=y₀
</pre>

Простой подход состоит в том, чтобы поместить центр проекции в первую точку. В соответствии с постановкой задачи определяются следующие параметры:

<pre>
+lat_0=51 +lonc=22 +x_0=0 +y_0=0
</pre>

Для определения параметра ''alpha'' нужно решить обратную геодезическую задачу и найти азимут в первой точке на вторую ''α''₁₂. Здесь возможны два случая:
* вторая точка севернее первой, −90° < ''α''₁₂ < +90°; ''alpha'' = ''α''₁₂
* вторая точка южнее первой, 90° < ''α''₁₂ < 270°; ''alpha'' = ''α''₁₂ − 180°

Поскольку поставлена задача направить ось ''OX'' вдоль начальной линии в противоположную сторону от второй точки, параметру ''gamma'' присвоим значение −90° в первом случае и +90° во втором.

Значение параметра ''k_0'' также можно оценить по результатам решения обратной геодезической задачи: ''k_0'' = ''L'' / ''S'', где ''L'' — заданная длина линии, ''S'' — длина геодезической из решения ОГЗ.

=== Решение обратной геодезической задачи ===

Итак, из решения ОГЗ мы хотим получить азимут ''α''₁₂ и расстояние ''S'', нужные для определения параметров ''alpha'' и ''k_0'' соответственно.

Пикантность ситуации придаёт тот факт, что на эллипсоиде через две точки проходит геодезическая линия, которая в блестящей математике косой проекции сэра Мартина Хотайна отображается в кривую на апосфере, не совпадающую с дугой большого круга. Расчёты показывают, что вследствие этого точность соответствия ''alpha'' = ''α''₁₂ и ''k_0'' = ''L'' / ''S'' при расстояниях в несколько десятков километров перестаёт удовлетворять требованиям геодезии.

Впрочем, многие объекты имеют скромные размеры «всего» в несколько километров, и для них это неприятное обстоятельство имеет исключительно теоретическое значение.

Однако есть ещё одно обстоятельство. Утилита '''geod''' из пакета '''PROJ.4''' версии 4.9.0 будет решать геодезические задачи на эллипсоиде, используя библиотеку '''GeographicLib'''. Но сегодня в ходу '''PROJ.4''' версии 4.8.0, и '''geod''' умеет считать только для сферы.

Так или иначе, надо научиться обходиться подручными средствами.

Подготовим файл данных с координатами конечных пунктов '''inv.dat''':
<pre>
51N 22E 50N 20E
</pre>
и решим ОГЗ:
<syntaxhighlight lang="bash">
$ geod -I -f "%.10f" -F "%f" +ellps=WGS84 +units=m inv.dat
</syntaxhighlight>
Возможно, в следующей версии '''PROJ.4''' результатом этой команды будет решение на эллипсоиде. Сегодня же из решения на сфере радиусом, равным экваториальному радиусу эллипсоида WGS 84, получилась такая строка значений ''α''₁₂, ''α''₂₁, ''S'':
<pre>
-127.3948484062 51.0617802663 180119.673397
</pre>

=== Построение проекции ===

По результатам решения ОГЗ построим черновую проекцию. Поскольку ''φ''₂ < ''φ''₁, имеет место второй вариант; примем ''alpha'' = ''α''₁₂ + 180° = 52.6051515938°, ''gamma'' = +90°. Масштабный коэффициент пока приравняем единице: ''k_0'' = 1. Получен предварительный набор параметров:
<pre>
+proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6051515938 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0
</pre>
Подготовим файл с координатами конечных точек '''p12.dat''':
<pre>
22 51
20 50
</pre>
Выполним команду:
<syntaxhighlight lang="bash">
$ proj -f "%f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6051515938 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p12.dat
</syntaxhighlight>
Программа выдаёт координаты первой и второй точек ''x''₁, ''y''₁ и ''x''₂, ''y''₂ в МСК:
<pre>
-0.000000 0.000000
-180292.238188 238.386305
</pre>
Координаты первой точки равны нулю, как и ожидалось. Координаты второй точки отличаются от ожидаемых −''L'' и 0. Ненулевое значение ''y''₂ говорит о том, что начальная линия проходит мимо второй точки. Значит, нужно подобрать параметр ''alpha'', чтобы исправить промах.

Численные методы отлично справляются с поиском корня уравнения ''x''₂(''alpha'') = 0. Добавим немного геометрии в задачу и будем улучшать значение параметра по формуле ''alpha''′ = ''alpha'' − arctg [(''y''₂ − ''y''₁) / (''x''₂ − ''x''₁)]. Может, это не очень эффективно, но через пять итераций при ''alpha'' = 52.6809193468 получаем такие координаты:
<pre>
-0.000000 0.000000
-180292.395746 0.000000
</pre>
Вычисляем параметр ''k_0'' по формуле ''k_0'' = −''L'' / (''x''₂ − ''x''₁) = 180300 / 180292.238188 = 1.0000421773.

Запуск '''proj''' с окончательным набором параметров:
<syntaxhighlight lang="bash">
proj -f "%f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6809193468 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p12.dat
</syntaxhighlight>
Результаты:
<pre>
-0.000 0.000
-180300.000 0.000
</pre>
Проекция построена.

== Вторая проекция ==

Нередко требуется вторая проекция, являющаяся зеркальным отражением первой: начало координат МСК-2 во второй точке, ось ''OX'' направлена вдоль оси в сторону, противоположную направлению на первую точку. Таким образом МСК-2 развёрнута по отношению к МСК-1 на 180° и смещена вдоль оси ''OX'' на длину ''L''.

Последнее предложение имеет особый смысл для выбора способа построения МСК-2. Если выбрать способ, изложенный для МСК-1, только с центром проекции во второй точке и опорой на азимут ''α''₂₁, выяснится, что апосфера во втором случае будет не та, что в первом, и большие круги, проходящие через две точки, не совпадают. Правда, разница незаметна, пока расстояние не достигает величин в несколько десятков километров.

Таким образом, если нужна пара взаимоувязанных МСК, вторая система строится на параметрах первой. Параметр ''gamma'' изменяем на 180°, параметру ''x_0'' присваиваем значение ''−L'', всего-то и делов.

== Тестирование ==

Создадим файл с координатами двух точек '''pt34.dat''' на эллипсоиде:
<pre>
21 51
21 50
</pre>
Вычислим координаты в МСК-1:
<syntaxhighlight lang="bash">
proj -f "%.3f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6809193468 +gamma=90 +k_0=1.0000421773 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p34.dat
</syntaxhighlight>
<pre>
-55539.071 42936.465
-124171.432 -44612.843
</pre>
Вычислим координаты в МСК-2:
<syntaxhighlight lang="bash">
proj -f "%.3f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6809193468 +gamma=-90 +k_0=1.0000421773 +x_0=-180300 +y_0=0 +ellps=WGS84 p34.dat
</syntaxhighlight>
<pre>
-124760.929 -42936.465
-56128.568 44612.843
</pre>
Калькулятор подтверждает, что:
* суммы координат ''x'' соответствующих точек равны ''−L''
* суммы координат ''y'' соответствующих точек равны нулю

== Заключение ==

Рассмотренный способ построения проекции прост, поскольку позволяет заменить знание математической картографии обращением к '''PROJ.4''', который используется как чёрный ящик.

В косой проекции Меркатора масштаб отображения вдоль начальной линии не является постоянным, поскольку при изменении широты меняется кривизна сечения эллипсоида. Это несущественно для объектов длиной в несколько километров, но становится заметным при очень больших длинах. Чтобы уменьшить эффект, центр проекции располагают в середине линии.

В этом случае задача построения проекции по двум точкам усложняется: центр проекции нужно поместить на дугу большого круга, проходящего через конечные точки. Пожалуй, всё же проще использовать для решения таких задач сферическую тригонометрию на апосфере.

== Ссылки ==

* [http://pubs.usgs.gov/pp/1395/report.pdf Map Projections — A Working Manual, Snyder J. P., USGS Professional Paper 1395, 1987]
* [http://remotesensing.org/geotiff/proj_list/guid7.html Coordinate Conversions and Transformations including Formulas, EPSG Guidance Note 7, 2002]
* [http://remotesensing.org/geotiff/proj_list/hotine_oblique_mercator.html Hotine Oblique Mercator]
* [http://trac.osgeo.org/proj/wiki/man_proj man_proj – PROJ.4]
* [http://trac.osgeo.org/proj/wiki/man_geod man_geod – PROJ.4]
* [http://geographiclib.sourceforge.net/ GeographicLib]
* [http://gis-lab.info/qa/local-cs.html Добавление местной координатной системы в GIS]

Местная система координат линейного объекта

2014-11-21T17:23:07Z

ErnieBoyd: /* Решение обратной геодезической задачи */

{{Статья|Черновик}}

{{Аннотация|Конструирование проекции для представления системы координат линейного объекта в ГИС}}

== Введение ==

Система координат линейного объекта строится для эксплуатации протяжённого инженерного сооружения.
Принципы построения проекции сходны с классическим подходом, изложенным в статье [http://gis-lab.info/qa/local-cs.html «Добавление местной координатной системы в GIS»].
Однако постановка задачи отличается.

== Постановка задачи ==

На оси сооружения задана линия положением двух его конечных точек в глобальной системе координат (ГСК).

Пусть в местной системе (МСК) начало координат совмещено с первой точкой, расстояние между точками задано величиной ''L'', а ось ''OX'' направлена вдоль оси сооружения наружу. В такой системе координаты второй точки будут равны ''X'' = −''L'', ''Y'' = 0.

Требуется подобрать проекцию, подходящую для представления такой МСК в ГИС.

== О проекции ==

Выбор проекции однозначен. Это косая проекция Меркатора с такими значениями параметров, чтобы так называемая начальная линия (линия наименьшего масштаба) проходила через конечные точки, а расстояние между этими точками равнялось ''L''.

Для косой проекции Меркатора задаются следующие параметры:
* широта и долгота центра проекции ''φ''₀, ''λ''₀
* азимут начальной линии ''α''
* разворот координатных осей ''γ''
* масштаб на начальной линии ''k''₀
* прямоугольные координаты в центре проекции ''x''₀, ''y''₀

Азимут начальной линии должен находиться в диапазоне −90° < ''α'' < +90°. Таким образом, если разворот ''γ'' не задан, ось ''OY'' будет направлена вдоль начальной линии в северную полуплоскость, ''OX'' в восточную.

Азимут ''α'' не может равняться 0°. Если ось направлена вдоль меридиана, выбирайте проекцию Гаусса-Крюгера. Также ''α'' не может принимать значения ±90°. Это тоже не проблема, поскольку в окрестности таких значений азимут вдоль геодезической линии меняется довольно быстро, и можно выбрать центр проекции на некотором удалении от первоначально выбранной точки.

Разворот ''γ'' первоначально вводился для компенсации начального разворота осей, чтобы вернуть оси ''OY'' направление строго на север. Для нас это великолепная возможность управлять ориентацией осей МСК произвольно.

== Определение параметров ==

Приведём данные тестового примера. Осевая линия задана положением конечных точек на эллипсоиде WGS 84: ''φ''₁ = 51° с.ш., ''λ''₁ = 22° в.д., ''φ''₂ = 50° с.ш., ''λ''₂ = 20° в.д. Расстояние вдоль оси задано длиной ''L'' = 180300 м.

Рассмотрим последовательность решения задачи с использованием '''PROJ.4'''. Вид строки параметров таков:

<pre>
+proj=omerc +lat_0=φ₀ +lonc=λ₀ +alpha=α +gamma=γ +k_0=k₀ +x_0=x₀ +y_0=y₀
</pre>

Простой подход состоит в том, чтобы поместить центр проекции в первую точку. В соответствии с постановкой задачи определяются следующие параметры:

<pre>
+lat_0=51 +lonc=22 +x_0=0 +y_0=0
</pre>

Для определения параметра ''alpha'' нужно решить обратную геодезическую задачу и найти азимут в первой точке на вторую ''α''₁₂. Здесь возможны два случая:
* вторая точка севернее первой, −90° < ''α''₁₂ < +90°; ''alpha'' = ''α''₁₂
* вторая точка южнее первой, 90° < ''α''₁₂ < 270°; ''alpha'' = ''α''₁₂ − 180°

Поскольку поставлена задача направить ось ''OX'' вдоль начальной линии в противоположную сторону от второй точки, параметру ''gamma'' присвоим значение −90° в первом случае и +90° во втором.

Значение параметра ''k_0'' также можно оценить по результатам решения обратной геодезической задачи: ''k_0'' = ''L'' / ''S'', где ''L'' — заданная длина линии, ''S'' — длина геодезической из решения ОГЗ.

=== Решение обратной геодезической задачи ===

Итак, из решения ОГЗ мы хотим получить азимут ''α''₁₂ и расстояние ''S'', нужные для определения параметров ''alpha'' и ''k_0'' соответственно.

Пикантность ситуации придаёт тот факт, что на эллипсоиде через две точки проходит геодезическая линия, которая в блестящей математике косой проекции сэра Мартина Хотайна отображается в кривую на апосфере, не совпадающую с дугой большого круга. Расчёты показывают, что вследствие этого точность соответствия ''alpha'' = ''α''₁₂ и ''k_0'' = ''L'' / ''S'' при расстояниях в несколько десятков километров перестаёт удовлетворять требованиям геодезии.

Впрочем, многие объекты имеют скромные размеры «всего» в несколько километров, и для них это неприятное обстоятельство имеет исключительно теоретическое значение.

Однако есть ещё одно обстоятельство. Утилита '''geod''' из пакета '''PROJ.4''' версии 4.9.0 будет решать геодезические задачи на эллипсоиде, используя библиотеку '''GeographicLib'''. Но сегодня в ходу '''PROJ.4''' версии 4.8.0, и '''geod''' умеет считать только для сферы.

Так или иначе, надо научиться обходиться подручными средствами.

Подготовим файл данных с координатами конечных пунктов '''inv.dat''':
<pre>
51N 22E 50N 20E
</pre>
и решим ОГЗ:
<syntaxhighlight lang="bash">
$ geod -I -f "%.10f" -F "%f" +ellps=WGS84 +units=m inv.dat
</syntaxhighlight>
Возможно, в следующей версии '''PROJ.4''' результатом этой команды будет решение на эллипсоиде. Сегодня же из решения на сфере радиусом, равным экваториальному радиусу эллипсоида WGS 84, получилась такая строка значений ''α''₁₂, ''α''₂₁, ''S'':
<pre>
-127.3948484062 51.0617802663 180119.673397
</pre>

=== Построение проекции ===

По результатам решения ОГЗ построим черновую проекцию. Поскольку ''φ''₂ < ''φ''₁, имеет место второй вариант; примем ''alpha'' = ''α''₁₂ + 180° = 52.6051515938°, ''gamma'' = +90°. Масштабный коэффициент пока приравняем единице: ''k_0'' = 1. Получен предварительный набор параметров:
<pre>
+proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6051515938 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0
</pre>
Подготовим файл с координатами конечных точек '''p12.dat''':
<pre>
22 51
20 50
</pre>
Выполним команду:
<syntaxhighlight lang="bash">
$ proj -f "%f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6051515938 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p12.dat
</syntaxhighlight>
Программа выдаёт координаты первой и второй точек ''x''₁, ''y''₁ и ''x''₂, ''y''₂ в МСК:
<pre>
-0.000000 0.000000
-180292.238188 238.386305
</pre>
Координаты первой точки равны нулю, как и ожидалось. Координаты второй точки отличаются от ожидаемых −''L'' и 0. Ненулевое значение ''y''₂ говорит о том, что начальная линия проходит мимо второй точки. Значит, нужно подобрать параметр ''alpha'', чтобы исправить промах.

Численные методы отлично справляются с поиском корня уравнения ''x''₂(''alpha'') = 0. Добавим немного геометрии в задачу и будем улучшать значение параметра по формуле ''alpha''′ = ''alpha'' − arctg [(''y''₂ − ''y''₁) / (''x''₂ − ''x''₁)]. Может, это не очень эффективно, но через пять итераций при ''alpha'' = 52.6809193468 получаем такие координаты:
<pre>
-0.000000 0.000000
-180292.395746 0.000000
</pre>
Вычисляем параметр ''k_0'' по формуле ''k_0'' = −''L'' / (''x''₂ − ''x''₁) = 180300 / 180292.238188 = 1.0000421773.

Запуск '''proj''' с окончательным набором параметров:
<syntaxhighlight lang="bash">
proj -f "%f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6809193468 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p12.dat
</syntaxhighlight>
Результаты:
<pre>
-0.000 0.000
-180300.000 0.000
</pre>
Проекция построена.

== Вторая проекция ==

Нередко требуется вторая проекция, являющаяся зеркальным отражением первой: начало координат МСК-2 во второй точке, ось ''OX'' направлена вдоль оси в сторону, противоположную направлению на первую точку. Таким образом МСК-2 развёрнута по отношению к МСК-1 на 180° и смещена вдоль оси ''OX'' на длину ''L''.

Последнее предложение имеет особый смысл для выбора способа построения МСК-2. Если мы выберем способ, изложенный для МСК-1, только с центром проекции во второй точке и опорой на азимут ''α''₂₁, выяснится, что апосфера во втором случае будет не та, что в первом, и большие круги, проходящие через две точки, не совпадают. Правда, разница незаметна, пока расстояние не достигает величин в несколько десятков километров.

Таким образом, если нужна пара взаимоувязанных МСК, вторая система строится на параметрах первой. Параметр ''gamma'' изменяем на 180°, параметру ''x_0'' присваиваем значение ''−L'', всего-то и делов.

== Тестирование ==

Создадим файл с координатами двух точек '''pt34.dat''' на эллипсоиде:
<pre>
21 51
21 50
</pre>
Вычислим координаты в МСК-1:
<syntaxhighlight lang="bash">
proj -f "%.3f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6809193468 +gamma=90 +k_0=1.0000421773 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p34.dat
</syntaxhighlight>
<pre>
-55539.071 42936.465
-124171.432 -44612.843
</pre>
Вычислим координаты в МСК-2:
<syntaxhighlight lang="bash">
proj -f "%.3f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6809193468 +gamma=-90 +k_0=1.0000421773 +x_0=-180300 +y_0=0 +ellps=WGS84 p34.dat
</syntaxhighlight>
<pre>
-124760.929 -42936.465
-56128.568 44612.843
</pre>
Калькулятор подтверждает, что:
* суммы координат ''x'' соответствующих точек равны ''−L''
* суммы координат ''y'' соответствующих точек равны нулю

== Заключение ==

Рассмотренный способ построения проекции прост, поскольку позволяет заменить знание математической картографии обращением к '''PROJ.4''', который используется как чёрный ящик.

В косой проекции Меркатора масштаб отображения вдоль начальной линии не является постоянным, поскольку при изменении широты меняется кривизна сечения эллипсоида. Это несущественно для объектов длиной в несколько километров, но становится заметным при очень больших длинах. Чтобы уменьшить эффект, центр проекции располагают в середине линии.

В этом случае задача построения проекции по двум точкам усложняется: центр проекции нужно поместить на дугу большого круга, проходящего через конечные точки. Пожалуй, всё же проще использовать для решения таких задач сферическую тригонометрию на апосфере.

== Ссылки ==

* [http://pubs.usgs.gov/pp/1395/report.pdf Map Projections — A Working Manual, Snyder J. P., USGS Professional Paper 1395, 1987]
* [http://remotesensing.org/geotiff/proj_list/guid7.html Coordinate Conversions and Transformations including Formulas, EPSG Guidance Note 7, 2002]
* [http://remotesensing.org/geotiff/proj_list/hotine_oblique_mercator.html Hotine Oblique Mercator]
* [http://trac.osgeo.org/proj/wiki/man_proj man_proj – PROJ.4]
* [http://trac.osgeo.org/proj/wiki/man_geod man_geod – PROJ.4]
* [http://geographiclib.sourceforge.net/ GeographicLib]
* [http://gis-lab.info/qa/local-cs.html Добавление местной координатной системы в GIS]

Местная система координат линейного объекта

2014-11-21T17:05:37Z

ErnieBoyd: /* Заключение */

{{Статья|Черновик}}

{{Аннотация|Конструирование проекции для представления системы координат линейного объекта в ГИС}}

== Введение ==

Система координат линейного объекта строится для эксплуатации протяжённого инженерного сооружения.
Принципы построения проекции сходны с классическим подходом, изложенным в статье [http://gis-lab.info/qa/local-cs.html «Добавление местной координатной системы в GIS»].
Однако постановка задачи отличается.

== Постановка задачи ==

На оси сооружения задана линия положением двух его конечных точек в глобальной системе координат (ГСК).

Пусть в местной системе (МСК) начало координат совмещено с первой точкой, расстояние между точками задано величиной ''L'', а ось ''OX'' направлена вдоль оси сооружения наружу. В такой системе координаты второй точки будут равны ''X'' = −''L'', ''Y'' = 0.

Требуется подобрать проекцию, подходящую для представления такой МСК в ГИС.

== О проекции ==

Выбор проекции однозначен. Это косая проекция Меркатора с такими значениями параметров, чтобы так называемая начальная линия (линия наименьшего масштаба) проходила через конечные точки, а расстояние между этими точками равнялось ''L''.

Для косой проекции Меркатора задаются следующие параметры:
* широта и долгота центра проекции ''φ''₀, ''λ''₀
* азимут начальной линии ''α''
* разворот координатных осей ''γ''
* масштаб на начальной линии ''k''₀
* прямоугольные координаты в центре проекции ''x''₀, ''y''₀

Азимут начальной линии должен находиться в диапазоне −90° < ''α'' < +90°. Таким образом, если разворот ''γ'' не задан, ось ''OY'' будет направлена вдоль начальной линии в северную полуплоскость, ''OX'' в восточную.

Азимут ''α'' не может равняться 0°. Если ось направлена вдоль меридиана, выбирайте проекцию Гаусса-Крюгера. Также ''α'' не может принимать значения ±90°. Это тоже не проблема, поскольку в окрестности таких значений азимут вдоль геодезической линии меняется довольно быстро, и можно выбрать центр проекции на некотором удалении от первоначально выбранной точки.

Разворот ''γ'' первоначально вводился для компенсации начального разворота осей, чтобы вернуть оси ''OY'' направление строго на север. Для нас это великолепная возможность управлять ориентацией осей МСК произвольно.

== Определение параметров ==

Приведём данные тестового примера. Осевая линия задана положением конечных точек на эллипсоиде WGS 84: ''φ''₁ = 51° с.ш., ''λ''₁ = 22° в.д., ''φ''₂ = 50° с.ш., ''λ''₂ = 20° в.д. Расстояние вдоль оси задано длиной ''L'' = 180300 м.

Рассмотрим последовательность решения задачи с использованием '''PROJ.4'''. Вид строки параметров таков:

<pre>
+proj=omerc +lat_0=φ₀ +lonc=λ₀ +alpha=α +gamma=γ +k_0=k₀ +x_0=x₀ +y_0=y₀
</pre>

Простой подход состоит в том, чтобы поместить центр проекции в первую точку. В соответствии с постановкой задачи определяются следующие параметры:

<pre>
+lat_0=51 +lonc=22 +x_0=0 +y_0=0
</pre>

Для определения параметра ''alpha'' нужно решить обратную геодезическую задачу и найти азимут в первой точке на вторую ''α''₁₂. Здесь возможны два случая:
* вторая точка севернее первой, −90° < ''α''₁₂ < +90°; ''alpha'' = ''α''₁₂
* вторая точка южнее первой, 90° < ''α''₁₂ < 270°; ''alpha'' = ''α''₁₂ − 180°

Поскольку поставлена задача направить ось ''OX'' вдоль начальной линии в противоположную сторону от второй точки, параметру ''gamma'' присвоим значение −90° в первом случае и +90° во втором.

Значение параметра ''k_0'' также можно оценить по результатам решения обратной геодезической задачи: ''k_0'' = ''L'' / ''S'', где ''L'' — заданная длина линии, ''S'' — длина геодезической из решения ОГЗ.

=== Решение обратной геодезической задачи ===

Итак, из решения ОГЗ мы хотим получить азимут ''α''₁₂ и расстояние ''S'', нужные для определения параметров ''alpha'' и ''k_0'' соответственно.

Пикантность ситуации придаёт тот факт, что на эллипсоиде через две точки проходит геодезическая линия, которая в блестящей математике косой проекции сэра Мартина Хотайна отображается в кривую на апосфере, не совпадающую с дугой большого круга. Расчёты показывают, что вследствие этого точность соответствия ''alpha'' = ''α''₁₂ и ''k_0'' = ''L'' / ''S'' при расстояниях в несколько десятков километров перестаёт удовлетворять геодезии.

Впрочем, многие объекты имеют скромные размеры «всего» в несколько километров, и для них это неприятное обстоятельство имеет исключительно теоретическое значение.

Однако есть ещё одно обстоятельство. Утилита '''geod''' из пакета '''PROJ.4''' версии 4.9.0 будет решать геодезические задачи на эллипсоиде, используя библиотеку '''GeographicLib'''. Но сегодня в ходу '''PROJ.4''' версии 4.8.0, и '''geod''' умеет считать только для сферы.

Так или иначе, надо научиться обходиться подручными средствами.

Подготовим файл данных с координатами конечных пунктов '''inv.dat''':
<pre>
51N 22E 50N 20E
</pre>
и решим ОГЗ:
<syntaxhighlight lang="bash">
$ geod -I -f "%.10f" -F "%f" +ellps=WGS84 +units=m inv.dat
</syntaxhighlight>
Возможно, в следующей версии '''PROJ.4''' результатом этой команды будет решение на эллипсоиде. Сегодня же из решения на сфере радиусом, равным экваториальному радиусу эллипсоида WGS 84, получилась такая строка значений ''α''₁₂, ''α''₂₁, ''S'':
<pre>
-127.3948484062 51.0617802663 180119.673397
</pre>

=== Построение проекции ===

По результатам решения ОГЗ построим черновую проекцию. Поскольку ''φ''₂ < ''φ''₁, имеет место второй вариант; примем ''alpha'' = ''α''₁₂ + 180° = 52.6051515938°, ''gamma'' = +90°. Масштабный коэффициент пока приравняем единице: ''k_0'' = 1. Получен предварительный набор параметров:
<pre>
+proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6051515938 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0
</pre>
Подготовим файл с координатами конечных точек '''p12.dat''':
<pre>
22 51
20 50
</pre>
Выполним команду:
<syntaxhighlight lang="bash">
$ proj -f "%f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6051515938 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p12.dat
</syntaxhighlight>
Программа выдаёт координаты первой и второй точек ''x''₁, ''y''₁ и ''x''₂, ''y''₂ в МСК:
<pre>
-0.000000 0.000000
-180292.238188 238.386305
</pre>
Координаты первой точки равны нулю, как и ожидалось. Координаты второй точки отличаются от ожидаемых −''L'' и 0. Ненулевое значение ''y''₂ говорит о том, что начальная линия проходит мимо второй точки. Значит, нужно подобрать параметр ''alpha'', чтобы исправить промах.

Численные методы отлично справляются с поиском корня уравнения ''x''₂(''alpha'') = 0. Добавим немного геометрии в задачу и будем улучшать значение параметра по формуле ''alpha''′ = ''alpha'' − arctg [(''y''₂ − ''y''₁) / (''x''₂ − ''x''₁)]. Может, это не очень эффективно, но через пять итераций при ''alpha'' = 52.6809193468 получаем такие координаты:
<pre>
-0.000000 0.000000
-180292.395746 0.000000
</pre>
Вычисляем параметр ''k_0'' по формуле ''k_0'' = −''L'' / (''x''₂ − ''x''₁) = 180300 / 180292.238188 = 1.0000421773.

Запуск '''proj''' с окончательным набором параметров:
<syntaxhighlight lang="bash">
proj -f "%f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6809193468 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p12.dat
</syntaxhighlight>
Результаты:
<pre>
-0.000 0.000
-180300.000 0.000
</pre>
Проекция построена.

== Вторая проекция ==

Нередко требуется вторая проекция, являющаяся зеркальным отражением первой: начало координат МСК-2 во второй точке, ось ''OX'' направлена вдоль оси в сторону, противоположную направлению на первую точку. Таким образом МСК-2 развёрнута по отношению к МСК-1 на 180° и смещена вдоль оси ''OX'' на длину ''L''.

Последнее предложение имеет особый смысл для выбора способа построения МСК-2. Если мы выберем способ, изложенный для МСК-1, только с центром проекции во второй точке и опорой на азимут ''α''₂₁, выяснится, что апосфера во втором случае будет не та, что в первом, и большие круги, проходящие через две точки, не совпадают. Правда, разница незаметна, пока расстояние не достигает величин в несколько десятков километров.

Таким образом, если нужна пара взаимоувязанных МСК, вторая система строится на параметрах первой. Параметр ''gamma'' изменяем на 180°, параметру ''x_0'' присваиваем значение ''−L'', всего-то и делов.

== Тестирование ==

Создадим файл с координатами двух точек '''pt34.dat''' на эллипсоиде:
<pre>
21 51
21 50
</pre>
Вычислим координаты в МСК-1:
<syntaxhighlight lang="bash">
proj -f "%.3f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6809193468 +gamma=90 +k_0=1.0000421773 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p34.dat
</syntaxhighlight>
<pre>
-55539.071 42936.465
-124171.432 -44612.843
</pre>
Вычислим координаты в МСК-2:
<syntaxhighlight lang="bash">
proj -f "%.3f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6809193468 +gamma=-90 +k_0=1.0000421773 +x_0=-180300 +y_0=0 +ellps=WGS84 p34.dat
</syntaxhighlight>
<pre>
-124760.929 -42936.465
-56128.568 44612.843
</pre>
Калькулятор подтверждает, что:
* суммы координат ''x'' соответствующих точек равны ''−L''
* суммы координат ''y'' соответствующих точек равны нулю

== Заключение ==

Рассмотренный способ построения проекции прост, поскольку позволяет заменить знание математической картографии обращением к '''PROJ.4''', который используется как чёрный ящик.

В косой проекции Меркатора масштаб отображения вдоль начальной линии не является постоянным, поскольку при изменении широты меняется кривизна сечения эллипсоида. Это несущественно для объектов длиной в несколько километров, но становится заметным при очень больших длинах. Чтобы уменьшить эффект, центр проекции располагают в середине линии.

В этом случае задача построения проекции по двум точкам усложняется: центр проекции нужно поместить на дугу большого круга, проходящего через конечные точки. Пожалуй, всё же проще использовать для решения таких задач сферическую тригонометрию на апосфере.

== Ссылки ==

* [http://pubs.usgs.gov/pp/1395/report.pdf Map Projections — A Working Manual, Snyder J. P., USGS Professional Paper 1395, 1987]
* [http://remotesensing.org/geotiff/proj_list/guid7.html Coordinate Conversions and Transformations including Formulas, EPSG Guidance Note 7, 2002]
* [http://remotesensing.org/geotiff/proj_list/hotine_oblique_mercator.html Hotine Oblique Mercator]
* [http://trac.osgeo.org/proj/wiki/man_proj man_proj – PROJ.4]
* [http://trac.osgeo.org/proj/wiki/man_geod man_geod – PROJ.4]
* [http://geographiclib.sourceforge.net/ GeographicLib]
* [http://gis-lab.info/qa/local-cs.html Добавление местной координатной системы в GIS]

Местная система координат линейного объекта

2014-11-21T16:37:27Z

ErnieBoyd: /* Заключение */

{{Статья|Черновик}}

{{Аннотация|Конструирование проекции для представления системы координат линейного объекта в ГИС}}

== Введение ==

Система координат линейного объекта строится для эксплуатации протяжённого инженерного сооружения.
Принципы построения проекции сходны с классическим подходом, изложенным в статье [http://gis-lab.info/qa/local-cs.html «Добавление местной координатной системы в GIS»].
Однако постановка задачи отличается.

== Постановка задачи ==

На оси сооружения задана линия положением двух его конечных точек в глобальной системе координат (ГСК).

Пусть в местной системе (МСК) начало координат совмещено с первой точкой, расстояние между точками задано величиной ''L'', а ось ''OX'' направлена вдоль оси сооружения наружу. В такой системе координаты второй точки будут равны ''X'' = −''L'', ''Y'' = 0.

Требуется подобрать проекцию, подходящую для представления такой МСК в ГИС.

== О проекции ==

Выбор проекции однозначен. Это косая проекция Меркатора с такими значениями параметров, чтобы так называемая начальная линия (линия наименьшего масштаба) проходила через конечные точки, а расстояние между этими точками равнялось ''L''.

Для косой проекции Меркатора задаются следующие параметры:
* широта и долгота центра проекции ''φ''₀, ''λ''₀
* азимут начальной линии ''α''
* разворот координатных осей ''γ''
* масштаб на начальной линии ''k''₀
* прямоугольные координаты в центре проекции ''x''₀, ''y''₀

Азимут начальной линии должен находиться в диапазоне −90° < ''α'' < +90°. Таким образом, если разворот ''γ'' не задан, ось ''OY'' будет направлена вдоль начальной линии в северную полуплоскость, ''OX'' в восточную.

Азимут ''α'' не может равняться 0°. Если ось направлена вдоль меридиана, выбирайте проекцию Гаусса-Крюгера. Также ''α'' не может принимать значения ±90°. Это тоже не проблема, поскольку в окрестности таких значений азимут вдоль геодезической линии меняется довольно быстро, и можно выбрать центр проекции на некотором удалении от первоначально выбранной точки.

Разворот ''γ'' первоначально вводился для компенсации начального разворота осей, чтобы вернуть оси ''OY'' направление строго на север. Для нас это великолепная возможность управлять ориентацией осей МСК произвольно.

== Определение параметров ==

Приведём данные тестового примера. Осевая линия задана положением конечных точек на эллипсоиде WGS 84: ''φ''₁ = 51° с.ш., ''λ''₁ = 22° в.д., ''φ''₂ = 50° с.ш., ''λ''₂ = 20° в.д. Расстояние вдоль оси задано длиной ''L'' = 180300 м.

Рассмотрим последовательность решения задачи с использованием '''PROJ.4'''. Вид строки параметров таков:

<pre>
+proj=omerc +lat_0=φ₀ +lonc=λ₀ +alpha=α +gamma=γ +k_0=k₀ +x_0=x₀ +y_0=y₀
</pre>

Простой подход состоит в том, чтобы поместить центр проекции в первую точку. В соответствии с постановкой задачи определяются следующие параметры:

<pre>
+lat_0=51 +lonc=22 +x_0=0 +y_0=0
</pre>

Для определения параметра ''alpha'' нужно решить обратную геодезическую задачу и найти азимут в первой точке на вторую ''α''₁₂. Здесь возможны два случая:
* вторая точка севернее первой, −90° < ''α''₁₂ < +90°; ''alpha'' = ''α''₁₂
* вторая точка южнее первой, 90° < ''α''₁₂ < 270°; ''alpha'' = ''α''₁₂ − 180°

Поскольку поставлена задача направить ось ''OX'' вдоль начальной линии в противоположную сторону от второй точки, параметру ''gamma'' присвоим значение −90° в первом случае и +90° во втором.

Значение параметра ''k_0'' также можно оценить по результатам решения обратной геодезической задачи: ''k_0'' = ''L'' / ''S'', где ''L'' — заданная длина линии, ''S'' — длина геодезической из решения ОГЗ.

=== Решение обратной геодезической задачи ===

Итак, из решения ОГЗ мы хотим получить азимут ''α''₁₂ и расстояние ''S'', нужные для определения параметров ''alpha'' и ''k_0'' соответственно.

Пикантность ситуации придаёт тот факт, что на эллипсоиде через две точки проходит геодезическая линия, которая в блестящей математике косой проекции сэра Мартина Хотайна отображается в кривую на апосфере, не совпадающую с дугой большого круга. Расчёты показывают, что вследствие этого точность соответствия ''alpha'' = ''α''₁₂ и ''k_0'' = ''L'' / ''S'' при расстояниях в несколько десятков километров перестаёт удовлетворять геодезии.

Впрочем, многие объекты имеют скромные размеры «всего» в несколько километров, и для них это неприятное обстоятельство имеет исключительно теоретическое значение.

Однако есть ещё одно обстоятельство. Утилита '''geod''' из пакета '''PROJ.4''' версии 4.9.0 будет решать геодезические задачи на эллипсоиде, используя библиотеку '''GeographicLib'''. Но сегодня в ходу '''PROJ.4''' версии 4.8.0, и '''geod''' умеет считать только для сферы.

Так или иначе, надо научиться обходиться подручными средствами.

Подготовим файл данных с координатами конечных пунктов '''inv.dat''':
<pre>
51N 22E 50N 20E
</pre>
и решим ОГЗ:
<syntaxhighlight lang="bash">
$ geod -I -f "%.10f" -F "%f" +ellps=WGS84 +units=m inv.dat
</syntaxhighlight>
Возможно, в следующей версии '''PROJ.4''' результатом этой команды будет решение на эллипсоиде. Сегодня же из решения на сфере радиусом, равным экваториальному радиусу эллипсоида WGS 84, получилась такая строка значений ''α''₁₂, ''α''₂₁, ''S'':
<pre>
-127.3948484062 51.0617802663 180119.673397
</pre>

=== Построение проекции ===

По результатам решения ОГЗ построим черновую проекцию. Поскольку ''φ''₂ < ''φ''₁, имеет место второй вариант; примем ''alpha'' = ''α''₁₂ + 180° = 52.6051515938°, ''gamma'' = +90°. Масштабный коэффициент пока приравняем единице: ''k_0'' = 1. Получен предварительный набор параметров:
<pre>
+proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6051515938 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0
</pre>
Подготовим файл с координатами конечных точек '''p12.dat''':
<pre>
22 51
20 50
</pre>
Выполним команду:
<syntaxhighlight lang="bash">
$ proj -f "%f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6051515938 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p12.dat
</syntaxhighlight>
Программа выдаёт координаты первой и второй точек ''x''₁, ''y''₁ и ''x''₂, ''y''₂ в МСК:
<pre>
-0.000000 0.000000
-180292.238188 238.386305
</pre>
Координаты первой точки равны нулю, как и ожидалось. Координаты второй точки отличаются от ожидаемых −''L'' и 0. Ненулевое значение ''y''₂ говорит о том, что начальная линия проходит мимо второй точки. Значит, нужно подобрать параметр ''alpha'', чтобы исправить промах.

Численные методы отлично справляются с поиском корня уравнения ''x''₂(''alpha'') = 0. Добавим немного геометрии в задачу и будем улучшать значение параметра по формуле ''alpha''′ = ''alpha'' − arctg [(''y''₂ − ''y''₁) / (''x''₂ − ''x''₁)]. Может, это не очень эффективно, но через пять итераций при ''alpha'' = 52.6809193468 получаем такие координаты:
<pre>
-0.000000 0.000000
-180292.395746 0.000000
</pre>
Вычисляем параметр ''k_0'' по формуле ''k_0'' = −''L'' / (''x''₂ − ''x''₁) = 180300 / 180292.238188 = 1.0000421773.

Запуск '''proj''' с окончательным набором параметров:
<syntaxhighlight lang="bash">
proj -f "%f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6809193468 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p12.dat
</syntaxhighlight>
Результаты:
<pre>
-0.000 0.000
-180300.000 0.000
</pre>
Проекция построена.

== Вторая проекция ==

Нередко требуется вторая проекция, являющаяся зеркальным отражением первой: начало координат МСК-2 во второй точке, ось ''OX'' направлена вдоль оси в сторону, противоположную направлению на первую точку. Таким образом МСК-2 развёрнута по отношению к МСК-1 на 180° и смещена вдоль оси ''OX'' на длину ''L''.

Последнее предложение имеет особый смысл для выбора способа построения МСК-2. Если мы выберем способ, изложенный для МСК-1, только с центром проекции во второй точке и опорой на азимут ''α''₂₁, выяснится, что апосфера во втором случае будет не та, что в первом, и большие круги, проходящие через две точки, не совпадают. Правда, разница незаметна, пока расстояние не достигает величин в несколько десятков километров.

Таким образом, если нужна пара взаимоувязанных МСК, вторая система строится на параметрах первой. Параметр ''gamma'' изменяем на 180°, параметру ''x_0'' присваиваем значение ''−L'', всего-то и делов.

== Тестирование ==

Создадим файл с координатами двух точек '''pt34.dat''' на эллипсоиде:
<pre>
21 51
21 50
</pre>
Вычислим координаты в МСК-1:
<syntaxhighlight lang="bash">
proj -f "%.3f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6809193468 +gamma=90 +k_0=1.0000421773 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p34.dat
</syntaxhighlight>
<pre>
-55539.071 42936.465
-124171.432 -44612.843
</pre>
Вычислим координаты в МСК-2:
<syntaxhighlight lang="bash">
proj -f "%.3f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6809193468 +gamma=-90 +k_0=1.0000421773 +x_0=-180300 +y_0=0 +ellps=WGS84 p34.dat
</syntaxhighlight>
<pre>
-124760.929 -42936.465
-56128.568 44612.843
</pre>
Калькулятор подтверждает, что:
* суммы координат ''x'' соответствующих точек равны ''−L''
* суммы координат ''y'' соответствующих точек равны нулю

== Заключение ==

Рассмотренный способ построения проекции прост, поскольку позволяет заменить знание математической картографии обращением к '''PROJ.4''', который используется как чёрный ящик.

В косой проекции Меркатора масштаб отображения вдоль начальной линии не является постоянным, поскольку при изменении широты меняется кривизна сечения эллипсоида. Это несущественно для объектов длиной в несколько километров, но становится заметным при очень больших длинах. Чтобы уменьшить эффект, центр проекции располагают в середине линии. В этом случае задача построения проекции по двум точкам усложняется: центр проекции нужно поместить на дугу большого круга, проходящего через конечные точки.

== Ссылки ==

* [http://pubs.usgs.gov/pp/1395/report.pdf Map Projections — A Working Manual, Snyder J. P., USGS Professional Paper 1395, 1987]
* [http://remotesensing.org/geotiff/proj_list/guid7.html Coordinate Conversions and Transformations including Formulas, EPSG Guidance Note 7, 2002]
* [http://remotesensing.org/geotiff/proj_list/hotine_oblique_mercator.html Hotine Oblique Mercator]
* [http://trac.osgeo.org/proj/wiki/man_proj man_proj – PROJ.4]
* [http://trac.osgeo.org/proj/wiki/man_geod man_geod – PROJ.4]
* [http://geographiclib.sourceforge.net/ GeographicLib]
* [http://gis-lab.info/qa/local-cs.html Добавление местной координатной системы в GIS]

Местная система координат линейного объекта

2014-11-21T15:48:27Z

ErnieBoyd: /* Последнее замечание */

{{Статья|Черновик}}

{{Аннотация|Конструирование проекции для представления системы координат линейного объекта в ГИС}}

== Введение ==

Система координат линейного объекта строится для эксплуатации протяжённого инженерного сооружения.
Принципы построения проекции сходны с классическим подходом, изложенным в статье [http://gis-lab.info/qa/local-cs.html «Добавление местной координатной системы в GIS»].
Однако постановка задачи отличается.

== Постановка задачи ==

На оси сооружения задана линия положением двух его конечных точек в глобальной системе координат (ГСК).

Пусть в местной системе (МСК) начало координат совмещено с первой точкой, расстояние между точками задано величиной ''L'', а ось ''OX'' направлена вдоль оси сооружения наружу. В такой системе координаты второй точки будут равны ''X'' = −''L'', ''Y'' = 0.

Требуется подобрать проекцию, подходящую для представления такой МСК в ГИС.

== О проекции ==

Выбор проекции однозначен. Это косая проекция Меркатора с такими значениями параметров, чтобы так называемая начальная линия (линия наименьшего масштаба) проходила через конечные точки, а расстояние между этими точками равнялось ''L''.

Для косой проекции Меркатора задаются следующие параметры:
* широта и долгота центра проекции ''φ''₀, ''λ''₀
* азимут начальной линии ''α''
* разворот координатных осей ''γ''
* масштаб на начальной линии ''k''₀
* прямоугольные координаты в центре проекции ''x''₀, ''y''₀

Азимут начальной линии должен находиться в диапазоне −90° < ''α'' < +90°. Таким образом, если разворот ''γ'' не задан, ось ''OY'' будет направлена вдоль начальной линии в северную полуплоскость, ''OX'' в восточную.

Азимут ''α'' не может равняться 0°. Если ось направлена вдоль меридиана, выбирайте проекцию Гаусса-Крюгера. Также ''α'' не может принимать значения ±90°. Это тоже не проблема, поскольку в окрестности таких значений азимут вдоль геодезической линии меняется довольно быстро, и можно выбрать центр проекции на некотором удалении от первоначально выбранной точки.

Разворот ''γ'' первоначально вводился для компенсации начального разворота осей, чтобы вернуть оси ''OY'' направление строго на север. Для нас это великолепная возможность управлять ориентацией осей МСК произвольно.

== Определение параметров ==

Приведём данные тестового примера. Осевая линия задана положением конечных точек на эллипсоиде WGS 84: ''φ''₁ = 51° с.ш., ''λ''₁ = 22° в.д., ''φ''₂ = 50° с.ш., ''λ''₂ = 20° в.д. Расстояние вдоль оси задано длиной ''L'' = 180300 м.

Рассмотрим последовательность решения задачи с использованием '''PROJ.4'''. Вид строки параметров таков:

<pre>
+proj=omerc +lat_0=φ₀ +lonc=λ₀ +alpha=α +gamma=γ +k_0=k₀ +x_0=x₀ +y_0=y₀
</pre>

Простой подход состоит в том, чтобы поместить центр проекции в первую точку. В соответствии с постановкой задачи определяются следующие параметры:

<pre>
+lat_0=51 +lonc=22 +x_0=0 +y_0=0
</pre>

Для определения параметра ''alpha'' нужно решить обратную геодезическую задачу и найти азимут в первой точке на вторую ''α''₁₂. Здесь возможны два случая:
* вторая точка севернее первой, −90° < ''α''₁₂ < +90°; ''alpha'' = ''α''₁₂
* вторая точка южнее первой, 90° < ''α''₁₂ < 270°; ''alpha'' = ''α''₁₂ − 180°

Поскольку поставлена задача направить ось ''OX'' вдоль начальной линии в противоположную сторону от второй точки, параметру ''gamma'' присвоим значение −90° в первом случае и +90° во втором.

Значение параметра ''k_0'' также можно оценить по результатам решения обратной геодезической задачи: ''k_0'' = ''L'' / ''S'', где ''L'' — заданная длина линии, ''S'' — длина геодезической из решения ОГЗ.

=== Решение обратной геодезической задачи ===

Итак, из решения ОГЗ мы хотим получить азимут ''α''₁₂ и расстояние ''S'', нужные для определения параметров ''alpha'' и ''k_0'' соответственно.

Пикантность ситуации придаёт тот факт, что на эллипсоиде через две точки проходит геодезическая линия, которая в блестящей математике косой проекции сэра Мартина Хотайна отображается в кривую на апосфере, не совпадающую с дугой большого круга. Расчёты показывают, что вследствие этого точность соответствия ''alpha'' = ''α''₁₂ и ''k_0'' = ''L'' / ''S'' при расстояниях в несколько десятков километров перестаёт удовлетворять геодезии.

Впрочем, многие объекты имеют скромные размеры «всего» в несколько километров, и для них это неприятное обстоятельство имеет исключительно теоретическое значение.

Однако есть ещё одно обстоятельство. Утилита '''geod''' из пакета '''PROJ.4''' версии 4.9.0 будет решать геодезические задачи на эллипсоиде, используя библиотеку '''GeographicLib'''. Но сегодня в ходу '''PROJ.4''' версии 4.8.0, и '''geod''' умеет считать только для сферы.

Так или иначе, надо научиться обходиться подручными средствами.

Подготовим файл данных с координатами конечных пунктов '''inv.dat''':
<pre>
51N 22E 50N 20E
</pre>
и решим ОГЗ:
<syntaxhighlight lang="bash">
$ geod -I -f "%.10f" -F "%f" +ellps=WGS84 +units=m inv.dat
</syntaxhighlight>
Возможно, в следующей версии '''PROJ.4''' результатом этой команды будет решение на эллипсоиде. Сегодня же из решения на сфере радиусом, равным экваториальному радиусу эллипсоида WGS 84, получилась такая строка значений ''α''₁₂, ''α''₂₁, ''S'':
<pre>
-127.3948484062 51.0617802663 180119.673397
</pre>

=== Построение проекции ===

По результатам решения ОГЗ построим черновую проекцию. Поскольку ''φ''₂ < ''φ''₁, имеет место второй вариант; примем ''alpha'' = ''α''₁₂ + 180° = 52.6051515938°, ''gamma'' = +90°. Масштабный коэффициент пока приравняем единице: ''k_0'' = 1. Получен предварительный набор параметров:
<pre>
+proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6051515938 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0
</pre>
Подготовим файл с координатами конечных точек '''p12.dat''':
<pre>
22 51
20 50
</pre>
Выполним команду:
<syntaxhighlight lang="bash">
$ proj -f "%f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6051515938 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p12.dat
</syntaxhighlight>
Программа выдаёт координаты первой и второй точек ''x''₁, ''y''₁ и ''x''₂, ''y''₂ в МСК:
<pre>
-0.000000 0.000000
-180292.238188 238.386305
</pre>
Координаты первой точки равны нулю, как и ожидалось. Координаты второй точки отличаются от ожидаемых −''L'' и 0. Ненулевое значение ''y''₂ говорит о том, что начальная линия проходит мимо второй точки. Значит, нужно подобрать параметр ''alpha'', чтобы исправить промах.

Численные методы отлично справляются с поиском корня уравнения ''x''₂(''alpha'') = 0. Добавим немного геометрии в задачу и будем улучшать значение параметра по формуле ''alpha''′ = ''alpha'' − arctg [(''y''₂ − ''y''₁) / (''x''₂ − ''x''₁)]. Может, это не очень эффективно, но через пять итераций при ''alpha'' = 52.6809193468 получаем такие координаты:
<pre>
-0.000000 0.000000
-180292.395746 0.000000
</pre>
Вычисляем параметр ''k_0'' по формуле ''k_0'' = −''L'' / (''x''₂ − ''x''₁) = 180300 / 180292.238188 = 1.0000421773.

Запуск '''proj''' с окончательным набором параметров:
<syntaxhighlight lang="bash">
proj -f "%f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6809193468 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p12.dat
</syntaxhighlight>
Результаты:
<pre>
-0.000 0.000
-180300.000 0.000
</pre>
Проекция построена.

== Вторая проекция ==

Нередко требуется вторая проекция, являющаяся зеркальным отражением первой: начало координат МСК-2 во второй точке, ось ''OX'' направлена вдоль оси в сторону, противоположную направлению на первую точку. Таким образом МСК-2 развёрнута по отношению к МСК-1 на 180° и смещена вдоль оси ''OX'' на длину ''L''.

Последнее предложение имеет особый смысл для выбора способа построения МСК-2. Если мы выберем способ, изложенный для МСК-1, только с центром проекции во второй точке и опорой на азимут ''α''₂₁, выяснится, что апосфера во втором случае будет не та, что в первом, и большие круги, проходящие через две точки, не совпадают. Правда, разница незаметна, пока расстояние не достигает величин в несколько десятков километров.

Таким образом, если нужна пара взаимоувязанных МСК, вторая система строится на параметрах первой. Параметр ''gamma'' изменяем на 180°, параметру ''x_0'' присваиваем значение ''−L'', всего-то и делов.

== Тестирование ==

Создадим файл с координатами двух точек '''pt34.dat''' на эллипсоиде:
<pre>
21 51
21 50
</pre>
Вычислим координаты в МСК-1:
<syntaxhighlight lang="bash">
proj -f "%.3f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6809193468 +gamma=90 +k_0=1.0000421773 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p34.dat
</syntaxhighlight>
<pre>
-55539.071 42936.465
-124171.432 -44612.843
</pre>
Вычислим координаты в МСК-2:
<syntaxhighlight lang="bash">
proj -f "%.3f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6809193468 +gamma=-90 +k_0=1.0000421773 +x_0=-180300 +y_0=0 +ellps=WGS84 p34.dat
</syntaxhighlight>
<pre>
-124760.929 -42936.465
-56128.568 44612.843
</pre>
Калькулятор подтверждает, что:
* суммы координат ''x'' соответствующих точек равны ''−L''
* суммы координат ''y'' соответствующих точек равны нулю

== Заключение ==

Рассмотренный способ построения проекции прост, поскольку позволяет заменить знание математической картографии обращением к '''PROJ.4''', который используется как чёрный ящик.

В косой проекции Меркатора масштаб несколько меняется вдоль начальной линии, поскольку при изменении широты меняется кривизна сечения эллипсоида. Это несущественно для объектов длиной в несколько километров, но становится заметным при значительной длине территории. Чтобы уменьшить эффект, центр проекции располагают в середине линии. В этом случае задача построения проекции по двум точкам усложняется: центр проекции нужно поместить на дугу большого круга, проходящего через заданные точки.

== Ссылки ==

* [http://pubs.usgs.gov/pp/1395/report.pdf Map Projections — A Working Manual, Snyder J. P., USGS Professional Paper 1395, 1987]
* [http://remotesensing.org/geotiff/proj_list/guid7.html Coordinate Conversions and Transformations including Formulas, EPSG Guidance Note 7, 2002]
* [http://remotesensing.org/geotiff/proj_list/hotine_oblique_mercator.html Hotine Oblique Mercator]
* [http://trac.osgeo.org/proj/wiki/man_proj man_proj – PROJ.4]
* [http://trac.osgeo.org/proj/wiki/man_geod man_geod – PROJ.4]
* [http://geographiclib.sourceforge.net/ GeographicLib]
* [http://gis-lab.info/qa/local-cs.html Добавление местной координатной системы в GIS]

Местная система координат линейного объекта

2014-11-21T12:20:18Z

ErnieBoyd: /* Последний комментарий */

{{Статья|Черновик}}

{{Аннотация|Конструирование проекции для представления системы координат линейного объекта в ГИС}}

== Введение ==

Система координат линейного объекта строится для эксплуатации протяжённого инженерного сооружения.
Принципы построения проекции сходны с классическим подходом, изложенным в статье [http://gis-lab.info/qa/local-cs.html «Добавление местной координатной системы в GIS»].
Однако постановка задачи отличается.

== Постановка задачи ==

На оси сооружения задана линия положением двух его конечных точек в глобальной системе координат (ГСК).

Пусть в местной системе (МСК) начало координат совмещено с первой точкой, расстояние между точками задано величиной ''L'', а ось ''OX'' направлена вдоль оси сооружения наружу. В такой системе координаты второй точки будут равны ''X'' = −''L'', ''Y'' = 0.

Требуется подобрать проекцию, подходящую для представления такой МСК в ГИС.

== О проекции ==

Выбор проекции однозначен. Это косая проекция Меркатора с такими значениями параметров, чтобы так называемая начальная линия (линия наименьшего масштаба) проходила через конечные точки, а расстояние между этими точками равнялось ''L''.

Для косой проекции Меркатора задаются следующие параметры:
* широта и долгота центра проекции ''φ''₀, ''λ''₀
* азимут начальной линии ''α''
* разворот координатных осей ''γ''
* масштаб на начальной линии ''k''₀
* прямоугольные координаты в центре проекции ''x''₀, ''y''₀

Азимут начальной линии должен находиться в диапазоне −90° < ''α'' < +90°. Таким образом, если разворот ''γ'' не задан, ось ''OY'' будет направлена вдоль начальной линии в северную полуплоскость, ''OX'' в восточную.

Азимут ''α'' не может равняться 0°. Если ось направлена вдоль меридиана, выбирайте проекцию Гаусса-Крюгера. Также ''α'' не может принимать значения ±90°. Это тоже не проблема, поскольку в окрестности таких значений азимут вдоль геодезической линии меняется довольно быстро, и можно выбрать центр проекции на некотором удалении от первоначально выбранной точки.

Разворот ''γ'' первоначально вводился для компенсации начального разворота осей, чтобы вернуть оси ''OY'' направление строго на север. Для нас это великолепная возможность управлять ориентацией осей МСК произвольно.

== Определение параметров ==

Приведём данные тестового примера. Осевая линия задана положением конечных точек на эллипсоиде WGS 84: ''φ''₁ = 51° с.ш., ''λ''₁ = 22° в.д., ''φ''₂ = 50° с.ш., ''λ''₂ = 20° в.д. Расстояние вдоль оси задано длиной ''L'' = 180300 м.

Рассмотрим последовательность решения задачи с использованием '''PROJ.4'''. Вид строки параметров таков:

<pre>
+proj=omerc +lat_0=φ₀ +lonc=λ₀ +alpha=α +gamma=γ +k_0=k₀ +x_0=x₀ +y_0=y₀
</pre>

Простой подход состоит в том, чтобы поместить центр проекции в первую точку. В соответствии с постановкой задачи определяются следующие параметры:

<pre>
+lat_0=51 +lonc=22 +x_0=0 +y_0=0
</pre>

Для определения параметра ''alpha'' нужно решить обратную геодезическую задачу и найти азимут в первой точке на вторую ''α''₁₂. Здесь возможны два случая:
* вторая точка севернее первой, −90° < ''α''₁₂ < +90°; ''alpha'' = ''α''₁₂
* вторая точка южнее первой, 90° < ''α''₁₂ < 270°; ''alpha'' = ''α''₁₂ − 180°

Поскольку поставлена задача направить ось ''OX'' вдоль начальной линии в противоположную сторону от второй точки, параметру ''gamma'' присвоим значение −90° в первом случае и +90° во втором.

Значение параметра ''k_0'' также можно оценить по результатам решения обратной геодезической задачи: ''k_0'' = ''L'' / ''S'', где ''L'' — заданная длина линии, ''S'' — длина геодезической из решения ОГЗ.

=== Решение обратной геодезической задачи ===

Итак, из решения ОГЗ мы хотим получить азимут ''α''₁₂ и расстояние ''S'', нужные для определения параметров ''alpha'' и ''k_0'' соответственно.

Пикантность ситуации придаёт тот факт, что на эллипсоиде через две точки проходит геодезическая линия, которая в блестящей математике косой проекции сэра Мартина Хотайна отображается в кривую на апосфере, не совпадающую с дугой большого круга. Расчёты показывают, что вследствие этого точность соответствия ''alpha'' = ''α''₁₂ и ''k_0'' = ''L'' / ''S'' при расстояниях в несколько десятков километров перестаёт удовлетворять геодезии.

Впрочем, многие объекты имеют скромные размеры «всего» в несколько километров, и для них это неприятное обстоятельство имеет исключительно теоретическое значение.

Однако есть ещё одно обстоятельство. Утилита '''geod''' из пакета '''PROJ.4''' версии 4.9.0 будет решать геодезические задачи на эллипсоиде, используя библиотеку '''GeographicLib'''. Но сегодня в ходу '''PROJ.4''' версии 4.8.0, и '''geod''' умеет считать только для сферы.

Так или иначе, надо научиться обходиться подручными средствами.

Подготовим файл данных с координатами конечных пунктов '''inv.dat''':
<pre>
51N 22E 50N 20E
</pre>
и решим ОГЗ:
<syntaxhighlight lang="bash">
$ geod -I -f "%.10f" -F "%f" +ellps=WGS84 +units=m inv.dat
</syntaxhighlight>
Возможно, в следующей версии '''PROJ.4''' результатом этой команды будет решение на эллипсоиде. Сегодня же из решения на сфере радиусом, равным экваториальному радиусу эллипсоида WGS 84, получилась такая строка значений ''α''₁₂, ''α''₂₁, ''S'':
<pre>
-127.3948484062 51.0617802663 180119.673397
</pre>

=== Построение проекции ===

По результатам решения ОГЗ построим черновую проекцию. Поскольку ''φ''₂ < ''φ''₁, имеет место второй вариант; примем ''alpha'' = ''α''₁₂ + 180° = 52.6051515938°, ''gamma'' = +90°. Масштабный коэффициент пока приравняем единице: ''k_0'' = 1. Получен предварительный набор параметров:
<pre>
+proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6051515938 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0
</pre>
Подготовим файл с координатами конечных точек '''p12.dat''':
<pre>
22 51
20 50
</pre>
Выполним команду:
<syntaxhighlight lang="bash">
$ proj -f "%f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6051515938 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p12.dat
</syntaxhighlight>
Программа выдаёт координаты первой и второй точек ''x''₁, ''y''₁ и ''x''₂, ''y''₂ в МСК:
<pre>
-0.000000 0.000000
-180292.238188 238.386305
</pre>
Координаты первой точки равны нулю, как и ожидалось. Координаты второй точки отличаются от ожидаемых −''L'' и 0. Ненулевое значение ''y''₂ говорит о том, что начальная линия проходит мимо второй точки. Значит, нужно подобрать параметр ''alpha'', чтобы исправить промах.

Численные методы отлично справляются с поиском корня уравнения ''x''₂(''alpha'') = 0. Добавим немного геометрии в задачу и будем улучшать значение параметра по формуле ''alpha''′ = ''alpha'' − arctg [(''y''₂ − ''y''₁) / (''x''₂ − ''x''₁)]. Может, это не очень эффективно, но через пять итераций при ''alpha'' = 52.6809193468 получаем такие координаты:
<pre>
-0.000000 0.000000
-180292.395746 0.000000
</pre>
Вычисляем параметр ''k_0'' по формуле ''k_0'' = −''L'' / (''x''₂ − ''x''₁) = 180300 / 180292.238188 = 1.0000421773.

Запуск '''proj''' с окончательным набором параметров:
<syntaxhighlight lang="bash">
proj -f "%f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6809193468 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p12.dat
</syntaxhighlight>
Результаты:
<pre>
-0.000 0.000
-180300.000 0.000
</pre>
Проекция построена.

== Вторая проекция ==

Нередко требуется вторая проекция, являющаяся зеркальным отражением первой: начало координат МСК-2 во второй точке, ось ''OX'' направлена вдоль оси в сторону, противоположную направлению на первую точку. Таким образом МСК-2 развёрнута по отношению к МСК-1 на 180° и смещена вдоль оси ''OX'' на длину ''L''.

Последнее предложение имеет особый смысл для выбора способа построения МСК-2. Если мы выберем способ, изложенный для МСК-1, только с центром проекции во второй точке и опорой на азимут ''α''₂₁, выяснится, что апосфера во втором случае будет не та, что в первом, и большие круги, проходящие через две точки, не совпадают. Правда, разница незаметна, пока расстояние не достигает величин в несколько десятков километров.

Таким образом, если нужна пара взаимоувязанных МСК, вторая система строится на параметрах первой. Параметр ''gamma'' изменяем на 180°, параметру ''x_0'' присваиваем значение ''−L'', всего-то и делов.

== Тестирование ==

Создадим файл с координатами двух точек '''pt34.dat''' на эллипсоиде:
<pre>
21 51
21 50
</pre>
Вычислим координаты в МСК-1:
<syntaxhighlight lang="bash">
proj -f "%.3f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6809193468 +gamma=90 +k_0=1.0000421773 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p34.dat
</syntaxhighlight>
<pre>
-55539.071 42936.465
-124171.432 -44612.843
</pre>
Вычислим координаты в МСК-2:
<syntaxhighlight lang="bash">
proj -f "%.3f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6809193468 +gamma=-90 +k_0=1.0000421773 +x_0=-180300 +y_0=0 +ellps=WGS84 p34.dat
</syntaxhighlight>
<pre>
-124760.929 -42936.465
-56128.568 44612.843
</pre>
Калькулятор подтверждает, что:
* суммы координат ''x'' соответствующих точек равны ''−L''
* суммы координат ''y'' соответствующих точек равны нулю

== Последнее замечание ==

В косой проекции Меркатора масштаб несколько меняется вдоль начальной линии, поскольку при изменении широты меняется кривизна сечения эллипсоида. Это несущественно для объектов длиной в несколько километров, но становится заметным при значительной длине территории. Чтобы уменьшить эффект, центр проекции располагают в середине линии.

== Ссылки ==

* [http://pubs.usgs.gov/pp/1395/report.pdf Map Projections — A Working Manual, Snyder J. P., USGS Professional Paper 1395, 1987]
* [http://remotesensing.org/geotiff/proj_list/guid7.html Coordinate Conversions and Transformations including Formulas, EPSG Guidance Note 7, 2002]
* [http://remotesensing.org/geotiff/proj_list/hotine_oblique_mercator.html Hotine Oblique Mercator]
* [http://trac.osgeo.org/proj/wiki/man_proj man_proj – PROJ.4]
* [http://trac.osgeo.org/proj/wiki/man_geod man_geod – PROJ.4]
* [http://geographiclib.sourceforge.net/ GeographicLib]
* [http://gis-lab.info/qa/local-cs.html Добавление местной координатной системы в GIS]

Местная система координат линейного объекта

2014-11-21T11:44:52Z

ErnieBoyd: /* Вторая проекция */

{{Статья|Черновик}}

{{Аннотация|Конструирование проекции для представления системы координат линейного объекта в ГИС}}

== Введение ==

Система координат линейного объекта строится для эксплуатации протяжённого инженерного сооружения.
Принципы построения проекции сходны с классическим подходом, изложенным в статье [http://gis-lab.info/qa/local-cs.html «Добавление местной координатной системы в GIS»].
Однако постановка задачи отличается.

== Постановка задачи ==

На оси сооружения задана линия положением двух его конечных точек в глобальной системе координат (ГСК).

Пусть в местной системе (МСК) начало координат совмещено с первой точкой, расстояние между точками задано величиной ''L'', а ось ''OX'' направлена вдоль оси сооружения наружу. В такой системе координаты второй точки будут равны ''X'' = −''L'', ''Y'' = 0.

Требуется подобрать проекцию, подходящую для представления такой МСК в ГИС.

== О проекции ==

Выбор проекции однозначен. Это косая проекция Меркатора с такими значениями параметров, чтобы так называемая начальная линия (линия наименьшего масштаба) проходила через конечные точки, а расстояние между этими точками равнялось ''L''.

Для косой проекции Меркатора задаются следующие параметры:
* широта и долгота центра проекции ''φ''₀, ''λ''₀
* азимут начальной линии ''α''
* разворот координатных осей ''γ''
* масштаб на начальной линии ''k''₀
* прямоугольные координаты в центре проекции ''x''₀, ''y''₀

Азимут начальной линии должен находиться в диапазоне −90° < ''α'' < +90°. Таким образом, если разворот ''γ'' не задан, ось ''OY'' будет направлена вдоль начальной линии в северную полуплоскость, ''OX'' в восточную.

Азимут ''α'' не может равняться 0°. Если ось направлена вдоль меридиана, выбирайте проекцию Гаусса-Крюгера. Также ''α'' не может принимать значения ±90°. Это тоже не проблема, поскольку в окрестности таких значений азимут вдоль геодезической линии меняется довольно быстро, и можно выбрать центр проекции на некотором удалении от первоначально выбранной точки.

Разворот ''γ'' первоначально вводился для компенсации начального разворота осей, чтобы вернуть оси ''OY'' направление строго на север. Для нас это великолепная возможность управлять ориентацией осей МСК произвольно.

== Определение параметров ==

Приведём данные тестового примера. Осевая линия задана положением конечных точек на эллипсоиде WGS 84: ''φ''₁ = 51° с.ш., ''λ''₁ = 22° в.д., ''φ''₂ = 50° с.ш., ''λ''₂ = 20° в.д. Расстояние вдоль оси задано длиной ''L'' = 180300 м.

Рассмотрим последовательность решения задачи с использованием '''PROJ.4'''. Вид строки параметров таков:

<pre>
+proj=omerc +lat_0=φ₀ +lonc=λ₀ +alpha=α +gamma=γ +k_0=k₀ +x_0=x₀ +y_0=y₀
</pre>

Простой подход состоит в том, чтобы поместить центр проекции в первую точку. В соответствии с постановкой задачи определяются следующие параметры:

<pre>
+lat_0=51 +lonc=22 +x_0=0 +y_0=0
</pre>

Для определения параметра ''alpha'' нужно решить обратную геодезическую задачу и найти азимут в первой точке на вторую ''α''₁₂. Здесь возможны два случая:
* вторая точка севернее первой, −90° < ''α''₁₂ < +90°; ''alpha'' = ''α''₁₂
* вторая точка южнее первой, 90° < ''α''₁₂ < 270°; ''alpha'' = ''α''₁₂ − 180°

Поскольку поставлена задача направить ось ''OX'' вдоль начальной линии в противоположную сторону от второй точки, параметру ''gamma'' присвоим значение −90° в первом случае и +90° во втором.

Значение параметра ''k_0'' также можно оценить по результатам решения обратной геодезической задачи: ''k_0'' = ''L'' / ''S'', где ''L'' — заданная длина линии, ''S'' — длина геодезической из решения ОГЗ.

=== Решение обратной геодезической задачи ===

Итак, из решения ОГЗ мы хотим получить азимут ''α''₁₂ и расстояние ''S'', нужные для определения параметров ''alpha'' и ''k_0'' соответственно.

Пикантность ситуации придаёт тот факт, что на эллипсоиде через две точки проходит геодезическая линия, которая в блестящей математике косой проекции сэра Мартина Хотайна отображается в кривую на апосфере, не совпадающую с дугой большого круга. Расчёты показывают, что вследствие этого точность соответствия ''alpha'' = ''α''₁₂ и ''k_0'' = ''L'' / ''S'' при расстояниях в несколько десятков километров перестаёт удовлетворять геодезии.

Впрочем, многие объекты имеют скромные размеры «всего» в несколько километров, и для них это неприятное обстоятельство имеет исключительно теоретическое значение.

Однако есть ещё одно обстоятельство. Утилита '''geod''' из пакета '''PROJ.4''' версии 4.9.0 будет решать геодезические задачи на эллипсоиде, используя библиотеку '''GeographicLib'''. Но сегодня в ходу '''PROJ.4''' версии 4.8.0, и '''geod''' умеет считать только для сферы.

Так или иначе, надо научиться обходиться подручными средствами.

Подготовим файл данных с координатами конечных пунктов '''inv.dat''':
<pre>
51N 22E 50N 20E
</pre>
и решим ОГЗ:
<syntaxhighlight lang="bash">
$ geod -I -f "%.10f" -F "%f" +ellps=WGS84 +units=m inv.dat
</syntaxhighlight>
Возможно, в следующей версии '''PROJ.4''' результатом этой команды будет решение на эллипсоиде. Сегодня же из решения на сфере радиусом, равным экваториальному радиусу эллипсоида WGS 84, получилась такая строка значений ''α''₁₂, ''α''₂₁, ''S'':
<pre>
-127.3948484062 51.0617802663 180119.673397
</pre>

=== Построение проекции ===

По результатам решения ОГЗ построим черновую проекцию. Поскольку ''φ''₂ < ''φ''₁, имеет место второй вариант; примем ''alpha'' = ''α''₁₂ + 180° = 52.6051515938°, ''gamma'' = +90°. Масштабный коэффициент пока приравняем единице: ''k_0'' = 1. Получен предварительный набор параметров:
<pre>
+proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6051515938 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0
</pre>
Подготовим файл с координатами конечных точек '''p12.dat''':
<pre>
22 51
20 50
</pre>
Выполним команду:
<syntaxhighlight lang="bash">
$ proj -f "%f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6051515938 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p12.dat
</syntaxhighlight>
Программа выдаёт координаты первой и второй точек ''x''₁, ''y''₁ и ''x''₂, ''y''₂ в МСК:
<pre>
-0.000000 0.000000
-180292.238188 238.386305
</pre>
Координаты первой точки равны нулю, как и ожидалось. Координаты второй точки отличаются от ожидаемых −''L'' и 0. Ненулевое значение ''y''₂ говорит о том, что начальная линия проходит мимо второй точки. Значит, нужно подобрать параметр ''alpha'', чтобы исправить промах.

Численные методы отлично справляются с поиском корня уравнения ''x''₂(''alpha'') = 0. Добавим немного геометрии в задачу и будем улучшать значение параметра по формуле ''alpha''′ = ''alpha'' − arctg [(''y''₂ − ''y''₁) / (''x''₂ − ''x''₁)]. Может, это не очень эффективно, но через пять итераций при ''alpha'' = 52.6809193468 получаем такие координаты:
<pre>
-0.000000 0.000000
-180292.395746 0.000000
</pre>
Вычисляем параметр ''k_0'' по формуле ''k_0'' = −''L'' / (''x''₂ − ''x''₁) = 180300 / 180292.238188 = 1.0000421773.

Запуск '''proj''' с окончательным набором параметров:
<syntaxhighlight lang="bash">
proj -f "%f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6809193468 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p12.dat
</syntaxhighlight>
Результаты:
<pre>
-0.000 0.000
-180300.000 0.000
</pre>
Проекция построена.

== Вторая проекция ==

Нередко требуется вторая проекция, являющаяся зеркальным отражением первой: начало координат МСК-2 во второй точке, ось ''OX'' направлена вдоль оси в сторону, противоположную направлению на первую точку. Таким образом МСК-2 развёрнута по отношению к МСК-1 на 180° и смещена вдоль оси ''OX'' на длину ''L''.

Последнее предложение имеет особый смысл для выбора способа построения МСК-2. Если мы выберем способ, изложенный для МСК-1, только с центром проекции во второй точке и опорой на азимут ''α''₂₁, выяснится, что апосфера во втором случае будет не та, что в первом, и большие круги, проходящие через две точки, не совпадают. Правда, разница незаметна, пока расстояние не достигает величин в несколько десятков километров.

Таким образом, если нужна пара взаимоувязанных МСК, вторая система строится на параметрах первой. Параметр ''gamma'' изменяем на 180°, параметру ''x_0'' присваиваем значение ''−L'', всего-то и делов.

== Тестирование ==

Создадим файл с координатами двух точек '''pt34.dat''' на эллипсоиде:
<pre>
21 51
21 50
</pre>
Вычислим координаты в МСК-1:
<syntaxhighlight lang="bash">
proj -f "%.3f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6809193468 +gamma=90 +k_0=1.0000421773 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p34.dat
</syntaxhighlight>
<pre>
-55539.071 42936.465
-124171.432 -44612.843
</pre>
Вычислим координаты в МСК-2:
<syntaxhighlight lang="bash">
proj -f "%.3f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6809193468 +gamma=-90 +k_0=1.0000421773 +x_0=-180300 +y_0=0 +ellps=WGS84 p34.dat
</syntaxhighlight>
<pre>
-124760.929 -42936.465
-56128.568 44612.843
</pre>
Калькулятор подтверждает, что:
* суммы координат ''x'' соответствующих точек равны ''−L''
* суммы координат ''y'' соответствующих точек равны нулю

== Последний комментарий ==

В косой проекции Меркатора масштаб меняется вдоль начальной линии, поскольку при изменении широты меняется кривизна сечения эллипсоида. Чтобы уменьшить эффект, следует располагать центр проекции поближе к середине территории.

== Ссылки ==

* [http://pubs.usgs.gov/pp/1395/report.pdf Map Projections — A Working Manual, Snyder J. P., USGS Professional Paper 1395, 1987]
* [http://remotesensing.org/geotiff/proj_list/guid7.html Coordinate Conversions and Transformations including Formulas, EPSG Guidance Note 7, 2002]
* [http://remotesensing.org/geotiff/proj_list/hotine_oblique_mercator.html Hotine Oblique Mercator]
* [http://trac.osgeo.org/proj/wiki/man_proj man_proj – PROJ.4]
* [http://trac.osgeo.org/proj/wiki/man_geod man_geod – PROJ.4]
* [http://geographiclib.sourceforge.net/ GeographicLib]
* [http://gis-lab.info/qa/local-cs.html Добавление местной координатной системы в GIS]

Местная система координат линейного объекта

2014-11-21T11:17:57Z

ErnieBoyd: /* Вторая проекция */

{{Статья|Черновик}}

{{Аннотация|Конструирование проекции для представления системы координат линейного объекта в ГИС}}

== Введение ==

Система координат линейного объекта строится для эксплуатации протяжённого инженерного сооружения.
Принципы построения проекции сходны с классическим подходом, изложенным в статье [http://gis-lab.info/qa/local-cs.html «Добавление местной координатной системы в GIS»].
Однако постановка задачи отличается.

== Постановка задачи ==

На оси сооружения задана линия положением двух его конечных точек в глобальной системе координат (ГСК).

Пусть в местной системе (МСК) начало координат совмещено с первой точкой, расстояние между точками задано величиной ''L'', а ось ''OX'' направлена вдоль оси сооружения наружу. В такой системе координаты второй точки будут равны ''X'' = −''L'', ''Y'' = 0.

Требуется подобрать проекцию, подходящую для представления такой МСК в ГИС.

== О проекции ==

Выбор проекции однозначен. Это косая проекция Меркатора с такими значениями параметров, чтобы так называемая начальная линия (линия наименьшего масштаба) проходила через конечные точки, а расстояние между этими точками равнялось ''L''.

Для косой проекции Меркатора задаются следующие параметры:
* широта и долгота центра проекции ''φ''₀, ''λ''₀
* азимут начальной линии ''α''
* разворот координатных осей ''γ''
* масштаб на начальной линии ''k''₀
* прямоугольные координаты в центре проекции ''x''₀, ''y''₀

Азимут начальной линии должен находиться в диапазоне −90° < ''α'' < +90°. Таким образом, если разворот ''γ'' не задан, ось ''OY'' будет направлена вдоль начальной линии в северную полуплоскость, ''OX'' в восточную.

Азимут ''α'' не может равняться 0°. Если ось направлена вдоль меридиана, выбирайте проекцию Гаусса-Крюгера. Также ''α'' не может принимать значения ±90°. Это тоже не проблема, поскольку в окрестности таких значений азимут вдоль геодезической линии меняется довольно быстро, и можно выбрать центр проекции на некотором удалении от первоначально выбранной точки.

Разворот ''γ'' первоначально вводился для компенсации начального разворота осей, чтобы вернуть оси ''OY'' направление строго на север. Для нас это великолепная возможность управлять ориентацией осей МСК произвольно.

== Определение параметров ==

Приведём данные тестового примера. Осевая линия задана положением конечных точек на эллипсоиде WGS 84: ''φ''₁ = 51° с.ш., ''λ''₁ = 22° в.д., ''φ''₂ = 50° с.ш., ''λ''₂ = 20° в.д. Расстояние вдоль оси задано длиной ''L'' = 180300 м.

Рассмотрим последовательность решения задачи с использованием '''PROJ.4'''. Вид строки параметров таков:

<pre>
+proj=omerc +lat_0=φ₀ +lonc=λ₀ +alpha=α +gamma=γ +k_0=k₀ +x_0=x₀ +y_0=y₀
</pre>

Простой подход состоит в том, чтобы поместить центр проекции в первую точку. В соответствии с постановкой задачи определяются следующие параметры:

<pre>
+lat_0=51 +lonc=22 +x_0=0 +y_0=0
</pre>

Для определения параметра ''alpha'' нужно решить обратную геодезическую задачу и найти азимут в первой точке на вторую ''α''₁₂. Здесь возможны два случая:
* вторая точка севернее первой, −90° < ''α''₁₂ < +90°; ''alpha'' = ''α''₁₂
* вторая точка южнее первой, 90° < ''α''₁₂ < 270°; ''alpha'' = ''α''₁₂ − 180°

Поскольку поставлена задача направить ось ''OX'' вдоль начальной линии в противоположную сторону от второй точки, параметру ''gamma'' присвоим значение −90° в первом случае и +90° во втором.

Значение параметра ''k_0'' также можно оценить по результатам решения обратной геодезической задачи: ''k_0'' = ''L'' / ''S'', где ''L'' — заданная длина линии, ''S'' — длина геодезической из решения ОГЗ.

=== Решение обратной геодезической задачи ===

Итак, из решения ОГЗ мы хотим получить азимут ''α''₁₂ и расстояние ''S'', нужные для определения параметров ''alpha'' и ''k_0'' соответственно.

Пикантность ситуации придаёт тот факт, что на эллипсоиде через две точки проходит геодезическая линия, которая в блестящей математике косой проекции сэра Мартина Хотайна отображается в кривую на апосфере, не совпадающую с дугой большого круга. Расчёты показывают, что вследствие этого точность соответствия ''alpha'' = ''α''₁₂ и ''k_0'' = ''L'' / ''S'' при расстояниях в несколько десятков километров перестаёт удовлетворять геодезии.

Впрочем, многие объекты имеют скромные размеры «всего» в несколько километров, и для них это неприятное обстоятельство имеет исключительно теоретическое значение.

Однако есть ещё одно обстоятельство. Утилита '''geod''' из пакета '''PROJ.4''' версии 4.9.0 будет решать геодезические задачи на эллипсоиде, используя библиотеку '''GeographicLib'''. Но сегодня в ходу '''PROJ.4''' версии 4.8.0, и '''geod''' умеет считать только для сферы.

Так или иначе, надо научиться обходиться подручными средствами.

Подготовим файл данных с координатами конечных пунктов '''inv.dat''':
<pre>
51N 22E 50N 20E
</pre>
и решим ОГЗ:
<syntaxhighlight lang="bash">
$ geod -I -f "%.10f" -F "%f" +ellps=WGS84 +units=m inv.dat
</syntaxhighlight>
Возможно, в следующей версии '''PROJ.4''' результатом этой команды будет решение на эллипсоиде. Сегодня же из решения на сфере радиусом, равным экваториальному радиусу эллипсоида WGS 84, получилась такая строка значений ''α''₁₂, ''α''₂₁, ''S'':
<pre>
-127.3948484062 51.0617802663 180119.673397
</pre>

=== Построение проекции ===

По результатам решения ОГЗ построим черновую проекцию. Поскольку ''φ''₂ < ''φ''₁, имеет место второй вариант; примем ''alpha'' = ''α''₁₂ + 180° = 52.6051515938°, ''gamma'' = +90°. Масштабный коэффициент пока приравняем единице: ''k_0'' = 1. Получен предварительный набор параметров:
<pre>
+proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6051515938 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0
</pre>
Подготовим файл с координатами конечных точек '''p12.dat''':
<pre>
22 51
20 50
</pre>
Выполним команду:
<syntaxhighlight lang="bash">
$ proj -f "%f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6051515938 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p12.dat
</syntaxhighlight>
Программа выдаёт координаты первой и второй точек ''x''₁, ''y''₁ и ''x''₂, ''y''₂ в МСК:
<pre>
-0.000000 0.000000
-180292.238188 238.386305
</pre>
Координаты первой точки равны нулю, как и ожидалось. Координаты второй точки отличаются от ожидаемых −''L'' и 0. Ненулевое значение ''y''₂ говорит о том, что начальная линия проходит мимо второй точки. Значит, нужно подобрать параметр ''alpha'', чтобы исправить промах.

Численные методы отлично справляются с поиском корня уравнения ''x''₂(''alpha'') = 0. Добавим немного геометрии в задачу и будем улучшать значение параметра по формуле ''alpha''′ = ''alpha'' − arctg [(''y''₂ − ''y''₁) / (''x''₂ − ''x''₁)]. Может, это не очень эффективно, но через пять итераций при ''alpha'' = 52.6809193468 получаем такие координаты:
<pre>
-0.000000 0.000000
-180292.395746 0.000000
</pre>
Вычисляем параметр ''k_0'' по формуле ''k_0'' = −''L'' / (''x''₂ − ''x''₁) = 180300 / 180292.238188 = 1.0000421773.

Запуск '''proj''' с окончательным набором параметров:
<syntaxhighlight lang="bash">
proj -f "%f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6809193468 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p12.dat
</syntaxhighlight>
Результаты:
<pre>
-0.000 0.000
-180300.000 0.000
</pre>
Проекция построена.

== Вторая проекция ==

Нередко требуется вторая проекция, являющаяся зеркальным отражением первой: начало координат МСК-2 во второй точке, ось ''OX'' направлена вдоль оси в сторону, противоположную направлению на первую точку. Таким образом МСК-2 развёрнута по отношению к МСК-1 на 180° и смещена вдоль оси ''OX'' на длину ''L''.

Последнее предложение имеет особый смысл для выбора способа построения МСК-2. Если мы выберем способ, изложенный для МСК-1, только с центром проекции во второй точке и опорой на азимут ''α''₂₁, выяснится, что апосфера во втором случае будет не та, что в первом, и большие круги, проходящие через две точки, не совпадают. Правда, разница незаметна, пока расстояние не достигает величин в несколько десятков километров.

Таким образом, если нужна пара взаимоувязанных МСК, вторая система строится на параметрах первой:

== Ссылки ==

* [http://pubs.usgs.gov/pp/1395/report.pdf Map Projections — A Working Manual, Snyder J. P., USGS Professional Paper 1395, 1987]
* [http://remotesensing.org/geotiff/proj_list/guid7.html Coordinate Conversions and Transformations including Formulas, EPSG Guidance Note 7, 2002]
* [http://remotesensing.org/geotiff/proj_list/hotine_oblique_mercator.html Hotine Oblique Mercator]
* [http://trac.osgeo.org/proj/wiki/man_proj man_proj – PROJ.4]
* [http://trac.osgeo.org/proj/wiki/man_geod man_geod – PROJ.4]
* [http://geographiclib.sourceforge.net/ GeographicLib]
* [http://gis-lab.info/qa/local-cs.html Добавление местной координатной системы в GIS]

Местная система координат линейного объекта

2014-11-21T11:09:01Z

ErnieBoyd: /* Вторая проекция */

{{Статья|Черновик}}

{{Аннотация|Конструирование проекции для представления системы координат линейного объекта в ГИС}}

== Введение ==

Система координат линейного объекта строится для эксплуатации протяжённого инженерного сооружения.
Принципы построения проекции сходны с классическим подходом, изложенным в статье [http://gis-lab.info/qa/local-cs.html «Добавление местной координатной системы в GIS»].
Однако постановка задачи отличается.

== Постановка задачи ==

На оси сооружения задана линия положением двух его конечных точек в глобальной системе координат (ГСК).

Пусть в местной системе (МСК) начало координат совмещено с первой точкой, расстояние между точками задано величиной ''L'', а ось ''OX'' направлена вдоль оси сооружения наружу. В такой системе координаты второй точки будут равны ''X'' = −''L'', ''Y'' = 0.

Требуется подобрать проекцию, подходящую для представления такой МСК в ГИС.

== О проекции ==

Выбор проекции однозначен. Это косая проекция Меркатора с такими значениями параметров, чтобы так называемая начальная линия (линия наименьшего масштаба) проходила через конечные точки, а расстояние между этими точками равнялось ''L''.

Для косой проекции Меркатора задаются следующие параметры:
* широта и долгота центра проекции ''φ''₀, ''λ''₀
* азимут начальной линии ''α''
* разворот координатных осей ''γ''
* масштаб на начальной линии ''k''₀
* прямоугольные координаты в центре проекции ''x''₀, ''y''₀

Азимут начальной линии должен находиться в диапазоне −90° < ''α'' < +90°. Таким образом, если разворот ''γ'' не задан, ось ''OY'' будет направлена вдоль начальной линии в северную полуплоскость, ''OX'' в восточную.

Азимут ''α'' не может равняться 0°. Если ось направлена вдоль меридиана, выбирайте проекцию Гаусса-Крюгера. Также ''α'' не может принимать значения ±90°. Это тоже не проблема, поскольку в окрестности таких значений азимут вдоль геодезической линии меняется довольно быстро, и можно выбрать центр проекции на некотором удалении от первоначально выбранной точки.

Разворот ''γ'' первоначально вводился для компенсации начального разворота осей, чтобы вернуть оси ''OY'' направление строго на север. Для нас это великолепная возможность управлять ориентацией осей МСК произвольно.

== Определение параметров ==

Приведём данные тестового примера. Осевая линия задана положением конечных точек на эллипсоиде WGS 84: ''φ''₁ = 51° с.ш., ''λ''₁ = 22° в.д., ''φ''₂ = 50° с.ш., ''λ''₂ = 20° в.д. Расстояние вдоль оси задано длиной ''L'' = 180300 м.

Рассмотрим последовательность решения задачи с использованием '''PROJ.4'''. Вид строки параметров таков:

<pre>
+proj=omerc +lat_0=φ₀ +lonc=λ₀ +alpha=α +gamma=γ +k_0=k₀ +x_0=x₀ +y_0=y₀
</pre>

Простой подход состоит в том, чтобы поместить центр проекции в первую точку. В соответствии с постановкой задачи определяются следующие параметры:

<pre>
+lat_0=51 +lonc=22 +x_0=0 +y_0=0
</pre>

Для определения параметра ''alpha'' нужно решить обратную геодезическую задачу и найти азимут в первой точке на вторую ''α''₁₂. Здесь возможны два случая:
* вторая точка севернее первой, −90° < ''α''₁₂ < +90°; ''alpha'' = ''α''₁₂
* вторая точка южнее первой, 90° < ''α''₁₂ < 270°; ''alpha'' = ''α''₁₂ − 180°

Поскольку поставлена задача направить ось ''OX'' вдоль начальной линии в противоположную сторону от второй точки, параметру ''gamma'' присвоим значение −90° в первом случае и +90° во втором.

Значение параметра ''k_0'' также можно оценить по результатам решения обратной геодезической задачи: ''k_0'' = ''L'' / ''S'', где ''L'' — заданная длина линии, ''S'' — длина геодезической из решения ОГЗ.

=== Решение обратной геодезической задачи ===

Итак, из решения ОГЗ мы хотим получить азимут ''α''₁₂ и расстояние ''S'', нужные для определения параметров ''alpha'' и ''k_0'' соответственно.

Пикантность ситуации придаёт тот факт, что на эллипсоиде через две точки проходит геодезическая линия, которая в блестящей математике косой проекции сэра Мартина Хотайна отображается в кривую на апосфере, не совпадающую с дугой большого круга. Расчёты показывают, что вследствие этого точность соответствия ''alpha'' = ''α''₁₂ и ''k_0'' = ''L'' / ''S'' при расстояниях в несколько десятков километров перестаёт удовлетворять геодезии.

Впрочем, многие объекты имеют скромные размеры «всего» в несколько километров, и для них это неприятное обстоятельство имеет исключительно теоретическое значение.

Однако есть ещё одно обстоятельство. Утилита '''geod''' из пакета '''PROJ.4''' версии 4.9.0 будет решать геодезические задачи на эллипсоиде, используя библиотеку '''GeographicLib'''. Но сегодня в ходу '''PROJ.4''' версии 4.8.0, и '''geod''' умеет считать только для сферы.

Так или иначе, надо научиться обходиться подручными средствами.

Подготовим файл данных с координатами конечных пунктов '''inv.dat''':
<pre>
51N 22E 50N 20E
</pre>
и решим ОГЗ:
<syntaxhighlight lang="bash">
$ geod -I -f "%.10f" -F "%f" +ellps=WGS84 +units=m inv.dat
</syntaxhighlight>
Возможно, в следующей версии '''PROJ.4''' результатом этой команды будет решение на эллипсоиде. Сегодня же из решения на сфере радиусом, равным экваториальному радиусу эллипсоида WGS 84, получилась такая строка значений ''α''₁₂, ''α''₂₁, ''S'':
<pre>
-127.3948484062 51.0617802663 180119.673397
</pre>

=== Построение проекции ===

По результатам решения ОГЗ построим черновую проекцию. Поскольку ''φ''₂ < ''φ''₁, имеет место второй вариант; примем ''alpha'' = ''α''₁₂ + 180° = 52.6051515938°, ''gamma'' = +90°. Масштабный коэффициент пока приравняем единице: ''k_0'' = 1. Получен предварительный набор параметров:
<pre>
+proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6051515938 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0
</pre>
Подготовим файл с координатами конечных точек '''p12.dat''':
<pre>
22 51
20 50
</pre>
Выполним команду:
<syntaxhighlight lang="bash">
$ proj -f "%f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6051515938 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p12.dat
</syntaxhighlight>
Программа выдаёт координаты первой и второй точек ''x''₁, ''y''₁ и ''x''₂, ''y''₂ в МСК:
<pre>
-0.000000 0.000000
-180292.238188 238.386305
</pre>
Координаты первой точки равны нулю, как и ожидалось. Координаты второй точки отличаются от ожидаемых −''L'' и 0. Ненулевое значение ''y''₂ говорит о том, что начальная линия проходит мимо второй точки. Значит, нужно подобрать параметр ''alpha'', чтобы исправить промах.

Численные методы отлично справляются с поиском корня уравнения ''x''₂(''alpha'') = 0. Добавим немного геометрии в задачу и будем улучшать значение параметра по формуле ''alpha''′ = ''alpha'' − arctg [(''y''₂ − ''y''₁) / (''x''₂ − ''x''₁)]. Может, это не очень эффективно, но через пять итераций при ''alpha'' = 52.6809193468 получаем такие координаты:
<pre>
-0.000000 0.000000
-180292.395746 0.000000
</pre>
Вычисляем параметр ''k_0'' по формуле ''k_0'' = −''L'' / (''x''₂ − ''x''₁) = 180300 / 180292.238188 = 1.0000421773.

Запуск '''proj''' с окончательным набором параметров:
<syntaxhighlight lang="bash">
proj -f "%f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6809193468 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p12.dat
</syntaxhighlight>
Результаты:
<pre>
-0.000 0.000
-180300.000 0.000
</pre>
Проекция построена.

== Вторая проекция ==

Нередко требуется вторая проекция, являющаяся зеркальным отражением первой: начало координат МСК-2 во второй точке, ось ''OX'' направлена вдоль оси в сторону, противоположную направлению на первую точку. Таким образом МСК-2 развёрнута по отношению к МСК-1 на 180° и смещена вдоль оси ''OX'' на длину ''L''.

Последнее предложение имеет особый смысл для выбора способа построения МСК-2. Дело в пресловутой пикантности

== Ссылки ==

* [http://pubs.usgs.gov/pp/1395/report.pdf Map Projections — A Working Manual, Snyder J. P., USGS Professional Paper 1395, 1987]
* [http://remotesensing.org/geotiff/proj_list/guid7.html Coordinate Conversions and Transformations including Formulas, EPSG Guidance Note 7, 2002]
* [http://remotesensing.org/geotiff/proj_list/hotine_oblique_mercator.html Hotine Oblique Mercator]
* [http://trac.osgeo.org/proj/wiki/man_proj man_proj – PROJ.4]
* [http://trac.osgeo.org/proj/wiki/man_geod man_geod – PROJ.4]
* [http://geographiclib.sourceforge.net/ GeographicLib]
* [http://gis-lab.info/qa/local-cs.html Добавление местной координатной системы в GIS]

Местная система координат линейного объекта

2014-11-21T11:06:30Z

ErnieBoyd: /* Решение обратной геодезической задачи */

{{Статья|Черновик}}

{{Аннотация|Конструирование проекции для представления системы координат линейного объекта в ГИС}}

== Введение ==

Система координат линейного объекта строится для эксплуатации протяжённого инженерного сооружения.
Принципы построения проекции сходны с классическим подходом, изложенным в статье [http://gis-lab.info/qa/local-cs.html «Добавление местной координатной системы в GIS»].
Однако постановка задачи отличается.

== Постановка задачи ==

На оси сооружения задана линия положением двух его конечных точек в глобальной системе координат (ГСК).

Пусть в местной системе (МСК) начало координат совмещено с первой точкой, расстояние между точками задано величиной ''L'', а ось ''OX'' направлена вдоль оси сооружения наружу. В такой системе координаты второй точки будут равны ''X'' = −''L'', ''Y'' = 0.

Требуется подобрать проекцию, подходящую для представления такой МСК в ГИС.

== О проекции ==

Выбор проекции однозначен. Это косая проекция Меркатора с такими значениями параметров, чтобы так называемая начальная линия (линия наименьшего масштаба) проходила через конечные точки, а расстояние между этими точками равнялось ''L''.

Для косой проекции Меркатора задаются следующие параметры:
* широта и долгота центра проекции ''φ''₀, ''λ''₀
* азимут начальной линии ''α''
* разворот координатных осей ''γ''
* масштаб на начальной линии ''k''₀
* прямоугольные координаты в центре проекции ''x''₀, ''y''₀

Азимут начальной линии должен находиться в диапазоне −90° < ''α'' < +90°. Таким образом, если разворот ''γ'' не задан, ось ''OY'' будет направлена вдоль начальной линии в северную полуплоскость, ''OX'' в восточную.

Азимут ''α'' не может равняться 0°. Если ось направлена вдоль меридиана, выбирайте проекцию Гаусса-Крюгера. Также ''α'' не может принимать значения ±90°. Это тоже не проблема, поскольку в окрестности таких значений азимут вдоль геодезической линии меняется довольно быстро, и можно выбрать центр проекции на некотором удалении от первоначально выбранной точки.

Разворот ''γ'' первоначально вводился для компенсации начального разворота осей, чтобы вернуть оси ''OY'' направление строго на север. Для нас это великолепная возможность управлять ориентацией осей МСК произвольно.

== Определение параметров ==

Приведём данные тестового примера. Осевая линия задана положением конечных точек на эллипсоиде WGS 84: ''φ''₁ = 51° с.ш., ''λ''₁ = 22° в.д., ''φ''₂ = 50° с.ш., ''λ''₂ = 20° в.д. Расстояние вдоль оси задано длиной ''L'' = 180300 м.

Рассмотрим последовательность решения задачи с использованием '''PROJ.4'''. Вид строки параметров таков:

<pre>
+proj=omerc +lat_0=φ₀ +lonc=λ₀ +alpha=α +gamma=γ +k_0=k₀ +x_0=x₀ +y_0=y₀
</pre>

Простой подход состоит в том, чтобы поместить центр проекции в первую точку. В соответствии с постановкой задачи определяются следующие параметры:

<pre>
+lat_0=51 +lonc=22 +x_0=0 +y_0=0
</pre>

Для определения параметра ''alpha'' нужно решить обратную геодезическую задачу и найти азимут в первой точке на вторую ''α''₁₂. Здесь возможны два случая:
* вторая точка севернее первой, −90° < ''α''₁₂ < +90°; ''alpha'' = ''α''₁₂
* вторая точка южнее первой, 90° < ''α''₁₂ < 270°; ''alpha'' = ''α''₁₂ − 180°

Поскольку поставлена задача направить ось ''OX'' вдоль начальной линии в противоположную сторону от второй точки, параметру ''gamma'' присвоим значение −90° в первом случае и +90° во втором.

Значение параметра ''k_0'' также можно оценить по результатам решения обратной геодезической задачи: ''k_0'' = ''L'' / ''S'', где ''L'' — заданная длина линии, ''S'' — длина геодезической из решения ОГЗ.

=== Решение обратной геодезической задачи ===

Итак, из решения ОГЗ мы хотим получить азимут ''α''₁₂ и расстояние ''S'', нужные для определения параметров ''alpha'' и ''k_0'' соответственно.

Пикантность ситуации придаёт тот факт, что на эллипсоиде через две точки проходит геодезическая линия, которая в блестящей математике косой проекции сэра Мартина Хотайна отображается в кривую на апосфере, не совпадающую с дугой большого круга. Расчёты показывают, что вследствие этого точность соответствия ''alpha'' = ''α''₁₂ и ''k_0'' = ''L'' / ''S'' при расстояниях в несколько десятков километров перестаёт удовлетворять геодезии.

Впрочем, многие объекты имеют скромные размеры «всего» в несколько километров, и для них это неприятное обстоятельство имеет исключительно теоретическое значение.

Однако есть ещё одно обстоятельство. Утилита '''geod''' из пакета '''PROJ.4''' версии 4.9.0 будет решать геодезические задачи на эллипсоиде, используя библиотеку '''GeographicLib'''. Но сегодня в ходу '''PROJ.4''' версии 4.8.0, и '''geod''' умеет считать только для сферы.

Так или иначе, надо научиться обходиться подручными средствами.

Подготовим файл данных с координатами конечных пунктов '''inv.dat''':
<pre>
51N 22E 50N 20E
</pre>
и решим ОГЗ:
<syntaxhighlight lang="bash">
$ geod -I -f "%.10f" -F "%f" +ellps=WGS84 +units=m inv.dat
</syntaxhighlight>
Возможно, в следующей версии '''PROJ.4''' результатом этой команды будет решение на эллипсоиде. Сегодня же из решения на сфере радиусом, равным экваториальному радиусу эллипсоида WGS 84, получилась такая строка значений ''α''₁₂, ''α''₂₁, ''S'':
<pre>
-127.3948484062 51.0617802663 180119.673397
</pre>

=== Построение проекции ===

По результатам решения ОГЗ построим черновую проекцию. Поскольку ''φ''₂ < ''φ''₁, имеет место второй вариант; примем ''alpha'' = ''α''₁₂ + 180° = 52.6051515938°, ''gamma'' = +90°. Масштабный коэффициент пока приравняем единице: ''k_0'' = 1. Получен предварительный набор параметров:
<pre>
+proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6051515938 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0
</pre>
Подготовим файл с координатами конечных точек '''p12.dat''':
<pre>
22 51
20 50
</pre>
Выполним команду:
<syntaxhighlight lang="bash">
$ proj -f "%f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6051515938 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p12.dat
</syntaxhighlight>
Программа выдаёт координаты первой и второй точек ''x''₁, ''y''₁ и ''x''₂, ''y''₂ в МСК:
<pre>
-0.000000 0.000000
-180292.238188 238.386305
</pre>
Координаты первой точки равны нулю, как и ожидалось. Координаты второй точки отличаются от ожидаемых −''L'' и 0. Ненулевое значение ''y''₂ говорит о том, что начальная линия проходит мимо второй точки. Значит, нужно подобрать параметр ''alpha'', чтобы исправить промах.

Численные методы отлично справляются с поиском корня уравнения ''x''₂(''alpha'') = 0. Добавим немного геометрии в задачу и будем улучшать значение параметра по формуле ''alpha''′ = ''alpha'' − arctg [(''y''₂ − ''y''₁) / (''x''₂ − ''x''₁)]. Может, это не очень эффективно, но через пять итераций при ''alpha'' = 52.6809193468 получаем такие координаты:
<pre>
-0.000000 0.000000
-180292.395746 0.000000
</pre>
Вычисляем параметр ''k_0'' по формуле ''k_0'' = −''L'' / (''x''₂ − ''x''₁) = 180300 / 180292.238188 = 1.0000421773.

Запуск '''proj''' с окончательным набором параметров:
<syntaxhighlight lang="bash">
proj -f "%f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6809193468 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p12.dat
</syntaxhighlight>
Результаты:
<pre>
-0.000 0.000
-180300.000 0.000
</pre>
Проекция построена.

== Вторая проекция ==

Нередко требуется вторая проекция, являющаяся зеркальным отражением первой: начало координат МСК-2 во второй точке, ось ''OX'' направлена вдоль оси в сторону, противоположную направлению на первую точку. Таким образом МСК-2 развёрнута по отношению к МСК-1 на 180° и смещена вдоль оси ''OX'' на длину ''L''.

== Ссылки ==

* [http://pubs.usgs.gov/pp/1395/report.pdf Map Projections — A Working Manual, Snyder J. P., USGS Professional Paper 1395, 1987]
* [http://remotesensing.org/geotiff/proj_list/guid7.html Coordinate Conversions and Transformations including Formulas, EPSG Guidance Note 7, 2002]
* [http://remotesensing.org/geotiff/proj_list/hotine_oblique_mercator.html Hotine Oblique Mercator]
* [http://trac.osgeo.org/proj/wiki/man_proj man_proj – PROJ.4]
* [http://trac.osgeo.org/proj/wiki/man_geod man_geod – PROJ.4]
* [http://geographiclib.sourceforge.net/ GeographicLib]
* [http://gis-lab.info/qa/local-cs.html Добавление местной координатной системы в GIS]

Местная система координат линейного объекта

2014-11-21T11:04:22Z

ErnieBoyd: /* Вторая проекция */

{{Статья|Черновик}}

{{Аннотация|Конструирование проекции для представления системы координат линейного объекта в ГИС}}

== Введение ==

Система координат линейного объекта строится для эксплуатации протяжённого инженерного сооружения.
Принципы построения проекции сходны с классическим подходом, изложенным в статье [http://gis-lab.info/qa/local-cs.html «Добавление местной координатной системы в GIS»].
Однако постановка задачи отличается.

== Постановка задачи ==

На оси сооружения задана линия положением двух его конечных точек в глобальной системе координат (ГСК).

Пусть в местной системе (МСК) начало координат совмещено с первой точкой, расстояние между точками задано величиной ''L'', а ось ''OX'' направлена вдоль оси сооружения наружу. В такой системе координаты второй точки будут равны ''X'' = −''L'', ''Y'' = 0.

Требуется подобрать проекцию, подходящую для представления такой МСК в ГИС.

== О проекции ==

Выбор проекции однозначен. Это косая проекция Меркатора с такими значениями параметров, чтобы так называемая начальная линия (линия наименьшего масштаба) проходила через конечные точки, а расстояние между этими точками равнялось ''L''.

Для косой проекции Меркатора задаются следующие параметры:
* широта и долгота центра проекции ''φ''₀, ''λ''₀
* азимут начальной линии ''α''
* разворот координатных осей ''γ''
* масштаб на начальной линии ''k''₀
* прямоугольные координаты в центре проекции ''x''₀, ''y''₀

Азимут начальной линии должен находиться в диапазоне −90° < ''α'' < +90°. Таким образом, если разворот ''γ'' не задан, ось ''OY'' будет направлена вдоль начальной линии в северную полуплоскость, ''OX'' в восточную.

Азимут ''α'' не может равняться 0°. Если ось направлена вдоль меридиана, выбирайте проекцию Гаусса-Крюгера. Также ''α'' не может принимать значения ±90°. Это тоже не проблема, поскольку в окрестности таких значений азимут вдоль геодезической линии меняется довольно быстро, и можно выбрать центр проекции на некотором удалении от первоначально выбранной точки.

Разворот ''γ'' первоначально вводился для компенсации начального разворота осей, чтобы вернуть оси ''OY'' направление строго на север. Для нас это великолепная возможность управлять ориентацией осей МСК произвольно.

== Определение параметров ==

Приведём данные тестового примера. Осевая линия задана положением конечных точек на эллипсоиде WGS 84: ''φ''₁ = 51° с.ш., ''λ''₁ = 22° в.д., ''φ''₂ = 50° с.ш., ''λ''₂ = 20° в.д. Расстояние вдоль оси задано длиной ''L'' = 180300 м.

Рассмотрим последовательность решения задачи с использованием '''PROJ.4'''. Вид строки параметров таков:

<pre>
+proj=omerc +lat_0=φ₀ +lonc=λ₀ +alpha=α +gamma=γ +k_0=k₀ +x_0=x₀ +y_0=y₀
</pre>

Простой подход состоит в том, чтобы поместить центр проекции в первую точку. В соответствии с постановкой задачи определяются следующие параметры:

<pre>
+lat_0=51 +lonc=22 +x_0=0 +y_0=0
</pre>

Для определения параметра ''alpha'' нужно решить обратную геодезическую задачу и найти азимут в первой точке на вторую ''α''₁₂. Здесь возможны два случая:
* вторая точка севернее первой, −90° < ''α''₁₂ < +90°; ''alpha'' = ''α''₁₂
* вторая точка южнее первой, 90° < ''α''₁₂ < 270°; ''alpha'' = ''α''₁₂ − 180°

Поскольку поставлена задача направить ось ''OX'' вдоль начальной линии в противоположную сторону от второй точки, параметру ''gamma'' присвоим значение −90° в первом случае и +90° во втором.

Значение параметра ''k_0'' также можно оценить по результатам решения обратной геодезической задачи: ''k_0'' = ''L'' / ''S'', где ''L'' — заданная длина линии, ''S'' — длина геодезической из решения ОГЗ.

=== Решение обратной геодезической задачи ===

Итак, из решения ОГЗ мы хотим получить азимут ''α''₁₂ и расстояние ''S'', нужные для определения параметров ''alpha'' и ''k_0'' соответственно.

Пикантность ситуации придаёт тот факт, что на эллипсоиде через две точки проходит геодезическая линия, которая в блестящей математике косой проекции сэра Мартина Хотина отображается в кривую на апосфере, не совпадающую с дугой большого круга. Расчёты показывают, что вследствие этого точность соответствия ''alpha'' = ''α''₁₂ и ''k_0'' = ''L'' / ''S'' при расстояниях в несколько десятков километров перестаёт удовлетворять геодезии.

Впрочем, многие объекты имеют скромные размеры «всего» в несколько километров, и для них это неприятное обстоятельство имеет исключительно теоретическое значение.

Однако есть ещё одно обстоятельство. Утилита '''geod''' из пакета '''PROJ.4''' версии 4.9.0 будет решать геодезические задачи на эллипсоиде, используя библиотеку '''GeographicLib'''. Но сегодня в ходу '''PROJ.4''' версии 4.8.0, и '''geod''' умеет считать только для сферы.

Так или иначе, надо научиться обходиться подручными средствами.

Подготовим файл данных с координатами конечных пунктов '''inv.dat''':
<pre>
51N 22E 50N 20E
</pre>
и решим ОГЗ:
<syntaxhighlight lang="bash">
$ geod -I -f "%.10f" -F "%f" +ellps=WGS84 +units=m inv.dat
</syntaxhighlight>
Возможно, в следующей версии '''PROJ.4''' результатом этой команды будет решение на эллипсоиде. Сегодня же из решения на сфере радиусом, равным экваториальному радиусу эллипсоида WGS 84, получилась такая строка значений ''α''₁₂, ''α''₂₁, ''S'':
<pre>
-127.3948484062 51.0617802663 180119.673397
</pre>

=== Построение проекции ===

По результатам решения ОГЗ построим черновую проекцию. Поскольку ''φ''₂ < ''φ''₁, имеет место второй вариант; примем ''alpha'' = ''α''₁₂ + 180° = 52.6051515938°, ''gamma'' = +90°. Масштабный коэффициент пока приравняем единице: ''k_0'' = 1. Получен предварительный набор параметров:
<pre>
+proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6051515938 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0
</pre>
Подготовим файл с координатами конечных точек '''p12.dat''':
<pre>
22 51
20 50
</pre>
Выполним команду:
<syntaxhighlight lang="bash">
$ proj -f "%f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6051515938 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p12.dat
</syntaxhighlight>
Программа выдаёт координаты первой и второй точек ''x''₁, ''y''₁ и ''x''₂, ''y''₂ в МСК:
<pre>
-0.000000 0.000000
-180292.238188 238.386305
</pre>
Координаты первой точки равны нулю, как и ожидалось. Координаты второй точки отличаются от ожидаемых −''L'' и 0. Ненулевое значение ''y''₂ говорит о том, что начальная линия проходит мимо второй точки. Значит, нужно подобрать параметр ''alpha'', чтобы исправить промах.

Численные методы отлично справляются с поиском корня уравнения ''x''₂(''alpha'') = 0. Добавим немного геометрии в задачу и будем улучшать значение параметра по формуле ''alpha''′ = ''alpha'' − arctg [(''y''₂ − ''y''₁) / (''x''₂ − ''x''₁)]. Может, это не очень эффективно, но через пять итераций при ''alpha'' = 52.6809193468 получаем такие координаты:
<pre>
-0.000000 0.000000
-180292.395746 0.000000
</pre>
Вычисляем параметр ''k_0'' по формуле ''k_0'' = −''L'' / (''x''₂ − ''x''₁) = 180300 / 180292.238188 = 1.0000421773.

Запуск '''proj''' с окончательным набором параметров:
<syntaxhighlight lang="bash">
proj -f "%f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6809193468 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p12.dat
</syntaxhighlight>
Результаты:
<pre>
-0.000 0.000
-180300.000 0.000
</pre>
Проекция построена.

== Вторая проекция ==

Нередко требуется вторая проекция, являющаяся зеркальным отражением первой: начало координат МСК-2 во второй точке, ось ''OX'' направлена вдоль оси в сторону, противоположную направлению на первую точку. Таким образом МСК-2 развёрнута по отношению к МСК-1 на 180° и смещена вдоль оси ''OX'' на длину ''L''.

== Ссылки ==

* [http://pubs.usgs.gov/pp/1395/report.pdf Map Projections — A Working Manual, Snyder J. P., USGS Professional Paper 1395, 1987]
* [http://remotesensing.org/geotiff/proj_list/guid7.html Coordinate Conversions and Transformations including Formulas, EPSG Guidance Note 7, 2002]
* [http://remotesensing.org/geotiff/proj_list/hotine_oblique_mercator.html Hotine Oblique Mercator]
* [http://trac.osgeo.org/proj/wiki/man_proj man_proj – PROJ.4]
* [http://trac.osgeo.org/proj/wiki/man_geod man_geod – PROJ.4]
* [http://geographiclib.sourceforge.net/ GeographicLib]
* [http://gis-lab.info/qa/local-cs.html Добавление местной координатной системы в GIS]

Местная система координат линейного объекта

2014-11-21T10:58:14Z

ErnieBoyd: /* Text */

{{Статья|Черновик}}

{{Аннотация|Конструирование проекции для представления системы координат линейного объекта в ГИС}}

== Введение ==

Система координат линейного объекта строится для эксплуатации протяжённого инженерного сооружения.
Принципы построения проекции сходны с классическим подходом, изложенным в статье [http://gis-lab.info/qa/local-cs.html «Добавление местной координатной системы в GIS»].
Однако постановка задачи отличается.

== Постановка задачи ==

На оси сооружения задана линия положением двух его конечных точек в глобальной системе координат (ГСК).

Пусть в местной системе (МСК) начало координат совмещено с первой точкой, расстояние между точками задано величиной ''L'', а ось ''OX'' направлена вдоль оси сооружения наружу. В такой системе координаты второй точки будут равны ''X'' = −''L'', ''Y'' = 0.

Требуется подобрать проекцию, подходящую для представления такой МСК в ГИС.

== О проекции ==

Выбор проекции однозначен. Это косая проекция Меркатора с такими значениями параметров, чтобы так называемая начальная линия (линия наименьшего масштаба) проходила через конечные точки, а расстояние между этими точками равнялось ''L''.

Для косой проекции Меркатора задаются следующие параметры:
* широта и долгота центра проекции ''φ''₀, ''λ''₀
* азимут начальной линии ''α''
* разворот координатных осей ''γ''
* масштаб на начальной линии ''k''₀
* прямоугольные координаты в центре проекции ''x''₀, ''y''₀

Азимут начальной линии должен находиться в диапазоне −90° < ''α'' < +90°. Таким образом, если разворот ''γ'' не задан, ось ''OY'' будет направлена вдоль начальной линии в северную полуплоскость, ''OX'' в восточную.

Азимут ''α'' не может равняться 0°. Если ось направлена вдоль меридиана, выбирайте проекцию Гаусса-Крюгера. Также ''α'' не может принимать значения ±90°. Это тоже не проблема, поскольку в окрестности таких значений азимут вдоль геодезической линии меняется довольно быстро, и можно выбрать центр проекции на некотором удалении от первоначально выбранной точки.

Разворот ''γ'' первоначально вводился для компенсации начального разворота осей, чтобы вернуть оси ''OY'' направление строго на север. Для нас это великолепная возможность управлять ориентацией осей МСК произвольно.

== Определение параметров ==

Приведём данные тестового примера. Осевая линия задана положением конечных точек на эллипсоиде WGS 84: ''φ''₁ = 51° с.ш., ''λ''₁ = 22° в.д., ''φ''₂ = 50° с.ш., ''λ''₂ = 20° в.д. Расстояние вдоль оси задано длиной ''L'' = 180300 м.

Рассмотрим последовательность решения задачи с использованием '''PROJ.4'''. Вид строки параметров таков:

<pre>
+proj=omerc +lat_0=φ₀ +lonc=λ₀ +alpha=α +gamma=γ +k_0=k₀ +x_0=x₀ +y_0=y₀
</pre>

Простой подход состоит в том, чтобы поместить центр проекции в первую точку. В соответствии с постановкой задачи определяются следующие параметры:

<pre>
+lat_0=51 +lonc=22 +x_0=0 +y_0=0
</pre>

Для определения параметра ''alpha'' нужно решить обратную геодезическую задачу и найти азимут в первой точке на вторую ''α''₁₂. Здесь возможны два случая:
* вторая точка севернее первой, −90° < ''α''₁₂ < +90°; ''alpha'' = ''α''₁₂
* вторая точка южнее первой, 90° < ''α''₁₂ < 270°; ''alpha'' = ''α''₁₂ − 180°

Поскольку поставлена задача направить ось ''OX'' вдоль начальной линии в противоположную сторону от второй точки, параметру ''gamma'' присвоим значение −90° в первом случае и +90° во втором.

Значение параметра ''k_0'' также можно оценить по результатам решения обратной геодезической задачи: ''k_0'' = ''L'' / ''S'', где ''L'' — заданная длина линии, ''S'' — длина геодезической из решения ОГЗ.

=== Решение обратной геодезической задачи ===

Итак, из решения ОГЗ мы хотим получить азимут ''α''₁₂ и расстояние ''S'', нужные для определения параметров ''alpha'' и ''k_0'' соответственно.

Пикантность ситуации придаёт тот факт, что на эллипсоиде через две точки проходит геодезическая линия, которая в блестящей математике косой проекции сэра Мартина Хотина отображается в кривую на апосфере, не совпадающую с дугой большого круга. Расчёты показывают, что вследствие этого точность соответствия ''alpha'' = ''α''₁₂ и ''k_0'' = ''L'' / ''S'' при расстояниях в несколько десятков километров перестаёт удовлетворять геодезии.

Впрочем, многие объекты имеют скромные размеры «всего» в несколько километров, и для них это неприятное обстоятельство имеет исключительно теоретическое значение.

Однако есть ещё одно обстоятельство. Утилита '''geod''' из пакета '''PROJ.4''' версии 4.9.0 будет решать геодезические задачи на эллипсоиде, используя библиотеку '''GeographicLib'''. Но сегодня в ходу '''PROJ.4''' версии 4.8.0, и '''geod''' умеет считать только для сферы.

Так или иначе, надо научиться обходиться подручными средствами.

Подготовим файл данных с координатами конечных пунктов '''inv.dat''':
<pre>
51N 22E 50N 20E
</pre>
и решим ОГЗ:
<syntaxhighlight lang="bash">
$ geod -I -f "%.10f" -F "%f" +ellps=WGS84 +units=m inv.dat
</syntaxhighlight>
Возможно, в следующей версии '''PROJ.4''' результатом этой команды будет решение на эллипсоиде. Сегодня же из решения на сфере радиусом, равным экваториальному радиусу эллипсоида WGS 84, получилась такая строка значений ''α''₁₂, ''α''₂₁, ''S'':
<pre>
-127.3948484062 51.0617802663 180119.673397
</pre>

=== Построение проекции ===

По результатам решения ОГЗ построим черновую проекцию. Поскольку ''φ''₂ < ''φ''₁, имеет место второй вариант; примем ''alpha'' = ''α''₁₂ + 180° = 52.6051515938°, ''gamma'' = +90°. Масштабный коэффициент пока приравняем единице: ''k_0'' = 1. Получен предварительный набор параметров:
<pre>
+proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6051515938 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0
</pre>
Подготовим файл с координатами конечных точек '''p12.dat''':
<pre>
22 51
20 50
</pre>
Выполним команду:
<syntaxhighlight lang="bash">
$ proj -f "%f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6051515938 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p12.dat
</syntaxhighlight>
Программа выдаёт координаты первой и второй точек ''x''₁, ''y''₁ и ''x''₂, ''y''₂ в МСК:
<pre>
-0.000000 0.000000
-180292.238188 238.386305
</pre>
Координаты первой точки равны нулю, как и ожидалось. Координаты второй точки отличаются от ожидаемых −''L'' и 0. Ненулевое значение ''y''₂ говорит о том, что начальная линия проходит мимо второй точки. Значит, нужно подобрать параметр ''alpha'', чтобы исправить промах.

Численные методы отлично справляются с поиском корня уравнения ''x''₂(''alpha'') = 0. Добавим немного геометрии в задачу и будем улучшать значение параметра по формуле ''alpha''′ = ''alpha'' − arctg [(''y''₂ − ''y''₁) / (''x''₂ − ''x''₁)]. Может, это не очень эффективно, но через пять итераций при ''alpha'' = 52.6809193468 получаем такие координаты:
<pre>
-0.000000 0.000000
-180292.395746 0.000000
</pre>
Вычисляем параметр ''k_0'' по формуле ''k_0'' = −''L'' / (''x''₂ − ''x''₁) = 180300 / 180292.238188 = 1.0000421773.

Запуск '''proj''' с окончательным набором параметров:
<syntaxhighlight lang="bash">
proj -f "%f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6809193468 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p12.dat
</syntaxhighlight>
Результаты:
<pre>
-0.000 0.000
-180300.000 0.000
</pre>
Проекция построена.

== Вторая проекция ==

Нередко требуется вторая проекция, являющаяся зеркальным отражением первой: начало координат МСК-2 во второй точке, ось ''OX'' ''OY''

== Ссылки ==

* [http://pubs.usgs.gov/pp/1395/report.pdf Map Projections — A Working Manual, Snyder J. P., USGS Professional Paper 1395, 1987]
* [http://remotesensing.org/geotiff/proj_list/guid7.html Coordinate Conversions and Transformations including Formulas, EPSG Guidance Note 7, 2002]
* [http://remotesensing.org/geotiff/proj_list/hotine_oblique_mercator.html Hotine Oblique Mercator]
* [http://trac.osgeo.org/proj/wiki/man_proj man_proj – PROJ.4]
* [http://trac.osgeo.org/proj/wiki/man_geod man_geod – PROJ.4]
* [http://geographiclib.sourceforge.net/ GeographicLib]
* [http://gis-lab.info/qa/local-cs.html Добавление местной координатной системы в GIS]

Местная система координат линейного объекта

2014-11-21T10:53:43Z

ErnieBoyd: /* Построение проекции */

{{Статья|Черновик}}

{{Аннотация|Конструирование проекции для представления системы координат линейного объекта в ГИС}}

== Введение ==

Система координат линейного объекта строится для эксплуатации протяжённого инженерного сооружения.
Принципы построения проекции сходны с классическим подходом, изложенным в статье [http://gis-lab.info/qa/local-cs.html «Добавление местной координатной системы в GIS»].
Однако постановка задачи отличается.

== Постановка задачи ==

На оси сооружения задана линия положением двух его конечных точек в глобальной системе координат (ГСК).

Пусть в местной системе (МСК) начало координат совмещено с первой точкой, расстояние между точками задано величиной ''L'', а ось ''OX'' направлена вдоль оси сооружения наружу. В такой системе координаты второй точки будут равны ''X'' = −''L'', ''Y'' = 0.

Требуется подобрать проекцию, подходящую для представления такой МСК в ГИС.

== О проекции ==

Выбор проекции однозначен. Это косая проекция Меркатора с такими значениями параметров, чтобы так называемая начальная линия (линия наименьшего масштаба) проходила через конечные точки, а расстояние между этими точками равнялось ''L''.

Для косой проекции Меркатора задаются следующие параметры:
* широта и долгота центра проекции ''φ''₀, ''λ''₀
* азимут начальной линии ''α''
* разворот координатных осей ''γ''
* масштаб на начальной линии ''k''₀
* прямоугольные координаты в центре проекции ''x''₀, ''y''₀

Азимут начальной линии должен находиться в диапазоне −90° < ''α'' < +90°. Таким образом, если разворот ''γ'' не задан, ось ''OY'' будет направлена вдоль начальной линии в северную полуплоскость, ''OX'' в восточную.

Азимут ''α'' не может равняться 0°. Если ось направлена вдоль меридиана, выбирайте проекцию Гаусса-Крюгера. Также ''α'' не может принимать значения ±90°. Это тоже не проблема, поскольку в окрестности таких значений азимут вдоль геодезической линии меняется довольно быстро, и можно выбрать центр проекции на некотором удалении от первоначально выбранной точки.

Разворот ''γ'' первоначально вводился для компенсации начального разворота осей, чтобы вернуть оси ''OY'' направление строго на север. Для нас это великолепная возможность управлять ориентацией осей МСК произвольно.

== Определение параметров ==

Приведём данные тестового примера. Осевая линия задана положением конечных точек на эллипсоиде WGS 84: ''φ''₁ = 51° с.ш., ''λ''₁ = 22° в.д., ''φ''₂ = 50° с.ш., ''λ''₂ = 20° в.д. Расстояние вдоль оси задано длиной ''L'' = 180300 м.

Рассмотрим последовательность решения задачи с использованием '''PROJ.4'''. Вид строки параметров таков:

<pre>
+proj=omerc +lat_0=φ₀ +lonc=λ₀ +alpha=α +gamma=γ +k_0=k₀ +x_0=x₀ +y_0=y₀
</pre>

Простой подход состоит в том, чтобы поместить центр проекции в первую точку. В соответствии с постановкой задачи определяются следующие параметры:

<pre>
+lat_0=51 +lonc=22 +x_0=0 +y_0=0
</pre>

Для определения параметра ''alpha'' нужно решить обратную геодезическую задачу и найти азимут в первой точке на вторую ''α''₁₂. Здесь возможны два случая:
* вторая точка севернее первой, −90° < ''α''₁₂ < +90°; ''alpha'' = ''α''₁₂
* вторая точка южнее первой, 90° < ''α''₁₂ < 270°; ''alpha'' = ''α''₁₂ − 180°

Поскольку поставлена задача направить ось ''OX'' вдоль начальной линии в противоположную сторону от второй точки, параметру ''gamma'' присвоим значение −90° в первом случае и +90° во втором.

Значение параметра ''k_0'' также можно оценить по результатам решения обратной геодезической задачи: ''k_0'' = ''L'' / ''S'', где ''L'' — заданная длина линии, ''S'' — длина геодезической из решения ОГЗ.

=== Решение обратной геодезической задачи ===

Итак, из решения ОГЗ мы хотим получить азимут ''α''₁₂ и расстояние ''S'', нужные для определения параметров ''alpha'' и ''k_0'' соответственно.

Пикантность ситуации придаёт тот факт, что на эллипсоиде через две точки проходит геодезическая линия, которая в блестящей математике косой проекции сэра Мартина Хотина отображается в кривую на апосфере, не совпадающую с дугой большого круга. Расчёты показывают, что вследствие этого точность соответствия ''alpha'' = ''α''₁₂ и ''k_0'' = ''L'' / ''S'' при расстояниях в несколько десятков километров перестаёт удовлетворять геодезии.

Впрочем, многие объекты имеют скромные размеры «всего» в несколько километров, и для них это неприятное обстоятельство имеет исключительно теоретическое значение.

Однако есть ещё одно обстоятельство. Утилита '''geod''' из пакета '''PROJ.4''' версии 4.9.0 будет решать геодезические задачи на эллипсоиде, используя библиотеку '''GeographicLib'''. Но сегодня в ходу '''PROJ.4''' версии 4.8.0, и '''geod''' умеет считать только для сферы.

Так или иначе, надо научиться обходиться подручными средствами.

Подготовим файл данных с координатами конечных пунктов '''inv.dat''':
<pre>
51N 22E 50N 20E
</pre>
и решим ОГЗ:
<syntaxhighlight lang="bash">
$ geod -I -f "%.10f" -F "%f" +ellps=WGS84 +units=m inv.dat
</syntaxhighlight>
Возможно, в следующей версии '''PROJ.4''' результатом этой команды будет решение на эллипсоиде. Сегодня же из решения на сфере радиусом, равным экваториальному радиусу эллипсоида WGS 84, получилась такая строка значений ''α''₁₂, ''α''₂₁, ''S'':
<pre>
-127.3948484062 51.0617802663 180119.673397
</pre>

=== Построение проекции ===

По результатам решения ОГЗ построим черновую проекцию. Поскольку ''φ''₂ < ''φ''₁, имеет место второй вариант; примем ''alpha'' = ''α''₁₂ + 180° = 52.6051515938°, ''gamma'' = +90°. Масштабный коэффициент пока приравняем единице: ''k_0'' = 1. Получен предварительный набор параметров:
<pre>
+proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6051515938 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0
</pre>
Подготовим файл с координатами конечных точек '''p12.dat''':
<pre>
22 51
20 50
</pre>
Выполним команду:
<syntaxhighlight lang="bash">
$ proj -f "%f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6051515938 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p12.dat
</syntaxhighlight>
Программа выдаёт координаты первой и второй точек ''x''₁, ''y''₁ и ''x''₂, ''y''₂ в МСК:
<pre>
-0.000000 0.000000
-180292.238188 238.386305
</pre>
Координаты первой точки равны нулю, как и ожидалось. Координаты второй точки отличаются от ожидаемых −''L'' и 0. Ненулевое значение ''y''₂ говорит о том, что начальная линия проходит мимо второй точки. Значит, нужно подобрать параметр ''alpha'', чтобы исправить промах.

Численные методы отлично справляются с поиском корня уравнения ''x''₂(''alpha'') = 0. Добавим немного геометрии в задачу и будем улучшать значение параметра по формуле ''alpha''′ = ''alpha'' − arctg [(''y''₂ − ''y''₁) / (''x''₂ − ''x''₁)]. Может, это не очень эффективно, но через пять итераций при ''alpha'' = 52.6809193468 получаем такие координаты:
<pre>
-0.000000 0.000000
-180292.395746 0.000000
</pre>
Вычисляем параметр ''k_0'' по формуле ''k_0'' = −''L'' / (''x''₂ − ''x''₁) = 180300 / 180292.238188 = 1.0000421773.

Запуск '''proj''' с окончательным набором параметров:
<syntaxhighlight lang="bash">
proj -f "%f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6809193468 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p12.dat
</syntaxhighlight>
Результаты:
<pre>
-0.000 0.000
-180300.000 0.000
</pre>
Проекция построена.

== Text ==

Text

== Ссылки ==

* [http://pubs.usgs.gov/pp/1395/report.pdf Map Projections — A Working Manual, Snyder J. P., USGS Professional Paper 1395, 1987]
* [http://remotesensing.org/geotiff/proj_list/guid7.html Coordinate Conversions and Transformations including Formulas, EPSG Guidance Note 7, 2002]
* [http://remotesensing.org/geotiff/proj_list/hotine_oblique_mercator.html Hotine Oblique Mercator]
* [http://trac.osgeo.org/proj/wiki/man_proj man_proj – PROJ.4]
* [http://trac.osgeo.org/proj/wiki/man_geod man_geod – PROJ.4]
* [http://geographiclib.sourceforge.net/ GeographicLib]
* [http://gis-lab.info/qa/local-cs.html Добавление местной координатной системы в GIS]

Местная система координат линейного объекта

2014-11-21T10:52:55Z

ErnieBoyd: /* Построение проекции */

{{Статья|Черновик}}

{{Аннотация|Конструирование проекции для представления системы координат линейного объекта в ГИС}}

== Введение ==

Система координат линейного объекта строится для эксплуатации протяжённого инженерного сооружения.
Принципы построения проекции сходны с классическим подходом, изложенным в статье [http://gis-lab.info/qa/local-cs.html «Добавление местной координатной системы в GIS»].
Однако постановка задачи отличается.

== Постановка задачи ==

На оси сооружения задана линия положением двух его конечных точек в глобальной системе координат (ГСК).

Пусть в местной системе (МСК) начало координат совмещено с первой точкой, расстояние между точками задано величиной ''L'', а ось ''OX'' направлена вдоль оси сооружения наружу. В такой системе координаты второй точки будут равны ''X'' = −''L'', ''Y'' = 0.

Требуется подобрать проекцию, подходящую для представления такой МСК в ГИС.

== О проекции ==

Выбор проекции однозначен. Это косая проекция Меркатора с такими значениями параметров, чтобы так называемая начальная линия (линия наименьшего масштаба) проходила через конечные точки, а расстояние между этими точками равнялось ''L''.

Для косой проекции Меркатора задаются следующие параметры:
* широта и долгота центра проекции ''φ''₀, ''λ''₀
* азимут начальной линии ''α''
* разворот координатных осей ''γ''
* масштаб на начальной линии ''k''₀
* прямоугольные координаты в центре проекции ''x''₀, ''y''₀

Азимут начальной линии должен находиться в диапазоне −90° < ''α'' < +90°. Таким образом, если разворот ''γ'' не задан, ось ''OY'' будет направлена вдоль начальной линии в северную полуплоскость, ''OX'' в восточную.

Азимут ''α'' не может равняться 0°. Если ось направлена вдоль меридиана, выбирайте проекцию Гаусса-Крюгера. Также ''α'' не может принимать значения ±90°. Это тоже не проблема, поскольку в окрестности таких значений азимут вдоль геодезической линии меняется довольно быстро, и можно выбрать центр проекции на некотором удалении от первоначально выбранной точки.

Разворот ''γ'' первоначально вводился для компенсации начального разворота осей, чтобы вернуть оси ''OY'' направление строго на север. Для нас это великолепная возможность управлять ориентацией осей МСК произвольно.

== Определение параметров ==

Приведём данные тестового примера. Осевая линия задана положением конечных точек на эллипсоиде WGS 84: ''φ''₁ = 51° с.ш., ''λ''₁ = 22° в.д., ''φ''₂ = 50° с.ш., ''λ''₂ = 20° в.д. Расстояние вдоль оси задано длиной ''L'' = 180300 м.

Рассмотрим последовательность решения задачи с использованием '''PROJ.4'''. Вид строки параметров таков:

<pre>
+proj=omerc +lat_0=φ₀ +lonc=λ₀ +alpha=α +gamma=γ +k_0=k₀ +x_0=x₀ +y_0=y₀
</pre>

Простой подход состоит в том, чтобы поместить центр проекции в первую точку. В соответствии с постановкой задачи определяются следующие параметры:

<pre>
+lat_0=51 +lonc=22 +x_0=0 +y_0=0
</pre>

Для определения параметра ''alpha'' нужно решить обратную геодезическую задачу и найти азимут в первой точке на вторую ''α''₁₂. Здесь возможны два случая:
* вторая точка севернее первой, −90° < ''α''₁₂ < +90°; ''alpha'' = ''α''₁₂
* вторая точка южнее первой, 90° < ''α''₁₂ < 270°; ''alpha'' = ''α''₁₂ − 180°

Поскольку поставлена задача направить ось ''OX'' вдоль начальной линии в противоположную сторону от второй точки, параметру ''gamma'' присвоим значение −90° в первом случае и +90° во втором.

Значение параметра ''k_0'' также можно оценить по результатам решения обратной геодезической задачи: ''k_0'' = ''L'' / ''S'', где ''L'' — заданная длина линии, ''S'' — длина геодезической из решения ОГЗ.

=== Решение обратной геодезической задачи ===

Итак, из решения ОГЗ мы хотим получить азимут ''α''₁₂ и расстояние ''S'', нужные для определения параметров ''alpha'' и ''k_0'' соответственно.

Пикантность ситуации придаёт тот факт, что на эллипсоиде через две точки проходит геодезическая линия, которая в блестящей математике косой проекции сэра Мартина Хотина отображается в кривую на апосфере, не совпадающую с дугой большого круга. Расчёты показывают, что вследствие этого точность соответствия ''alpha'' = ''α''₁₂ и ''k_0'' = ''L'' / ''S'' при расстояниях в несколько десятков километров перестаёт удовлетворять геодезии.

Впрочем, многие объекты имеют скромные размеры «всего» в несколько километров, и для них это неприятное обстоятельство имеет исключительно теоретическое значение.

Однако есть ещё одно обстоятельство. Утилита '''geod''' из пакета '''PROJ.4''' версии 4.9.0 будет решать геодезические задачи на эллипсоиде, используя библиотеку '''GeographicLib'''. Но сегодня в ходу '''PROJ.4''' версии 4.8.0, и '''geod''' умеет считать только для сферы.

Так или иначе, надо научиться обходиться подручными средствами.

Подготовим файл данных с координатами конечных пунктов '''inv.dat''':
<pre>
51N 22E 50N 20E
</pre>
и решим ОГЗ:
<syntaxhighlight lang="bash">
$ geod -I -f "%.10f" -F "%f" +ellps=WGS84 +units=m inv.dat
</syntaxhighlight>
Возможно, в следующей версии '''PROJ.4''' результатом этой команды будет решение на эллипсоиде. Сегодня же из решения на сфере радиусом, равным экваториальному радиусу эллипсоида WGS 84, получилась такая строка значений ''α''₁₂, ''α''₂₁, ''S'':
<pre>
-127.3948484062 51.0617802663 180119.673397
</pre>

=== Построение проекции ===

По результатам решения ОГЗ построим черновую проекцию. Поскольку ''φ''₂ < ''φ''₁, имеет место второй вариант; примем ''alpha'' = ''α''₁₂ + 180° = 52.6051515938°, ''gamma'' = +90°. Масштабный коэффициент пока приравняем единице: ''k_0'' = 1. Получен предварительный набор параметров:
<pre>
+proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6051515938 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0
</pre>
Подготовим файл с координатами конечных точек '''p12.dat''':
<pre>
22 51
20 50
</pre>
Выполним команду:
<syntaxhighlight lang="bash">
$ proj -f "%f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6051515938 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p12.dat
</syntaxhighlight>
Программа выдаёт координаты первой и второй точек ''x''₁, ''y''₁ и ''x''₂, ''y''₂ в МСК:
<pre>
-0.000000 0.000000
-180292.238188 238.386305
</pre>
Координаты первой точки равны нулю, как и ожидалось. Координаты второй точки отличаются от ожидаемых −''L'' и 0. Ненулевое значение ''y''₂ говорит о том, что начальная линия проходит мимо второй точки. Значит, нужно подобрать параметр ''alpha'', чтобы исправить промах.

Численные методы отлично справляются с поиском корня уравнения ''x''₂(''alpha'') = 0. Добавим немного геометрии в задачу и будем улучшать значение параметра по формуле ''alpha''′ = ''alpha'' − arctg [(''y''₂ − ''y''₁) / (''x''₂ − ''x''₁)]. Может, это не очень эффективно, но через пять итераций при ''alpha'' = 52.6809193468 получаем такие координаты:
<pre>
-0.000000 0.000000
-180292.395746 0.000000
</pre>
Вычисляем параметр ''k_0'' по формуле ''k_0'' = −''L'' / |''x''₂ − ''x''₁| = 180300 / 180292.238188 = 1.0000421773.

Запуск '''proj''' с окончательным набором параметров:
<syntaxhighlight lang="bash">
proj -f "%f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6809193468 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p12.dat
</syntaxhighlight>
Результаты:
<pre>
-0.000 0.000
-180300.000 0.000
</pre>
Проекция построена.

== Text ==

Text

== Ссылки ==

* [http://pubs.usgs.gov/pp/1395/report.pdf Map Projections — A Working Manual, Snyder J. P., USGS Professional Paper 1395, 1987]
* [http://remotesensing.org/geotiff/proj_list/guid7.html Coordinate Conversions and Transformations including Formulas, EPSG Guidance Note 7, 2002]
* [http://remotesensing.org/geotiff/proj_list/hotine_oblique_mercator.html Hotine Oblique Mercator]
* [http://trac.osgeo.org/proj/wiki/man_proj man_proj – PROJ.4]
* [http://trac.osgeo.org/proj/wiki/man_geod man_geod – PROJ.4]
* [http://geographiclib.sourceforge.net/ GeographicLib]
* [http://gis-lab.info/qa/local-cs.html Добавление местной координатной системы в GIS]

Местная система координат линейного объекта

2014-11-21T10:50:27Z

ErnieBoyd: /* Построение проекции */

{{Статья|Черновик}}

{{Аннотация|Конструирование проекции для представления системы координат линейного объекта в ГИС}}

== Введение ==

Система координат линейного объекта строится для эксплуатации протяжённого инженерного сооружения.
Принципы построения проекции сходны с классическим подходом, изложенным в статье [http://gis-lab.info/qa/local-cs.html «Добавление местной координатной системы в GIS»].
Однако постановка задачи отличается.

== Постановка задачи ==

На оси сооружения задана линия положением двух его конечных точек в глобальной системе координат (ГСК).

Пусть в местной системе (МСК) начало координат совмещено с первой точкой, расстояние между точками задано величиной ''L'', а ось ''OX'' направлена вдоль оси сооружения наружу. В такой системе координаты второй точки будут равны ''X'' = −''L'', ''Y'' = 0.

Требуется подобрать проекцию, подходящую для представления такой МСК в ГИС.

== О проекции ==

Выбор проекции однозначен. Это косая проекция Меркатора с такими значениями параметров, чтобы так называемая начальная линия (линия наименьшего масштаба) проходила через конечные точки, а расстояние между этими точками равнялось ''L''.

Для косой проекции Меркатора задаются следующие параметры:
* широта и долгота центра проекции ''φ''₀, ''λ''₀
* азимут начальной линии ''α''
* разворот координатных осей ''γ''
* масштаб на начальной линии ''k''₀
* прямоугольные координаты в центре проекции ''x''₀, ''y''₀

Азимут начальной линии должен находиться в диапазоне −90° < ''α'' < +90°. Таким образом, если разворот ''γ'' не задан, ось ''OY'' будет направлена вдоль начальной линии в северную полуплоскость, ''OX'' в восточную.

Азимут ''α'' не может равняться 0°. Если ось направлена вдоль меридиана, выбирайте проекцию Гаусса-Крюгера. Также ''α'' не может принимать значения ±90°. Это тоже не проблема, поскольку в окрестности таких значений азимут вдоль геодезической линии меняется довольно быстро, и можно выбрать центр проекции на некотором удалении от первоначально выбранной точки.

Разворот ''γ'' первоначально вводился для компенсации начального разворота осей, чтобы вернуть оси ''OY'' направление строго на север. Для нас это великолепная возможность управлять ориентацией осей МСК произвольно.

== Определение параметров ==

Приведём данные тестового примера. Осевая линия задана положением конечных точек на эллипсоиде WGS 84: ''φ''₁ = 51° с.ш., ''λ''₁ = 22° в.д., ''φ''₂ = 50° с.ш., ''λ''₂ = 20° в.д. Расстояние вдоль оси задано длиной ''L'' = 180300 м.

Рассмотрим последовательность решения задачи с использованием '''PROJ.4'''. Вид строки параметров таков:

<pre>
+proj=omerc +lat_0=φ₀ +lonc=λ₀ +alpha=α +gamma=γ +k_0=k₀ +x_0=x₀ +y_0=y₀
</pre>

Простой подход состоит в том, чтобы поместить центр проекции в первую точку. В соответствии с постановкой задачи определяются следующие параметры:

<pre>
+lat_0=51 +lonc=22 +x_0=0 +y_0=0
</pre>

Для определения параметра ''alpha'' нужно решить обратную геодезическую задачу и найти азимут в первой точке на вторую ''α''₁₂. Здесь возможны два случая:
* вторая точка севернее первой, −90° < ''α''₁₂ < +90°; ''alpha'' = ''α''₁₂
* вторая точка южнее первой, 90° < ''α''₁₂ < 270°; ''alpha'' = ''α''₁₂ − 180°

Поскольку поставлена задача направить ось ''OX'' вдоль начальной линии в противоположную сторону от второй точки, параметру ''gamma'' присвоим значение −90° в первом случае и +90° во втором.

Значение параметра ''k_0'' также можно оценить по результатам решения обратной геодезической задачи: ''k_0'' = ''L'' / ''S'', где ''L'' — заданная длина линии, ''S'' — длина геодезической из решения ОГЗ.

=== Решение обратной геодезической задачи ===

Итак, из решения ОГЗ мы хотим получить азимут ''α''₁₂ и расстояние ''S'', нужные для определения параметров ''alpha'' и ''k_0'' соответственно.

Пикантность ситуации придаёт тот факт, что на эллипсоиде через две точки проходит геодезическая линия, которая в блестящей математике косой проекции сэра Мартина Хотина отображается в кривую на апосфере, не совпадающую с дугой большого круга. Расчёты показывают, что вследствие этого точность соответствия ''alpha'' = ''α''₁₂ и ''k_0'' = ''L'' / ''S'' при расстояниях в несколько десятков километров перестаёт удовлетворять геодезии.

Впрочем, многие объекты имеют скромные размеры «всего» в несколько километров, и для них это неприятное обстоятельство имеет исключительно теоретическое значение.

Однако есть ещё одно обстоятельство. Утилита '''geod''' из пакета '''PROJ.4''' версии 4.9.0 будет решать геодезические задачи на эллипсоиде, используя библиотеку '''GeographicLib'''. Но сегодня в ходу '''PROJ.4''' версии 4.8.0, и '''geod''' умеет считать только для сферы.

Так или иначе, надо научиться обходиться подручными средствами.

Подготовим файл данных с координатами конечных пунктов '''inv.dat''':
<pre>
51N 22E 50N 20E
</pre>
и решим ОГЗ:
<syntaxhighlight lang="bash">
$ geod -I -f "%.10f" -F "%f" +ellps=WGS84 +units=m inv.dat
</syntaxhighlight>
Возможно, в следующей версии '''PROJ.4''' результатом этой команды будет решение на эллипсоиде. Сегодня же из решения на сфере радиусом, равным экваториальному радиусу эллипсоида WGS 84, получилась такая строка значений ''α''₁₂, ''α''₂₁, ''S'':
<pre>
-127.3948484062 51.0617802663 180119.673397
</pre>

=== Построение проекции ===

По результатам решения ОГЗ построим черновую проекцию. Поскольку ''φ''₂ < ''φ''₁, имеет место второй вариант; примем ''alpha'' = ''α''₁₂ + 180° = 52.6051515938°, ''gamma'' = +90°. Масштабный коэффициент пока приравняем единице: ''k_0'' = 1. Получен предварительный набор параметров:
<pre>
+proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6051515938 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0
</pre>
Подготовим файл с координатами конечных точек '''p12.dat''':
<pre>
22 51
20 50
</pre>
Выполним команду:
<syntaxhighlight lang="bash">
$ proj -f "%f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6051515938 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p12.dat
</syntaxhighlight>
Программа выдаёт координаты первой и второй точек ''x''₁, ''y''₁ и ''x''₂, ''y''₂ в МСК:
<pre>
-0.000000 0.000000
-180292.238188 238.386305
</pre>
Координаты первой точки равны нулю, как и ожидалось. Координаты второй точки отличаются от ожидаемых −''L'' и 0. Ненулевое значение ''y''₂ говорит о том, что начальная линия проходит мимо второй точки. Значит, нужно подобрать параметр ''alpha'', чтобы исправить промах.

Матметоды отлично справляются с поиском корня уравнения ''x''₂(''alpha'') = 0. Добавим немного геометрии в задачу и будем улучшать значение параметра по формуле ''alpha''′ = ''alpha'' − arctg [(''y''₂ − ''y''₁) / (''x''₂ − ''x''₁)]. Может, это не очень эффективно, но через пять итераций при ''alpha'' = 52.6809193468 получаем
<pre>
-0.000000 0.000000
-180292.395746 0.000000
</pre>
Вычисляем параметр ''k_0'' по формуле ''k_0'' = −''L'' / |''x''₂ − ''x''₁| = 180300 / 180292.238188 = 1.0000421773.

Запуск '''proj''' с окончательным набором параметров:
<syntaxhighlight lang="bash">
proj -f "%f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6809193468 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p12.dat
</syntaxhighlight>
Результаты:
<pre>
-0.000 0.000
-180300.000 0.000
</pre>
Проекция построена.

== Text ==

Text

== Ссылки ==

* [http://pubs.usgs.gov/pp/1395/report.pdf Map Projections — A Working Manual, Snyder J. P., USGS Professional Paper 1395, 1987]
* [http://remotesensing.org/geotiff/proj_list/guid7.html Coordinate Conversions and Transformations including Formulas, EPSG Guidance Note 7, 2002]
* [http://remotesensing.org/geotiff/proj_list/hotine_oblique_mercator.html Hotine Oblique Mercator]
* [http://trac.osgeo.org/proj/wiki/man_proj man_proj – PROJ.4]
* [http://trac.osgeo.org/proj/wiki/man_geod man_geod – PROJ.4]
* [http://geographiclib.sourceforge.net/ GeographicLib]
* [http://gis-lab.info/qa/local-cs.html Добавление местной координатной системы в GIS]

Местная система координат линейного объекта

2014-11-21T10:46:10Z

ErnieBoyd: /* Построение проекции */

{{Статья|Черновик}}

{{Аннотация|Конструирование проекции для представления системы координат линейного объекта в ГИС}}

== Введение ==

Система координат линейного объекта строится для эксплуатации протяжённого инженерного сооружения.
Принципы построения проекции сходны с классическим подходом, изложенным в статье [http://gis-lab.info/qa/local-cs.html «Добавление местной координатной системы в GIS»].
Однако постановка задачи отличается.

== Постановка задачи ==

На оси сооружения задана линия положением двух его конечных точек в глобальной системе координат (ГСК).

Пусть в местной системе (МСК) начало координат совмещено с первой точкой, расстояние между точками задано величиной ''L'', а ось ''OX'' направлена вдоль оси сооружения наружу. В такой системе координаты второй точки будут равны ''X'' = −''L'', ''Y'' = 0.

Требуется подобрать проекцию, подходящую для представления такой МСК в ГИС.

== О проекции ==

Выбор проекции однозначен. Это косая проекция Меркатора с такими значениями параметров, чтобы так называемая начальная линия (линия наименьшего масштаба) проходила через конечные точки, а расстояние между этими точками равнялось ''L''.

Для косой проекции Меркатора задаются следующие параметры:
* широта и долгота центра проекции ''φ''₀, ''λ''₀
* азимут начальной линии ''α''
* разворот координатных осей ''γ''
* масштаб на начальной линии ''k''₀
* прямоугольные координаты в центре проекции ''x''₀, ''y''₀

Азимут начальной линии должен находиться в диапазоне −90° < ''α'' < +90°. Таким образом, если разворот ''γ'' не задан, ось ''OY'' будет направлена вдоль начальной линии в северную полуплоскость, ''OX'' в восточную.

Азимут ''α'' не может равняться 0°. Если ось направлена вдоль меридиана, выбирайте проекцию Гаусса-Крюгера. Также ''α'' не может принимать значения ±90°. Это тоже не проблема, поскольку в окрестности таких значений азимут вдоль геодезической линии меняется довольно быстро, и можно выбрать центр проекции на некотором удалении от первоначально выбранной точки.

Разворот ''γ'' первоначально вводился для компенсации начального разворота осей, чтобы вернуть оси ''OY'' направление строго на север. Для нас это великолепная возможность управлять ориентацией осей МСК произвольно.

== Определение параметров ==

Приведём данные тестового примера. Осевая линия задана положением конечных точек на эллипсоиде WGS 84: ''φ''₁ = 51° с.ш., ''λ''₁ = 22° в.д., ''φ''₂ = 50° с.ш., ''λ''₂ = 20° в.д. Расстояние вдоль оси задано длиной ''L'' = 180300 м.

Рассмотрим последовательность решения задачи с использованием '''PROJ.4'''. Вид строки параметров таков:

<pre>
+proj=omerc +lat_0=φ₀ +lonc=λ₀ +alpha=α +gamma=γ +k_0=k₀ +x_0=x₀ +y_0=y₀
</pre>

Простой подход состоит в том, чтобы поместить центр проекции в первую точку. В соответствии с постановкой задачи определяются следующие параметры:

<pre>
+lat_0=51 +lonc=22 +x_0=0 +y_0=0
</pre>

Для определения параметра ''alpha'' нужно решить обратную геодезическую задачу и найти азимут в первой точке на вторую ''α''₁₂. Здесь возможны два случая:
* вторая точка севернее первой, −90° < ''α''₁₂ < +90°; ''alpha'' = ''α''₁₂
* вторая точка южнее первой, 90° < ''α''₁₂ < 270°; ''alpha'' = ''α''₁₂ − 180°

Поскольку поставлена задача направить ось ''OX'' вдоль начальной линии в противоположную сторону от второй точки, параметру ''gamma'' присвоим значение −90° в первом случае и +90° во втором.

Значение параметра ''k_0'' также можно оценить по результатам решения обратной геодезической задачи: ''k_0'' = ''L'' / ''S'', где ''L'' — заданная длина линии, ''S'' — длина геодезической из решения ОГЗ.

=== Решение обратной геодезической задачи ===

Итак, из решения ОГЗ мы хотим получить азимут ''α''₁₂ и расстояние ''S'', нужные для определения параметров ''alpha'' и ''k_0'' соответственно.

Пикантность ситуации придаёт тот факт, что на эллипсоиде через две точки проходит геодезическая линия, которая в блестящей математике косой проекции сэра Мартина Хотина отображается в кривую на апосфере, не совпадающую с дугой большого круга. Расчёты показывают, что вследствие этого точность соответствия ''alpha'' = ''α''₁₂ и ''k_0'' = ''L'' / ''S'' при расстояниях в несколько десятков километров перестаёт удовлетворять геодезии.

Впрочем, многие объекты имеют скромные размеры «всего» в несколько километров, и для них это неприятное обстоятельство имеет исключительно теоретическое значение.

Однако есть ещё одно обстоятельство. Утилита '''geod''' из пакета '''PROJ.4''' версии 4.9.0 будет решать геодезические задачи на эллипсоиде, используя библиотеку '''GeographicLib'''. Но сегодня в ходу '''PROJ.4''' версии 4.8.0, и '''geod''' умеет считать только для сферы.

Так или иначе, надо научиться обходиться подручными средствами.

Подготовим файл данных с координатами конечных пунктов '''inv.dat''':
<pre>
51N 22E 50N 20E
</pre>
и решим ОГЗ:
<syntaxhighlight lang="bash">
$ geod -I -f "%.10f" -F "%f" +ellps=WGS84 +units=m inv.dat
</syntaxhighlight>
Возможно, в следующей версии '''PROJ.4''' результатом этой команды будет решение на эллипсоиде. Сегодня же из решения на сфере радиусом, равным экваториальному радиусу эллипсоида WGS 84, получилась такая строка значений ''α''₁₂, ''α''₂₁, ''S'':
<pre>
-127.3948484062 51.0617802663 180119.673397
</pre>

=== Построение проекции ===

По результатам решения ОГЗ построим черновую проекцию. Поскольку ''φ''₂ < ''φ''₁, имеет место второй вариант; примем ''alpha'' = ''α''₁₂ + 180° = 52.6051515938°, ''gamma'' = +90°. Масштабный коэффициент пока приравняем единице: ''k_0'' = 1. Получен предварительный набор параметров:
<pre>
+proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6051515938 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0
</pre>
Подготовим файл с координатами конечных точек '''p12.dat''':
<pre>
22 51
20 50
</pre>
Выполним команду:
<syntaxhighlight lang="bash">
$ proj -f "%f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6051515938 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p12.dat
</syntaxhighlight>
Программа выдаёт координаты первой и второй точек ''x''₁, ''y''₁ и ''x''₂, ''y''₂ в МСК:
<pre>
-0.000000 0.000000
-180292.238188 238.386305
</pre>
Координаты первой точки равны нулю, как и ожидалось. Координаты второй точки отличаются от ожидаемых −''L'' и 0. Ненулевое значение ''y''₂ говорит о том, что начальная линия проходит мимо второй точки. Значит, нужно подобрать параметр ''alpha'', чтобы исправить промах.

Матметоды отлично справляются с поиском корня уравнения ''x''₂(''alpha'') = 0. Добавим немного геометрии в задачу и будем улучшать значение параметра по формуле ''alpha''′ = ''alpha'' − arctg [(''y''₂ − ''y''₁) / (''x''₂ − ''x''₁)]. Может, это не очень эффективно, но через пять итераций при ''alpha'' = 52.6809193468 получаем
<pre>
-0.000000 0.000000
-180292.395746 0.000000
</pre>
Вычисляем параметр ''k_0'' по формуле ''k_0'' = −''L'' / |''x''₂ − ''x''₁| = 180300 / 180292.238188 = 1.0000421773.

Запуск '''proj''' с окончательным набором параметров:
<syntaxhighlight lang="bash">
proj -f "%f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6809193468 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p12.dat
</syntaxhighlight>
Результаты:
<pre>
-0.000 0.000
-180300.000 0.000
</pre>

== Text ==

Text

== Ссылки ==

* [http://pubs.usgs.gov/pp/1395/report.pdf Map Projections — A Working Manual, Snyder J. P., USGS Professional Paper 1395, 1987]
* [http://remotesensing.org/geotiff/proj_list/guid7.html Coordinate Conversions and Transformations including Formulas, EPSG Guidance Note 7, 2002]
* [http://remotesensing.org/geotiff/proj_list/hotine_oblique_mercator.html Hotine Oblique Mercator]
* [http://trac.osgeo.org/proj/wiki/man_proj man_proj – PROJ.4]
* [http://trac.osgeo.org/proj/wiki/man_geod man_geod – PROJ.4]
* [http://geographiclib.sourceforge.net/ GeographicLib]
* [http://gis-lab.info/qa/local-cs.html Добавление местной координатной системы в GIS]

Местная система координат линейного объекта

2014-11-21T10:42:16Z

ErnieBoyd: /* Построение проекции */

{{Статья|Черновик}}

{{Аннотация|Конструирование проекции для представления системы координат линейного объекта в ГИС}}

== Введение ==

Система координат линейного объекта строится для эксплуатации протяжённого инженерного сооружения.
Принципы построения проекции сходны с классическим подходом, изложенным в статье [http://gis-lab.info/qa/local-cs.html «Добавление местной координатной системы в GIS»].
Однако постановка задачи отличается.

== Постановка задачи ==

На оси сооружения задана линия положением двух его конечных точек в глобальной системе координат (ГСК).

Пусть в местной системе (МСК) начало координат совмещено с первой точкой, расстояние между точками задано величиной ''L'', а ось ''OX'' направлена вдоль оси сооружения наружу. В такой системе координаты второй точки будут равны ''X'' = −''L'', ''Y'' = 0.

Требуется подобрать проекцию, подходящую для представления такой МСК в ГИС.

== О проекции ==

Выбор проекции однозначен. Это косая проекция Меркатора с такими значениями параметров, чтобы так называемая начальная линия (линия наименьшего масштаба) проходила через конечные точки, а расстояние между этими точками равнялось ''L''.

Для косой проекции Меркатора задаются следующие параметры:
* широта и долгота центра проекции ''φ''₀, ''λ''₀
* азимут начальной линии ''α''
* разворот координатных осей ''γ''
* масштаб на начальной линии ''k''₀
* прямоугольные координаты в центре проекции ''x''₀, ''y''₀

Азимут начальной линии должен находиться в диапазоне −90° < ''α'' < +90°. Таким образом, если разворот ''γ'' не задан, ось ''OY'' будет направлена вдоль начальной линии в северную полуплоскость, ''OX'' в восточную.

Азимут ''α'' не может равняться 0°. Если ось направлена вдоль меридиана, выбирайте проекцию Гаусса-Крюгера. Также ''α'' не может принимать значения ±90°. Это тоже не проблема, поскольку в окрестности таких значений азимут вдоль геодезической линии меняется довольно быстро, и можно выбрать центр проекции на некотором удалении от первоначально выбранной точки.

Разворот ''γ'' первоначально вводился для компенсации начального разворота осей, чтобы вернуть оси ''OY'' направление строго на север. Для нас это великолепная возможность управлять ориентацией осей МСК произвольно.

== Определение параметров ==

Приведём данные тестового примера. Осевая линия задана положением конечных точек на эллипсоиде WGS 84: ''φ''₁ = 51° с.ш., ''λ''₁ = 22° в.д., ''φ''₂ = 50° с.ш., ''λ''₂ = 20° в.д. Расстояние вдоль оси задано длиной ''L'' = 180300 м.

Рассмотрим последовательность решения задачи с использованием '''PROJ.4'''. Вид строки параметров таков:

<pre>
+proj=omerc +lat_0=φ₀ +lonc=λ₀ +alpha=α +gamma=γ +k_0=k₀ +x_0=x₀ +y_0=y₀
</pre>

Простой подход состоит в том, чтобы поместить центр проекции в первую точку. В соответствии с постановкой задачи определяются следующие параметры:

<pre>
+lat_0=51 +lonc=22 +x_0=0 +y_0=0
</pre>

Для определения параметра ''alpha'' нужно решить обратную геодезическую задачу и найти азимут в первой точке на вторую ''α''₁₂. Здесь возможны два случая:
* вторая точка севернее первой, −90° < ''α''₁₂ < +90°; ''alpha'' = ''α''₁₂
* вторая точка южнее первой, 90° < ''α''₁₂ < 270°; ''alpha'' = ''α''₁₂ − 180°

Поскольку поставлена задача направить ось ''OX'' вдоль начальной линии в противоположную сторону от второй точки, параметру ''gamma'' присвоим значение −90° в первом случае и +90° во втором.

Значение параметра ''k_0'' также можно оценить по результатам решения обратной геодезической задачи: ''k_0'' = ''L'' / ''S'', где ''L'' — заданная длина линии, ''S'' — длина геодезической из решения ОГЗ.

=== Решение обратной геодезической задачи ===

Итак, из решения ОГЗ мы хотим получить азимут ''α''₁₂ и расстояние ''S'', нужные для определения параметров ''alpha'' и ''k_0'' соответственно.

Пикантность ситуации придаёт тот факт, что на эллипсоиде через две точки проходит геодезическая линия, которая в блестящей математике косой проекции сэра Мартина Хотина отображается в кривую на апосфере, не совпадающую с дугой большого круга. Расчёты показывают, что вследствие этого точность соответствия ''alpha'' = ''α''₁₂ и ''k_0'' = ''L'' / ''S'' при расстояниях в несколько десятков километров перестаёт удовлетворять геодезии.

Впрочем, многие объекты имеют скромные размеры «всего» в несколько километров, и для них это неприятное обстоятельство имеет исключительно теоретическое значение.

Однако есть ещё одно обстоятельство. Утилита '''geod''' из пакета '''PROJ.4''' версии 4.9.0 будет решать геодезические задачи на эллипсоиде, используя библиотеку '''GeographicLib'''. Но сегодня в ходу '''PROJ.4''' версии 4.8.0, и '''geod''' умеет считать только для сферы.

Так или иначе, надо научиться обходиться подручными средствами.

Подготовим файл данных с координатами конечных пунктов '''inv.dat''':
<pre>
51N 22E 50N 20E
</pre>
и решим ОГЗ:
<syntaxhighlight lang="bash">
$ geod -I -f "%.10f" -F "%f" +ellps=WGS84 +units=m inv.dat
</syntaxhighlight>
Возможно, в следующей версии '''PROJ.4''' результатом этой команды будет решение на эллипсоиде. Сегодня же из решения на сфере радиусом, равным экваториальному радиусу эллипсоида WGS 84, получилась такая строка значений ''α''₁₂, ''α''₂₁, ''S'':
<pre>
-127.3948484062 51.0617802663 180119.673397
</pre>

=== Построение проекции ===

По результатам решения ОГЗ построим черновую проекцию. Поскольку ''φ''₂ < ''φ''₁, имеет место второй вариант; примем ''alpha'' = ''α''₁₂ + 180° = 52.6051515938°, ''gamma'' = +90°. Масштабный коэффициент пока приравняем единице: ''k_0'' = 1. Получен предварительный набор параметров:
<pre>
+proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6051515938 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0
</pre>
Подготовим файл с координатами конечных точек '''p12.dat''':
<pre>
22 51
20 50
</pre>
Выполним команду:
<syntaxhighlight lang="bash">
$ proj -f "%f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6051515938 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p12.dat
</syntaxhighlight>
Программа выдаёт координаты первой и второй точек ''x''₁, ''y''₁ и ''x''₂, ''y''₂ в МСК:
<pre>
-0.000000 0.000000
-180292.238188 238.386305
</pre>
Координаты первой точки равны нулю, как и ожидалось. Координаты второй точки отличаются от ожидаемых −''L'' и 0. Ненулевое значение ''y''₂ говорит о том, что начальная линия проходит мимо второй точки. Значит, нужно подобрать параметр ''alpha'', чтобы исправить промах.

Матметоды отлично справляются с поиском корня уравнения ''x''₂(''alpha'') = 0. Добавим немного геометрии в задачу и будем улучшать значение параметра по формуле ''alpha''′ = ''alpha'' − arctg [(''y''₂ − ''y''₁) / (''x''₂ − ''x''₁)]. Может, это не очень эффективно, но через пять итераций при ''alpha'' = 52.6809193468 получаем
<pre>
-0.000000 0.000000
-180292.395746 0.000000
</pre>
Вычисляем параметр ''k_0'' по формуле ''k_0'' = −''L'' / |''x''₂ − ''x''₁| = 180300 / 180292.238188 = 1.0000421773.

== Text ==

Text

== Ссылки ==

* [http://pubs.usgs.gov/pp/1395/report.pdf Map Projections — A Working Manual, Snyder J. P., USGS Professional Paper 1395, 1987]
* [http://remotesensing.org/geotiff/proj_list/guid7.html Coordinate Conversions and Transformations including Formulas, EPSG Guidance Note 7, 2002]
* [http://remotesensing.org/geotiff/proj_list/hotine_oblique_mercator.html Hotine Oblique Mercator]
* [http://trac.osgeo.org/proj/wiki/man_proj man_proj – PROJ.4]
* [http://trac.osgeo.org/proj/wiki/man_geod man_geod – PROJ.4]
* [http://geographiclib.sourceforge.net/ GeographicLib]
* [http://gis-lab.info/qa/local-cs.html Добавление местной координатной системы в GIS]

Местная система координат линейного объекта

2014-11-21T10:41:39Z

ErnieBoyd: /* Построение проекции */

{{Статья|Черновик}}

{{Аннотация|Конструирование проекции для представления системы координат линейного объекта в ГИС}}

== Введение ==

Система координат линейного объекта строится для эксплуатации протяжённого инженерного сооружения.
Принципы построения проекции сходны с классическим подходом, изложенным в статье [http://gis-lab.info/qa/local-cs.html «Добавление местной координатной системы в GIS»].
Однако постановка задачи отличается.

== Постановка задачи ==

На оси сооружения задана линия положением двух его конечных точек в глобальной системе координат (ГСК).

Пусть в местной системе (МСК) начало координат совмещено с первой точкой, расстояние между точками задано величиной ''L'', а ось ''OX'' направлена вдоль оси сооружения наружу. В такой системе координаты второй точки будут равны ''X'' = −''L'', ''Y'' = 0.

Требуется подобрать проекцию, подходящую для представления такой МСК в ГИС.

== О проекции ==

Выбор проекции однозначен. Это косая проекция Меркатора с такими значениями параметров, чтобы так называемая начальная линия (линия наименьшего масштаба) проходила через конечные точки, а расстояние между этими точками равнялось ''L''.

Для косой проекции Меркатора задаются следующие параметры:
* широта и долгота центра проекции ''φ''₀, ''λ''₀
* азимут начальной линии ''α''
* разворот координатных осей ''γ''
* масштаб на начальной линии ''k''₀
* прямоугольные координаты в центре проекции ''x''₀, ''y''₀

Азимут начальной линии должен находиться в диапазоне −90° < ''α'' < +90°. Таким образом, если разворот ''γ'' не задан, ось ''OY'' будет направлена вдоль начальной линии в северную полуплоскость, ''OX'' в восточную.

Азимут ''α'' не может равняться 0°. Если ось направлена вдоль меридиана, выбирайте проекцию Гаусса-Крюгера. Также ''α'' не может принимать значения ±90°. Это тоже не проблема, поскольку в окрестности таких значений азимут вдоль геодезической линии меняется довольно быстро, и можно выбрать центр проекции на некотором удалении от первоначально выбранной точки.

Разворот ''γ'' первоначально вводился для компенсации начального разворота осей, чтобы вернуть оси ''OY'' направление строго на север. Для нас это великолепная возможность управлять ориентацией осей МСК произвольно.

== Определение параметров ==

Приведём данные тестового примера. Осевая линия задана положением конечных точек на эллипсоиде WGS 84: ''φ''₁ = 51° с.ш., ''λ''₁ = 22° в.д., ''φ''₂ = 50° с.ш., ''λ''₂ = 20° в.д. Расстояние вдоль оси задано длиной ''L'' = 180300 м.

Рассмотрим последовательность решения задачи с использованием '''PROJ.4'''. Вид строки параметров таков:

<pre>
+proj=omerc +lat_0=φ₀ +lonc=λ₀ +alpha=α +gamma=γ +k_0=k₀ +x_0=x₀ +y_0=y₀
</pre>

Простой подход состоит в том, чтобы поместить центр проекции в первую точку. В соответствии с постановкой задачи определяются следующие параметры:

<pre>
+lat_0=51 +lonc=22 +x_0=0 +y_0=0
</pre>

Для определения параметра ''alpha'' нужно решить обратную геодезическую задачу и найти азимут в первой точке на вторую ''α''₁₂. Здесь возможны два случая:
* вторая точка севернее первой, −90° < ''α''₁₂ < +90°; ''alpha'' = ''α''₁₂
* вторая точка южнее первой, 90° < ''α''₁₂ < 270°; ''alpha'' = ''α''₁₂ − 180°

Поскольку поставлена задача направить ось ''OX'' вдоль начальной линии в противоположную сторону от второй точки, параметру ''gamma'' присвоим значение −90° в первом случае и +90° во втором.

Значение параметра ''k_0'' также можно оценить по результатам решения обратной геодезической задачи: ''k_0'' = ''L'' / ''S'', где ''L'' — заданная длина линии, ''S'' — длина геодезической из решения ОГЗ.

=== Решение обратной геодезической задачи ===

Итак, из решения ОГЗ мы хотим получить азимут ''α''₁₂ и расстояние ''S'', нужные для определения параметров ''alpha'' и ''k_0'' соответственно.

Пикантность ситуации придаёт тот факт, что на эллипсоиде через две точки проходит геодезическая линия, которая в блестящей математике косой проекции сэра Мартина Хотина отображается в кривую на апосфере, не совпадающую с дугой большого круга. Расчёты показывают, что вследствие этого точность соответствия ''alpha'' = ''α''₁₂ и ''k_0'' = ''L'' / ''S'' при расстояниях в несколько десятков километров перестаёт удовлетворять геодезии.

Впрочем, многие объекты имеют скромные размеры «всего» в несколько километров, и для них это неприятное обстоятельство имеет исключительно теоретическое значение.

Однако есть ещё одно обстоятельство. Утилита '''geod''' из пакета '''PROJ.4''' версии 4.9.0 будет решать геодезические задачи на эллипсоиде, используя библиотеку '''GeographicLib'''. Но сегодня в ходу '''PROJ.4''' версии 4.8.0, и '''geod''' умеет считать только для сферы.

Так или иначе, надо научиться обходиться подручными средствами.

Подготовим файл данных с координатами конечных пунктов '''inv.dat''':
<pre>
51N 22E 50N 20E
</pre>
и решим ОГЗ:
<syntaxhighlight lang="bash">
$ geod -I -f "%.10f" -F "%f" +ellps=WGS84 +units=m inv.dat
</syntaxhighlight>
Возможно, в следующей версии '''PROJ.4''' результатом этой команды будет решение на эллипсоиде. Сегодня же из решения на сфере радиусом, равным экваториальному радиусу эллипсоида WGS 84, получилась такая строка значений ''α''₁₂, ''α''₂₁, ''S'':
<pre>
-127.3948484062 51.0617802663 180119.673397
</pre>

=== Построение проекции ===

По результатам решения ОГЗ построим черновую проекцию. Поскольку ''φ''₂ < ''φ''₁, имеет место второй вариант; примем ''alpha'' = ''α''₁₂ + 180° = 52.6051515938°, ''gamma'' = +90°. Масштабный коэффициент пока приравняем единице: ''k_0'' = 1. Получен предварительный набор параметров:
<pre>
+proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6051515938 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0
</pre>
Подготовим файл с координатами конечных точек '''p12.dat''':
<pre>
22 51
20 50
</pre>
Выполним команду:
<syntaxhighlight lang="bash">
$ proj -f "%f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6051515938 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p12.dat
</syntaxhighlight>
Программа выдаёт координаты первой и второй точек ''x''₁, ''y''₁ и ''x''₂, ''y''₂ в МСК:
<pre>
-0.000000 0.000000
-180292.238188 238.386305
</pre>
Координаты первой точки равны нулю, как и ожидалось. Координаты второй точки отличаются от ожидаемых −''L'' и 0. Ненулевое значение ''y''₂ говорит о том, что начальная линия проходит мимо второй точки. Значит, нужно подобрать параметр ''alpha'', чтобы исправить промах.

Матметоды отлично справляются с поиском корня уравнения ''x''₂(''alpha'') = 0. Однако можно добавить немножко геометрии в задачу и улучшать значение параметра по формуле ''alpha''′ = ''alpha'' − arctg [(''y''₂ − ''y''₁) / (''x''₂ − ''x''₁)]. Может, это не очень эффективно, но через пять итераций при ''alpha'' = 52.6809193468 получаем
<pre>
-0.000000 0.000000
-180292.395746 0.000000
</pre>
Вычисляем параметр ''k_0'' по формуле ''k_0'' = −''L'' / |''x''₂ − ''x''₁| = 180300 / 180292.238188 = 1.0000421773.

== Text ==

Text

== Ссылки ==

* [http://pubs.usgs.gov/pp/1395/report.pdf Map Projections — A Working Manual, Snyder J. P., USGS Professional Paper 1395, 1987]
* [http://remotesensing.org/geotiff/proj_list/guid7.html Coordinate Conversions and Transformations including Formulas, EPSG Guidance Note 7, 2002]
* [http://remotesensing.org/geotiff/proj_list/hotine_oblique_mercator.html Hotine Oblique Mercator]
* [http://trac.osgeo.org/proj/wiki/man_proj man_proj – PROJ.4]
* [http://trac.osgeo.org/proj/wiki/man_geod man_geod – PROJ.4]
* [http://geographiclib.sourceforge.net/ GeographicLib]
* [http://gis-lab.info/qa/local-cs.html Добавление местной координатной системы в GIS]

Местная система координат линейного объекта

2014-11-21T10:38:24Z

ErnieBoyd: /* Построение проекции */

{{Статья|Черновик}}

{{Аннотация|Конструирование проекции для представления системы координат линейного объекта в ГИС}}

== Введение ==

Система координат линейного объекта строится для эксплуатации протяжённого инженерного сооружения.
Принципы построения проекции сходны с классическим подходом, изложенным в статье [http://gis-lab.info/qa/local-cs.html «Добавление местной координатной системы в GIS»].
Однако постановка задачи отличается.

== Постановка задачи ==

На оси сооружения задана линия положением двух его конечных точек в глобальной системе координат (ГСК).

Пусть в местной системе (МСК) начало координат совмещено с первой точкой, расстояние между точками задано величиной ''L'', а ось ''OX'' направлена вдоль оси сооружения наружу. В такой системе координаты второй точки будут равны ''X'' = −''L'', ''Y'' = 0.

Требуется подобрать проекцию, подходящую для представления такой МСК в ГИС.

== О проекции ==

Выбор проекции однозначен. Это косая проекция Меркатора с такими значениями параметров, чтобы так называемая начальная линия (линия наименьшего масштаба) проходила через конечные точки, а расстояние между этими точками равнялось ''L''.

Для косой проекции Меркатора задаются следующие параметры:
* широта и долгота центра проекции ''φ''₀, ''λ''₀
* азимут начальной линии ''α''
* разворот координатных осей ''γ''
* масштаб на начальной линии ''k''₀
* прямоугольные координаты в центре проекции ''x''₀, ''y''₀

Азимут начальной линии должен находиться в диапазоне −90° < ''α'' < +90°. Таким образом, если разворот ''γ'' не задан, ось ''OY'' будет направлена вдоль начальной линии в северную полуплоскость, ''OX'' в восточную.

Азимут ''α'' не может равняться 0°. Если ось направлена вдоль меридиана, выбирайте проекцию Гаусса-Крюгера. Также ''α'' не может принимать значения ±90°. Это тоже не проблема, поскольку в окрестности таких значений азимут вдоль геодезической линии меняется довольно быстро, и можно выбрать центр проекции на некотором удалении от первоначально выбранной точки.

Разворот ''γ'' первоначально вводился для компенсации начального разворота осей, чтобы вернуть оси ''OY'' направление строго на север. Для нас это великолепная возможность управлять ориентацией осей МСК произвольно.

== Определение параметров ==

Приведём данные тестового примера. Осевая линия задана положением конечных точек на эллипсоиде WGS 84: ''φ''₁ = 51° с.ш., ''λ''₁ = 22° в.д., ''φ''₂ = 50° с.ш., ''λ''₂ = 20° в.д. Расстояние вдоль оси задано длиной ''L'' = 180300 м.

Рассмотрим последовательность решения задачи с использованием '''PROJ.4'''. Вид строки параметров таков:

<pre>
+proj=omerc +lat_0=φ₀ +lonc=λ₀ +alpha=α +gamma=γ +k_0=k₀ +x_0=x₀ +y_0=y₀
</pre>

Простой подход состоит в том, чтобы поместить центр проекции в первую точку. В соответствии с постановкой задачи определяются следующие параметры:

<pre>
+lat_0=51 +lonc=22 +x_0=0 +y_0=0
</pre>

Для определения параметра ''alpha'' нужно решить обратную геодезическую задачу и найти азимут в первой точке на вторую ''α''₁₂. Здесь возможны два случая:
* вторая точка севернее первой, −90° < ''α''₁₂ < +90°; ''alpha'' = ''α''₁₂
* вторая точка южнее первой, 90° < ''α''₁₂ < 270°; ''alpha'' = ''α''₁₂ − 180°

Поскольку поставлена задача направить ось ''OX'' вдоль начальной линии в противоположную сторону от второй точки, параметру ''gamma'' присвоим значение −90° в первом случае и +90° во втором.

Значение параметра ''k_0'' также можно оценить по результатам решения обратной геодезической задачи: ''k_0'' = ''L'' / ''S'', где ''L'' — заданная длина линии, ''S'' — длина геодезической из решения ОГЗ.

=== Решение обратной геодезической задачи ===

Итак, из решения ОГЗ мы хотим получить азимут ''α''₁₂ и расстояние ''S'', нужные для определения параметров ''alpha'' и ''k_0'' соответственно.

Пикантность ситуации придаёт тот факт, что на эллипсоиде через две точки проходит геодезическая линия, которая в блестящей математике косой проекции сэра Мартина Хотина отображается в кривую на апосфере, не совпадающую с дугой большого круга. Расчёты показывают, что вследствие этого точность соответствия ''alpha'' = ''α''₁₂ и ''k_0'' = ''L'' / ''S'' при расстояниях в несколько десятков километров перестаёт удовлетворять геодезии.

Впрочем, многие объекты имеют скромные размеры «всего» в несколько километров, и для них это неприятное обстоятельство имеет исключительно теоретическое значение.

Однако есть ещё одно обстоятельство. Утилита '''geod''' из пакета '''PROJ.4''' версии 4.9.0 будет решать геодезические задачи на эллипсоиде, используя библиотеку '''GeographicLib'''. Но сегодня в ходу '''PROJ.4''' версии 4.8.0, и '''geod''' умеет считать только для сферы.

Так или иначе, надо научиться обходиться подручными средствами.

Подготовим файл данных с координатами конечных пунктов '''inv.dat''':
<pre>
51N 22E 50N 20E
</pre>
и решим ОГЗ:
<syntaxhighlight lang="bash">
$ geod -I -f "%.10f" -F "%f" +ellps=WGS84 +units=m inv.dat
</syntaxhighlight>
Возможно, в следующей версии '''PROJ.4''' результатом этой команды будет решение на эллипсоиде. Сегодня же из решения на сфере радиусом, равным экваториальному радиусу эллипсоида WGS 84, получилась такая строка значений ''α''₁₂, ''α''₂₁, ''S'':
<pre>
-127.3948484062 51.0617802663 180119.673397
</pre>

=== Построение проекции ===

По результатам решения ОГЗ построим черновую проекцию. Поскольку ''φ''₂ < ''φ''₁, имеет место второй вариант; примем ''alpha'' = ''α''₁₂ + 180° = 52.6051515938°, ''gamma'' = +90°. Масштабный коэффициент пока приравняем единице: ''k_0'' = 1. Получен предварительный набор параметров:
<pre>
+proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6051515938 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0
</pre>
Подготовим файл с координатами конечных точек '''p12.dat''':
<pre>
22 51
20 50
</pre>
Выполним команду:
<syntaxhighlight lang="bash">
$ proj -f "%f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6051515938 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p12.dat
</syntaxhighlight>
Программа выдаёт координаты первой и второй точек ''x''₁, ''y''₁ и ''x''₂, ''y''₂ в МСК:
<pre>
-0.000000 0.000000
-180292.238188 238.386305
</pre>
Координаты первой точки равны нулю, как и ожидалось. Коорданаты второй точки отличаются от ожидаемых −''L'' и 0. Ненулевое значение ''y''₂ говорит о том, что начальная линия проходит мимо второй точки. Значит, нужно подобрать параметр ''alpha'', чтобы исправить промах. Матметоды отлично справляются с поиском корня уравнения ''x''₂(''alpha'') = 0. Однако можно добавить немножко геометрии в задачу и улучшать значение параметра по формуле ''alpha''′ = ''alpha'' − arctg [(''y''₂ − ''y''₁) / (''x''₂ − ''x''₁)]. Через пять итераций при ''alpha'' = 52.6809193468 получаем
<pre>
-0.000000 0.000000
-180292.395746 0.000000
</pre>
Вычисляем параметр ''k_0'' = ''L'' / ∣ ''x''₂ − ''x''₁ |

== Text ==

Text

== Ссылки ==

* [http://pubs.usgs.gov/pp/1395/report.pdf Map Projections — A Working Manual, Snyder J. P., USGS Professional Paper 1395, 1987]
* [http://remotesensing.org/geotiff/proj_list/guid7.html Coordinate Conversions and Transformations including Formulas, EPSG Guidance Note 7, 2002]
* [http://remotesensing.org/geotiff/proj_list/hotine_oblique_mercator.html Hotine Oblique Mercator]
* [http://trac.osgeo.org/proj/wiki/man_proj man_proj – PROJ.4]
* [http://trac.osgeo.org/proj/wiki/man_geod man_geod – PROJ.4]
* [http://geographiclib.sourceforge.net/ GeographicLib]
* [http://gis-lab.info/qa/local-cs.html Добавление местной координатной системы в GIS]

Местная система координат линейного объекта

2014-11-21T10:34:43Z

ErnieBoyd: /* Построение проекции */

{{Статья|Черновик}}

{{Аннотация|Конструирование проекции для представления системы координат линейного объекта в ГИС}}

== Введение ==

Система координат линейного объекта строится для эксплуатации протяжённого инженерного сооружения.
Принципы построения проекции сходны с классическим подходом, изложенным в статье [http://gis-lab.info/qa/local-cs.html «Добавление местной координатной системы в GIS»].
Однако постановка задачи отличается.

== Постановка задачи ==

На оси сооружения задана линия положением двух его конечных точек в глобальной системе координат (ГСК).

Пусть в местной системе (МСК) начало координат совмещено с первой точкой, расстояние между точками задано величиной ''L'', а ось ''OX'' направлена вдоль оси сооружения наружу. В такой системе координаты второй точки будут равны ''X'' = −''L'', ''Y'' = 0.

Требуется подобрать проекцию, подходящую для представления такой МСК в ГИС.

== О проекции ==

Выбор проекции однозначен. Это косая проекция Меркатора с такими значениями параметров, чтобы так называемая начальная линия (линия наименьшего масштаба) проходила через конечные точки, а расстояние между этими точками равнялось ''L''.

Для косой проекции Меркатора задаются следующие параметры:
* широта и долгота центра проекции ''φ''₀, ''λ''₀
* азимут начальной линии ''α''
* разворот координатных осей ''γ''
* масштаб на начальной линии ''k''₀
* прямоугольные координаты в центре проекции ''x''₀, ''y''₀

Азимут начальной линии должен находиться в диапазоне −90° < ''α'' < +90°. Таким образом, если разворот ''γ'' не задан, ось ''OY'' будет направлена вдоль начальной линии в северную полуплоскость, ''OX'' в восточную.

Азимут ''α'' не может равняться 0°. Если ось направлена вдоль меридиана, выбирайте проекцию Гаусса-Крюгера. Также ''α'' не может принимать значения ±90°. Это тоже не проблема, поскольку в окрестности таких значений азимут вдоль геодезической линии меняется довольно быстро, и можно выбрать центр проекции на некотором удалении от первоначально выбранной точки.

Разворот ''γ'' первоначально вводился для компенсации начального разворота осей, чтобы вернуть оси ''OY'' направление строго на север. Для нас это великолепная возможность управлять ориентацией осей МСК произвольно.

== Определение параметров ==

Приведём данные тестового примера. Осевая линия задана положением конечных точек на эллипсоиде WGS 84: ''φ''₁ = 51° с.ш., ''λ''₁ = 22° в.д., ''φ''₂ = 50° с.ш., ''λ''₂ = 20° в.д. Расстояние вдоль оси задано длиной ''L'' = 180300 м.

Рассмотрим последовательность решения задачи с использованием '''PROJ.4'''. Вид строки параметров таков:

<pre>
+proj=omerc +lat_0=φ₀ +lonc=λ₀ +alpha=α +gamma=γ +k_0=k₀ +x_0=x₀ +y_0=y₀
</pre>

Простой подход состоит в том, чтобы поместить центр проекции в первую точку. В соответствии с постановкой задачи определяются следующие параметры:

<pre>
+lat_0=51 +lonc=22 +x_0=0 +y_0=0
</pre>

Для определения параметра ''alpha'' нужно решить обратную геодезическую задачу и найти азимут в первой точке на вторую ''α''₁₂. Здесь возможны два случая:
* вторая точка севернее первой, −90° < ''α''₁₂ < +90°; ''alpha'' = ''α''₁₂
* вторая точка южнее первой, 90° < ''α''₁₂ < 270°; ''alpha'' = ''α''₁₂ − 180°

Поскольку поставлена задача направить ось ''OX'' вдоль начальной линии в противоположную сторону от второй точки, параметру ''gamma'' присвоим значение −90° в первом случае и +90° во втором.

Значение параметра ''k_0'' также можно оценить по результатам решения обратной геодезической задачи: ''k_0'' = ''L'' / ''S'', где ''L'' — заданная длина линии, ''S'' — длина геодезической из решения ОГЗ.

=== Решение обратной геодезической задачи ===

Итак, из решения ОГЗ мы хотим получить азимут ''α''₁₂ и расстояние ''S'', нужные для определения параметров ''alpha'' и ''k_0'' соответственно.

Пикантность ситуации придаёт тот факт, что на эллипсоиде через две точки проходит геодезическая линия, которая в блестящей математике косой проекции сэра Мартина Хотина отображается в кривую на апосфере, не совпадающую с дугой большого круга. Расчёты показывают, что вследствие этого точность соответствия ''alpha'' = ''α''₁₂ и ''k_0'' = ''L'' / ''S'' при расстояниях в несколько десятков километров перестаёт удовлетворять геодезии.

Впрочем, многие объекты имеют скромные размеры «всего» в несколько километров, и для них это неприятное обстоятельство имеет исключительно теоретическое значение.

Однако есть ещё одно обстоятельство. Утилита '''geod''' из пакета '''PROJ.4''' версии 4.9.0 будет решать геодезические задачи на эллипсоиде, используя библиотеку '''GeographicLib'''. Но сегодня в ходу '''PROJ.4''' версии 4.8.0, и '''geod''' умеет считать только для сферы.

Так или иначе, надо научиться обходиться подручными средствами.

Подготовим файл данных с координатами конечных пунктов '''inv.dat''':
<pre>
51N 22E 50N 20E
</pre>
и решим ОГЗ:
<syntaxhighlight lang="bash">
$ geod -I -f "%.10f" -F "%f" +ellps=WGS84 +units=m inv.dat
</syntaxhighlight>
Возможно, в следующей версии '''PROJ.4''' результатом этой команды будет решение на эллипсоиде. Сегодня же из решения на сфере радиусом, равным экваториальному радиусу эллипсоида WGS 84, получилась такая строка значений ''α''₁₂, ''α''₂₁, ''S'':
<pre>
-127.3948484062 51.0617802663 180119.673397
</pre>

=== Построение проекции ===

По результатам решения ОГЗ построим черновую проекцию. Поскольку ''φ''₂ < ''φ''₁, имеет место второй вариант; примем ''alpha'' = ''α''₁₂ + 180° = 52.6051515938°, ''gamma'' = +90°. Масштабный коэффициент пока приравняем единице: ''k_0'' = 1. Получен предварительный набор параметров:
<pre>
+proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6051515938 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0
</pre>
Подготовим файл с координатами конечных точек '''p12.dat''':
<pre>
22 51
20 50
</pre>
Выполним команду:
<syntaxhighlight lang="bash">
$ proj -f "%f" +proj=omerc +lat_0=51 +lonc=22 +alpha=52.6051515938 +gamma=90 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=WGS84 p12.dat
</syntaxhighlight>
Программа выдаёт координаты первой и второй точек ''x''₁, ''y''₁ и ''x''₂, ''y''₂ в МСК:
<pre>
-0.000000 0.000000
-180292.238188 238.386305
</pre>
Координаты первой точки равны нулю, как и ожидалось. Коорданаты второй точки отличаются от ожидаемых −''L'' и 0. Ненулевое значение ''y''₂ говорит о том, что начальная линия проходит мимо второй точки. Значит, нужно подобрать параметр ''alpha'', чтобы исправить промах. Матметоды отлично справляются с поиском корня уравнения ''x''₂(''alpha'') = 0. Однако можно добавить немножко геометрии в задачу и улучшать значение параметра по формуле ''alpha''′ = ''alpha'' − arctg [(''y''₂ − ''y''₁) / (''x''₂ − ''x''₁)] = ''alpha'' − arctg (''y''₂ / ''x''₂). Через пять итераций при ''alpha'' = 52.6809193468 получаем
<pre>
-0.000000 0.000000
-180292.395746 0.000000
</pre>

== Text ==

Text

== Ссылки ==

* [http://pubs.usgs.gov/pp/1395/report.pdf Map Projections — A Working Manual, Snyder J. P., USGS Professional Paper 1395, 1987]
* [http://remotesensing.org/geotiff/proj_list/guid7.html Coordinate Conversions and Transformations including Formulas, EPSG Guidance Note 7, 2002]
* [http://remotesensing.org/geotiff/proj_list/hotine_oblique_mercator.html Hotine Oblique Mercator]
* [http://trac.osgeo.org/proj/wiki/man_proj man_proj – PROJ.4]
* [http://trac.osgeo.org/proj/wiki/man_geod man_geod – PROJ.4]
* [http://geographiclib.sourceforge.net/ GeographicLib]
* [http://gis-lab.info/qa/local-cs.html Добавление местной координатной системы в GIS]

Местная система координат линейного объекта

2014-11-21T10:11:09Z

ErnieBoyd: /* Построение проекции */

Местная система координат линейного объекта

2014-11-21T10:10:15Z

ErnieBoyd: /* Построение проекции */

Местная система координат линейного объекта

2014-11-21T10:09:24Z

ErnieBoyd: /* Построение проекции */

Местная система координат линейного объекта

2014-11-21T10:04:47Z

ErnieBoyd: /* Постановка задачи */

Местная система координат линейного объекта

2014-11-21T10:02:11Z

ErnieBoyd: /* Построение проекции */

Местная система координат линейного объекта

2014-11-21T09:35:34Z

ErnieBoyd: /* Решение обратной геодезической задачи */

Местная система координат линейного объекта

2014-11-21T09:34:52Z

ErnieBoyd: /* Решение обратной геодезической задачи */

Местная система координат линейного объекта

2014-11-21T09:25:47Z

ErnieBoyd: /* Решение обратной геодезической задачи */

Местная система координат линейного объекта

2014-11-21T09:24:30Z

ErnieBoyd: /* Построение проекции */

Местная система координат линейного объекта

2014-11-21T09:22:22Z

ErnieBoyd: /* Построение проекции */

Местная система координат линейного объекта

2014-11-21T09:20:27Z

ErnieBoyd: /* Решение обратной геодезической задачи */

Местная система координат линейного объекта

2014-11-21T09:11:44Z

ErnieBoyd: /* Решение обратной геодезической задачи */

Местная система координат линейного объекта

2014-11-21T08:48:03Z

ErnieBoyd: /* Решение обратной геодезической задачи */

Местная система координат линейного объекта

2014-11-21T08:46:56Z

ErnieBoyd: /* Решение обратной геодезической задачи */

Местная система координат линейного объекта

2014-11-21T08:41:53Z

ErnieBoyd: /* Определение параметров */

Местная система координат линейного объекта

2014-11-21T08:33:29Z

ErnieBoyd: /* Решение обратной геодезической задачи */

Местная система координат линейного объекта

2014-11-21T08:24:08Z

ErnieBoyd: /* Определение параметров */

Местная система координат линейного объекта

2014-11-21T08:07:29Z

ErnieBoyd: /* Определение параметров */

Местная система координат линейного объекта

2014-11-21T08:04:22Z

ErnieBoyd: /* Постановка задачи */

Местная система координат линейного объекта

2014-11-21T08:03:18Z

ErnieBoyd: /* Определение параметров */

Местная система координат линейного объекта

2014-11-21T07:54:19Z

ErnieBoyd: /* Определение параметров */

Местная система координат линейного объекта

2014-11-21T07:53:08Z

ErnieBoyd: /* Определение параметров */

Местная система координат линейного объекта

2014-11-21T07:52:10Z

ErnieBoyd: /* Определение параметров */

Местная система координат линейного объекта

2014-11-21T07:16:29Z

ErnieBoyd: /* Определение параметров */