Добавление местной координатной системы в GIS

Материал из GIS-Lab
(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
м (Выбор исходной проекции)
м (Быстрая реализация)
 
(не показаны 28 промежуточных версий 1 участника)
Строка 11: Строка 11:
 
Имеется множество пунктов, для которых известны координаты ''X'', ''Y'' в ГСК и ''x'', ''y'' в МСК. Требуется подобрать проекцию и вычислить её параметры, удовлетворительно представляющую МСК в ГИС. При подборе параметров предполагается использовать один из пунктов в качестве центральной точки преобразования.
 
Имеется множество пунктов, для которых известны координаты ''X'', ''Y'' в ГСК и ''x'', ''y'' в МСК. Требуется подобрать проекцию и вычислить её параметры, удовлетворительно представляющую МСК в ГИС. При подборе параметров предполагается использовать один из пунктов в качестве центральной точки преобразования.
  
Некоторые программы позволяют реализовать работу в МСК непосредственно. Так, в MapInfo любая проекция может быть дополнена аффинным преобразованием, а в Global Mapper конформным. ArcGIS в качестве МСК предлагает локальную проекцию: аналог ортографической проекции на эллипсоиде, дополненный разворотом и масштабированием.
+
Некоторые программы позволяют реализовать работу в МСК непосредственно. Так, в MapInfo Pro любая проекция может быть дополнена аффинным преобразованием, а в Global Mapper конформные проекции дополняются разворотом. ArcGIS в качестве МСК предлагает локальную проекцию: аналог ортографической проекции на эллипсоиде, дополненный разворотом и масштабированием.
  
 
Другие программы, включая QGIS, работают только с «обыкновенными» проекциями, не допуская дополнительных геометрических преобразований. Задача статьи — показать, как можно конструировать проекции, позволяющие имитировать МСК в QGIS.
 
Другие программы, включая QGIS, работают только с «обыкновенными» проекциями, не допуская дополнительных геометрических преобразований. Задача статьи — показать, как можно конструировать проекции, позволяющие имитировать МСК в QGIS.
  
В качестве рабочей среды будем использовать командную строку UNIX или OSGeo4W.
+
В качестве рабочей среды будем использовать командную строку UNIX или OSGeo4W MSYS.
  
 
== Подготовка данных ==
 
== Подготовка данных ==
Строка 45: Строка 45:
 
Каждая строка в обоих файлах соответствует одному и тому же пункту. В первой строке центральный пункт системы.
 
Каждая строка в обоих файлах соответствует одному и тому же пункту. В первой строке центральный пункт системы.
  
Вычислим географические координаты пунктов:
+
Вычислим географические координаты пунктов:<ref>
 +
 
 +
При запуске '''proj''' в MSYS под Windows придётся позаботиться об удалении мусорных символов:
 +
 
 +
<syntaxhighlight lang="bash">
 +
$ proj -f "%.16g" +proj=omerc +lat_0=52.02642240080064 +lonc=21 +alpha=-0.0001 +k=1 +x_0=0 +y_0=0 +gamma=0 +ellps=krass cat_longlat.tsv | tr -d '\r' > cat.tsv
 +
</syntaxhighlight>
 +
 
 +
</ref>
 +
 
 
<syntaxhighlight lang="bash">
 
<syntaxhighlight lang="bash">
 
$ proj -I -f "%.16g" +init=epsg:28404 cat_s42z4.tsv > cat_longlat.tsv
 
$ proj -I -f "%.16g" +init=epsg:28404 cat_s42z4.tsv > cat_longlat.tsv
Строка 64: Строка 73:
 
== Быстрая реализация ==
 
== Быстрая реализация ==
  
Работа заключается в задании трёх параметров косой проекции Меркатора и вычислении оставшихся четырёх. Априорные параметры определяются так: центр проекции должен лежать на осевом меридиане исходной проекции СК-42/СК-63 на широте середины города, а азимут начальной линии должен быть малым. Пусть широта центра проекции равна широте первого пункта из файла '''cat_longlat.tsv''' 52.02642240080064°. Долготу центра проекции приравняем долготе осевого меридиана четвёртой зоны 21°. Азимут начальной линии приравняем произовольно малой величине −0,0001°. Масштабный множитель ''k'' приравняем единице, оставшиеся параметры обнулим, вычислим координаты в этой переходной проекции и запишем их в файл '''cat.tsv''':
+
Работа заключается в задании трёх параметров косой проекции Меркатора и вычислении оставшихся четырёх. Априорные параметры определяются так: центр проекции должен лежать на осевом меридиане исходной проекции СК-42/СК-63 на широте середины города, а азимут начальной линии должен быть малым. Пусть широта центра проекции равна широте первого пункта из файла '''cat_longlat.tsv''' 52.02642240080064°. Долгота центра проекции будет совпадать с долготой осевого меридиана четвёртой зоны 21°. Азимут начальной линии положим равным произовольно малой величине −0,0001°. Масштабный множитель ''k'' приравняем единице, оставшиеся параметры обнулим, вычислим координаты в этой переходной проекции и запишем их в файл '''cat.tsv''':
  
 
<syntaxhighlight lang="bash">
 
<syntaxhighlight lang="bash">
Строка 90: Строка 99:
 
== Много букв ==
 
== Много букв ==
  
=== Выбор исходной проекции ===
+
=== Выбор исходной проекции ГСК ===
  
 
Важной особенностью МСК является то, что с точки зрения математической картографии она остаётся проекцией Гаусса-Крюгера и наследует её искажения.  
 
Важной особенностью МСК является то, что с точки зрения математической картографии она остаётся проекцией Гаусса-Крюгера и наследует её искажения.  
  
Удобно, если осевой меридиан ГСК проходит через город при малом угле разворота, как в Пензе, например. В этом случае МСК строится как проекция Гаусса-Крюгера, отличающаяся от исходной ГСК малым сдвигом осевого меридиана для компенсации угла разворота. Жаль, что это случается редко.
+
Удобно, если осевой меридиан ГСК проходит через город при малом угле разворота, как в Пензе. В этом случае МСК строится как проекция Гаусса-Крюгера, отличающаяся от исходной ГСК малым сдвигом осевого меридиана для компенсации угла разворота. Жаль, что это случается редко.
  
Хорошо, если исходная ГСК точно известна. Это, например, случай, когда вместо каталогов координат имеется надёжный ключ в виде строки MapInfo.
+
В остальных случаях следует использовать косую проекцию Меркатора, так как она, во-первых, при правильном подборе параметров близка к проекции Гаусса-Крюгера в окрестности заданного центра проекции и, во-вторых, в PROJ.4 позволяет произвольно задавать угол разворота МСК.
  
Однако встречаются ситуации, когда исходная ГСК неизвестна, и приходится выбирать между СК-42 и СК-63, или даже между одной зоной одной из них и двумя зонами другой. Ответ подскажут свойства самих проекций и утилита '''helmkey'''. Заглянем в файл '''var.csv''', созданный этой утилитой. Он содержит невязки конформного преобразования:
+
Хорошо, если исходная ГСК точно известна. Это, в частности, случай, когда вместо каталогов имеется надёжный ключ.
 +
 
 +
Однако встречаются ситуации, когда исходная ГСК неизвестна, и приходится выбирать между СК-42 и СК-63, или даже между зоной одной из них и двумя зонами другой. Ответ подскажут свойства самих проекций и утилита '''helmkey'''. Заглянем в файл '''var.csv''', созданный этой утилитой. Он содержит невязки конформного преобразования:
  
 
{| class="wikitable"
 
{| class="wikitable"
Строка 118: Строка 129:
 
|}
 
|}
  
В нашем случае второй кандидат на исходную ГСК — СК-63 зона C0 с осевым меридианом 21°57′. Создадим промежуточную проекцию на её основе, вычислим координаты для пунктов в ней и получим остающиеся параметры утилитой '''helmkey:
+
В нашем примере второй кандидат на исходную ГСК — СК-63 зона C0 с осевым меридианом 21°57′. Создадим промежуточную проекцию на её основе, вычислим координаты для пунктов в ней и получим остающиеся параметры утилитой '''helmkey:
  
 
<syntaxhighlight lang="bash">
 
<syntaxhighlight lang="bash">
 
$ proj -f "%.16g" +proj=omerc +lat_0=52.02642240080064 +lonc=21.95 +alpha=-0.0001 +k=1 +x_0=0 +y_0=0 +gamma=0 +ellps=krass cat_longlat.tsv > cat.tsv
 
$ proj -f "%.16g" +proj=omerc +lat_0=52.02642240080064 +lonc=21.95 +alpha=-0.0001 +k=1 +x_0=0 +y_0=0 +gamma=0 +ellps=krass cat_longlat.tsv > cat.tsv
 
$ helmkey cat.tsv cat_local.tsv
 
$ helmkey cat.tsv cat_local.tsv
+k=1.00001854602098 +x_0=-13532.31228709544 +y_0=30742.75844830525 +gamma=0.9279005081790233
 
 
</syntaxhighlight>
 
</syntaxhighlight>
  
Посмотрим на '''var.csv''':
+
Вывод программы:
 +
 
 +
<pre>
 +
+k=1.00001854602098 +x_0=-13532.31228709544 +y_0=30742.75844830525 +gamma=0.9279005081790233
 +
</pre>
 +
 
 +
Содержимое '''var.csv''':
  
 
{| class="wikitable"
 
{| class="wikitable"
Строка 146: Строка 162:
 
|}
 
|}
  
Сравнение не в пользу СК-42. Исходная ГСК — СК-63 зона C0, и правильная проекция для QGIS такая:
+
Сравнение невязок не в пользу СК-42. Исходная ГСК — СК-63 зона C0, и правильная проекция для QGIS такая:
  
 
<pre>
 
<pre>
Строка 152: Строка 168:
 
</pre>
 
</pre>
  
== Переходная проекция ==
+
=== Подбор априорных параметров МСК ===
  
Создадим в качестве переходной проекцию Гаусса-Крюгера, осевой меридиан и начальная параллель которой пересекаются в первом пункте, а координаты в этой точке совпадают с координатами МСК этого пункта. Вычислим координаты в переходной проекции и запишем их в файл '''pt_tmerc''':
+
В плане распределения искажений проекция МСК должна имитировать ГСК. В идеале выбор параметров таков, что центр проекции лежит на точке осевого меридана ГСК, ближайшей к середине города, а направление начальной линии совпадает с направлением меридиана. Итак,
<syntaxhighlight lang="bash">
+
* долгота центра проекции равна долготе осевого меридиана ГСК;
$ proj -f "%.4f" +proj=tmerc +lat_0=54.896961118 +lon_0=37.183749701 +k=1 +x_0=1334.71 +y_0=285.94 +ellps=krass pt_longlat.dat > pt_tmerc.dat
+
* широта центра проекции требует вычисления;
</syntaxhighlight>
+
* азимут начальной линии равен нулю.
  
Содержимое '''pt_tmerc.dat''':
+
Довольно хорошее приближение для широты центра проекции даёт формула
  
<pre>
+
: tg ''φ''₂ = tg ''φ''₁ / cos (''λ''₂ − ''λ''₁) ,
1334.7100 285.9400
+
556.2353 -5196.2593
+
4445.4005 1149.5698
+
-248.5461 2884.0431
+
</pre>
+
  
Подготовим входной файл '''data1.dat''' для '''findkey'''. Нужно на место второй и третьей колонок в '''data0.dat''' записать данные '''pt_tmerc.dat'''.
+
где ''φ''₁, ''λ''₁ — координаты середины города; , ''φ''₂, ''λ''₂ — координаты центра проекции. Точное вычисление выполняется на апосфере.
  
<syntaxhighlight lang="bash">
+
На практике идеал разбивается о нежелание авторов PROJ разрешить нулевой азимут начальной линии. Приходится использовать какое-нибудь малое его значение, но это приводит к смещению точки центра проекции, больше по широте, меньше по долготе.
$ paste data0.dat pt_tmerc.dat | awk '{print $1, $7, $8, $4, $5, $6}' > data1.dat
+
</syntaxhighlight>
+
  
Команда '''paste''' построчно объединяет данные из шести колонок '''data0.dat''' и двух колонок '''pt_tmerc.dat''' в общую строку, команда '''awk''' выводит в '''data1.dat''' нужные колонки в нужном же порядке:<ref>
+
Впрочем, тема вычисления оптимального положения центра проекции выходит за рамки данной статьи. Между тем предложенный выше подход, при котором долгота равна долготе осевого меридиана, а широта равна широте середины территории, даёт вполне удовлетворительные результаты.
Также можно использовать утилиту '''pr''' (после '''-s\''' два пробела!):
+
  
<syntaxhighlight lang="bash">
+
=== Проверка параметров ===
$ pr -m -t -s\  data0.dat pt_tmerc.dat | awk '{print $1, $7, $8, $4, $5, $6}' > data1.dat
+
</syntaxhighlight>
+
  
</ref>
+
Прежде чем копировать полученную строку параметров в пользовательскую проекцию QGIS, полезно её проверить:
 
+
<pre>
+
1 1334.7100 285.9400 1334.71 285.94 1.0
+
2 556.2353 -5196.2593 563.67 -5197.34 1.0
+
3 4445.4005 1149.5698 4444.27 1153.79 1.0
+
4 -248.5461 2884.0431 -252.07 2881.90 1.0
+
</pre>
+
 
+
Нетрудно заметить, что координаты первого пункта в переходной проекции совпадают с таковыми в МСК. Для остальных пунктов это не так, что говорит о наличии масштабирования и разворота. Убедимся в этом:
+
  
 
<syntaxhighlight lang="bash">
 
<syntaxhighlight lang="bash">
$ findkey data1.dat key1.dat var1.dat
+
$ proj -f "%.16g" +proj=omerc +lat_0=52.02642240080064 +lonc=21.95 +alpha=-0.0001 +k=1.00001854602098 +x_0=-13532.31228709544 +y_0=30742.75844830525 +gamma=0.9279005081790233 +ellps=krass cat_longlat.tsv > cat.tsv
 +
$ helmkey cat.tsv cat_local.tsv
 
</syntaxhighlight>
 
</syntaxhighlight>
  
Содержимое '''key1.dat''':
+
В выводе программы должна быть практическая единица для масштаба и нули для остальных параметров:
  
 
<pre>
 
<pre>
0.390
+
+k=0.99999999999999 +x_0=5.956435757244818e-10 +y_0=2.582964953035116e-10 +gamma=1.139084427878181e-13
-1.813
+
1.0000052644
+
0.0013554914
+
1.0000061831
+
+0.07766348
+
 
</pre>
 
</pre>
  
Первые четыре параметра — ''a''<sub>0</sub>, ''b''<sub>0</sub>, ''a''<sub>1</sub>, ''b''<sub>1</sub>, оставшиеся два — масштабный множитель ''m'' и разворот ''θ'' в градусах.
+
Координаты в файле '''cat.tsv''' будут похожи на исходные координаты МСК из файла '''cat_local.tsv'''.
  
== Косая проекция Меркатора ==
+
== Заключение ==
  
Всё готово для конструирования косой проекции Меркатора. Зададим, как для переходной проекции, долготу и широту первого пункта в качестве начальных, его координаты в МСК в качестве «фальшивых». Кроме того, перенесём масштаб конформного преобразования в масштаб проекции, а разворот — в азимут линии минимального масштаба. Вычислим координаты в этой проекции и запишем в файл '''pt_omerc.dat''':
+
На момент написания статьи для практического применения в QGIS рекомендуется косая проекция Меркатора. Если осевой меридиан близок к центру территории и угол разворота мал, следует использовать проекцию Гаусса-Крюгера.
  
<syntaxhighlight lang="bash">
+
Возможно, в ближайшем будущем среди атомарных операций PROJ появится аффинное преобразование. Это позволит непосредственно дополнять классическую проекцию Гаусса-Крюгера дополнительным преобразованием прямоугольной системы координат, как это делается в MapInfo Pro.
$ proj -f "%.4f" +proj=omerc +lat_0=54.896961118 +lonc=37.183749701 +alpha=0.07766348 +gamma=0 +k=1.0000061831 +x_0=1334.71 +y_0=285.94 +ellps=krass pt_longlat.dat > pt_omerc.dat
+
</syntaxhighlight>
+
  
Вычислим параметры конформного преобразования для '''pt_omerc.dat''': ''m'' = 1.0000000000, ''θ'' = −0.00000022° = −0.0008″. Практически масштаб сведён к единице, разворот к нулю, а вычисленные из значений долготы/широты координаты совпадают с координатами, заданными в МСК. Таким образом, проекция, эквивалентная МСК, построена.
+
== Приложение. Утилита helmkey ==
  
Следует заметить, что многие программы (например, MapInfo) используют косую проекцию Меркатора в версии Хотина, когда началом координат служит точка пересечения линии минимального масштаба с экватором. Азимут линии и плоские координаты в этой точке, естественно, отличаются от заданных нами, и понадобятся дополнительные вычисления для их определения.
+
Программа '''helmkey''' вычисляет параметры конформного преобразования. Написана на языке C. Вот листинг:
  
Реализация косой проекции Меркатора в PROJ.4 имеет одну особенность: программы просто не работают со значениями параметра '''alpha''' 0 или 90°. Если угол разворота очень мал (скажем, несколько угловых секунд), следует использовать проекцию Гаусса-Крюгера.
+
<syntaxhighlight lang="c">
 +
#include <stdio.h>
 +
#include <stdlib.h>
 +
#include <math.h>
  
== Проекция Гаусса-Крюгера ==
+
#define SEP ';' /* var-file column separator */
  
Встречаются программы, набор проекций в которых ограничен. Проекция Гаусса-Крюгера — она же Transverse Mercator — найдётся в самом бедном наборе. В приёмниках GARMIN пользовательская система координат может быть задана только в этой проекции.
+
/* --------------------------------------------------------------------------
 +
* helmkey
 +
*
 +
* Program to compute for Helmert & affine planar transformation parameters
 +
*
 +
* Usage: helmkey <coord1> <coord2>
 +
*
 +
* Input files: coord1 coord2
 +
*    coord1 - source coordinate 'x1 y1'
 +
*    coord2 - destination coordinate 'x2 y2'
 +
*              a row per a point; 3+ points
 +
*
 +
* Output: omerc parameter string
 +
*    k    - Scale factor on initial line
 +
*    x_0  - Easting at projection center
 +
*    y_0  - Northing at projection center
 +
*    gamma - Angle from Rectified to Skew Grid
 +
*
 +
* Output file:
 +
*    var.csv - output SEP separated variances 'dx dy'
 +
* -------------------------------------------------------------------------- */
 +
int main(int argc, char *argv[])
 +
{
 +
  char buf0[1024], buf1[1024];
 +
  double x[2], y[2];
 +
  double xc[2], yc[2];
 +
  double dx[2], dy[2];
 +
  double s[7] = {0., 0., 0., 0., 0.};
 +
  double det, h[6];
 +
  double mu, theta;
 +
  double yh[2];
 +
  int i;
 +
  FILE *fp0, *fp1, *fp2;
  
=== Долгота осевого меридиана ===
+
  if (argc < 3) {
 +
    printf("Usage: helmkey <coord1> <coord2>\n");
 +
    exit(EXIT_FAILURE);
 +
  }
  
Если угол разворота не превышает первых десятков угловых минут, можно компенсировать его переносом осевого меридиана в сторону и не бояться потери геодезической точности. Даже первые градусы не должны существенно повлиять на навигационные приложения. Дальнейшее увеличение угла приводит к стремительному росту градиента масштаба в направлении запад-восток и, следовательно, искажению подобия фигур.
+
  if ((fp0 = fopen(argv[1], "r")) == NULL) {
 +
    printf("can't open %s\n", argv[1]);
 +
    exit(EXIT_FAILURE);
 +
  }
  
В нашем примере разворот оказался небольшим: ''θ'' = 0.07766348° = 0°04′39.59″. Значит, в данном случае на основе проекции Гаусса-Крюгера можно создать довольно точный аналог МСК.
+
  if ((fp1 = fopen(argv[2], "r")) == NULL) {
 +
    printf("can't open %s\n", argv[2]);
 +
    exit(EXIT_FAILURE);
 +
  }
  
Предварительное значение перемещения осевого меридиана можно оценить по формуле:
+
  /* coordinate sums */
 +
  while (fgets(buf0, 1024, fp0) != NULL && fgets(buf1, 1024, fp1) != NULL) {
 +
    sscanf(buf0, "%lf %lf", &x[0], &x[1]);
 +
    sscanf(buf1, "%lf %lf", &y[0], &y[1]);
 +
    s[0] += x[0];
 +
    s[1] += x[1];
 +
    s[2] += y[0];
 +
    s[3] += y[1];
 +
    s[4] += 1.;
 +
  }
 +
  rewind(fp0);
 +
  rewind(fp1);
  
<math>\Delta L = -\operatorname{arc\,tg}\frac{\operatorname{tg} \theta}{\sin B}</math>
+
  /* centrum gravitatis */
 +
  for (i = 0; i < 2; i++) {
 +
    xc[i] = s[i] / s[4];
 +
    yc[i] = s[2 + i] / s[4];
 +
  }
  
где ∆''L'' — перенос осевого меридиана, ''θ'' — угол разворота, ''B'' — широта первого пункта. Получаем ∆''L'' = −0.0949292655, ''L'' = 37.0888204345. Построим проекцию Гаусса-Крюгера на основе переходной, подставив ''L'' в долготу осевого меридиана и нули в «фальшивые» координаты:
+
  /* sums of products */
 +
  for (i = 0; i < 7; i++)
 +
    s[i] = 0.;
 +
  while (fgets(buf0, 1024, fp0) != NULL && fgets(buf1, 1024, fp1) != NULL) {
 +
    sscanf(buf0, "%lf %lf", &x[0], &x[1]);
 +
    sscanf(buf1, "%lf %lf", &y[0], &y[1]);
 +
    /* coordinate differences */
 +
    dx[0] = x[0] - xc[0];
 +
    dx[1] = x[1] - xc[1];
 +
    dy[0] = y[0] - yc[0];
 +
    dy[1] = y[1] - yc[1];
 +
    /* summation */
 +
    s[0] += dx[0] * dx[0];
 +
    /*s[1] += dx[0] * dx[1];*/
 +
    s[2] += dx[1] * dx[1];
 +
    s[3] += dx[0] * dy[0];
 +
    s[4] += dx[1] * dy[0];
 +
    s[5] += dx[0] * dy[1];
 +
    s[6] += dx[1] * dy[1];
 +
  }
 +
  rewind(fp0);
 +
  rewind(fp1);
  
<syntaxhighlight lang="bash">
+
  /* Helmert parameters */
$ proj -f "%.4f" +proj=tmerc +lat_0=54.8969611 +lon_0=37.0888204 +k=1 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=krass pt_longlat.dat > pt_tmerc.dat
+
  det = s[0] + s[2];
</syntaxhighlight>
+
  h[0] = (s[3] + s[6]) / det;
 +
  h[1] = (s[4] - s[5]) / det;
 +
  h[2] = yc[0] - h[0] * xc[0] - h[1] * xc[1];
 +
  h[3] = -h[1];
 +
  h[4] = h[0];
 +
  h[5] = yc[1] - h[3] * xc[0] - h[4] * xc[1];
  
Последующее вычисление параметров конформного преобразования выдаёт сравнительно большой угол разворота. Однако уже после второй итерации с ''L'' = 37.0888079 получаем ''m'' = 1.0000057306, ''θ'' = +0.00000044.
+
  /* alternative Helmert parameter set */
 +
  mu = hypot(h[0], h[1]);
 +
  theta = atan2(h[1], h[0]);
  
=== Масштаб проекции ===
+
  /* output parameters */
 +
  printf("+k=%.16g +x_0=%.16g +y_0=%.16g +gamma=%.16g\n",
 +
mu, h[2], h[5], theta / M_PI * 180.);
  
Перенесём ''m'' в масштаб проекции:
+
  /* output residuals */
 +
  if ((fp2 = fopen("var.csv", "w")) == NULL) {
 +
    printf("can't create %s\n", "var.csv");
 +
    exit(EXIT_FAILURE);
 +
  }
 +
  while (fgets(buf0, 1024, fp0) != NULL && fgets(buf1, 1024, fp1) != NULL) {
 +
    sscanf(buf0, "%lf %lf", &x[0], &x[1]);
 +
    sscanf(buf1, "%lf %lf", &y[0], &y[1]);
 +
    /* model y */
 +
    yh[0] = h[0] * x[0] + h[1] * x[1] + h[2];
 +
    yh[1] = h[3] * x[0] + h[4] * x[1] + h[5];
 +
    fprintf(fp2, "%.3f%c%.3f\n", yh[0] - y[0], SEP, yh[1] - y[1]);
 +
  }
 +
  fclose(fp2);
 +
  fclose(fp1);
 +
  fclose(fp0);
  
<syntaxhighlight lang="bash">
+
  exit(EXIT_SUCCESS);
+proj=tmerc +lat_0=54.8969611 +lon_0=37.0888079 +k=1.00000573 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=krass
+
}
 
</syntaxhighlight>
 
</syntaxhighlight>
  
Вновь вычислим параметры конформного преобразования. Теперь ''m'' = 1.0000000039, т.е. практически единица.
+
Сохраним код в файл '''helmkey.c'''. Исполняемый модуль создадим компилятором '''gcc''':
 
+
=== Координаты в начальной точке проекции ===
+
 
+
Наконец обратим внимание на первичные параметры ''a''<sub>0</sub> = −4756.693 и ''a''<sub>1</sub> = 281.807. Перенесём их значения в параметры проекции '''x_0''' и '''y_0''':
+
  
 
<syntaxhighlight lang="bash">
 
<syntaxhighlight lang="bash">
+proj=tmerc +lat_0=54.8969611 +lon_0=37.0888079 +k=1.00000573 +x_0=-4756.69 +y_0=281.81 +ellps=krass
+
$ gcc -o helmkey helmkey.c -lm
 
</syntaxhighlight>
 
</syntaxhighlight>
  
Проекция создана.
+
Пользователи MS Windows могут загрузить уже скомпилированную [http://wiki.gis-lab.info/images/4/49/Helmkey.zip программу].
 
+
=== Альтернативный набор параметров ===
+
 
+
Пользовательская проекция старых моделей навигаторов GARMIN допускает ограниченный набор параметров. В ней не используется '''lat_0'''. Компенсируем его отсутствие коррекцией '''y_0'''. Напишем и запустим скрипт:
+
 
+
<syntaxhighlight lang="bash">
+
proj -f "%.4f" +proj=tmerc +lat_0=54.8969611 +lon_0=37.0888079 +k=1.00000573 +x_0=-4756.69 +y_0=281.81 +ellps=krass <<EOF
+
37.0888079 0
+
EOF
+
</syntaxhighlight>
+
 
+
Вывод скрипта даёт координаты пересечения осевого меридиана с экватором:
+
 
+
<pre>-4756.6900 -6085619.5031</pre>
+
 
+
Вот эквивалентный набор параметров:
+
 
+
<pre>+proj=tmerc +lat_0=0 +lon_0=37.0888079 +k=1.00000573 +x_0=-4756.69 +y_0=-6085619.50 +ellps=krass</pre>
+
 
+
Может возникнуть вопрос, почему нельзя было сразу начать со значения '''lat_0''' = 0, а не с параллели первого пункта? Ответ прост: устойчивые решения получаются только в окрестности заданных пунктов, и перенос начала координат на экватор должен быть выполнен в самом конце.
+
 
+
== Коническая равноугольная проекция Ламберта ==
+
 
+
Эта проекция по использованию в геодезии занимает второе место после проекции Гаусса-Крюгера. Она, в отличие от последней, предоставляет полную свободу в выборе центрального меридиана, поскольку градиент масштаба вдоль параллели равен нулю.
+
 
+
Редко встречается бочка мёда без ложки дёгтя. Некоторые программы (MapInfo, например) предоставляют возможность задания этой проекции только в варианте с двумя стандартными параллелями, в то время как нам нужна единственная стандартная параллель, проходящая через выбранный пункт. По единственной стандартной параллели и масштабу на ней можно вычислить две стандартные широты тогда и только тогда, когда масштаб на единственной параллели меньше единицы. В общем, возможность имитации МСК таким вариантом с двумя стандартами 50:50.
+
 
+
К счастью, PROJ.4 не имеет этого досадного ограничения, и коническая равноугольная проекция Ламберта является неплохим вариантом создания аналога МСК для QGIS.
+
 
+
=== Долгота центрального меридиана ===
+
 
+
По развороту ''θ'' = 0.07766348° определим величину переноса центрального меридиана:
+
 
+
<math>\Delta L = -\frac{\theta}{\sin B}</math>
+
 
+
Получим ∆''L'' = −0.0949292942, ''L'' = 37.0888204068. Запишем ''L'' в долготу центрального меридиана, нули в '''x_0''' и '''y_0''':
+
 
+
<syntaxhighlight lang="bash">
+
$ proj -f "%.4f" +proj=lcc +lat_0=54.8969611 +lon_0=37.0888204 +lat_1=54.8969611 +k_0=1 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=krass pt_longlat.dat > pt_lcc.dat
+
</syntaxhighlight>
+
 
+
Через пять итераций приходим к значению '''lon_0''' = 37.0824027, при котором ''θ'' практически сводится к нулю.
+
 
+
=== Масштаб проекции ===
+
 
+
Полученное последним значение ''m'' = 1.00002378 запишем в параметр '''k_0''':
+
 
+
<syntaxhighlight lang="bash">
+
+proj=lcc +lat_0=54.8969611 +lon_0=37.0824027 +lat_1=54.8969611 +k_0=1.00002378 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=krass
+
</syntaxhighlight>
+
 
+
=== Координаты в начале проекции ===
+
 
+
Вновь вычислим параметры конформного преобразования и перенесём ''a''<sub>0</sub> = −5167.777 и ''a''<sub>1</sub> = 281.494 в параметры проекции '''x_0''', '''y_0''':
+
 
+
<syntaxhighlight lang="bash">
+
+proj=lcc +lat_0=54.8969611 +lon_0=37.0824027 +lat_1=54.8969611 +k_0=1.00002378 +x_0=-5167.78 +y_0=281.49 +ellps=krass
+
</syntaxhighlight>
+
 
+
Проекция готова. Невязки по результатам конформного преобразования достигают десяти сантиметров, что почти на порядок больше невязок для проекций Гаусса-Крюгера и косой Меркатора. Возможно, этого следовало ожидать, поскольку местная система координат построена на основе проекции Гаусса-Крюгера.
+
 
+
== Косая стереографическая проекция ==
+
 
+
Эта проекция занимает незаслуженное третье место по широте использования геодезистами. Причина этого, возможно, кроется в вычислительных трудностях докомпьютерной эпохи: коническая равноугольная Ламберта выгодно отличается аскетической простотой формул, а проекция Гаусса-Крюгера — возможностью построения координатных таблиц, одинаковых для любой зоны. Между тем, если бы речь шла о создании МСК на пустом месте, а не об имитации уже созданной на основе другой проекции, то именно стереографическая является идеальным воплощением мечты о конформной проекции, искажения в которой минимальны на краях территории произвольной формы.
+
 
+
Можно реализовать имитацию МСК нашего примера на основе стереографической проекции. Если бы PROJ.4 включало параметр разворота, это было бы так же просто, как и реализация на основе косой проекции Меркатора. Следует ожидать, что при этом невязки были бы вдвое меньше, чем в реализации на основе конической равноугольной проекции Ламберта.
+
 
+
Отсутствие параметра разворота заставляет пойти по пути, дважды пройденному выше: перенос осевого меридиана для компенсации разворота, задание масштаба проекции, коррекция плоских координат. Оставим реализацию в качестве упражнения для любителей вычислений.
+
 
+
== Заключение ==
+
 
+
Рассмотрена возоможность имитации МСК с использованием практически всех конформных проекций, широко используемых в геодезии: косой Меркатора, Гаусса-Крюгера, конической равноугольной Ламберта, косой стереографической. Для практического применения в QGIS рекомендуется косая проекция Меркатора. Если программное обеспечение не позволяет реализовать эту проекцию, либо угол разворота мал, предпочтительной является проекция Гаусса-Крюгера.
+
  
 
== Примечания ==
 
== Примечания ==
Строка 344: Строка 363:
  
 
* [http://pubs.usgs.gov/pp/1395/report.pdf Map Projections — A Working Manual, Snyder J. P., USGS Professional Paper 1395, 1987]
 
* [http://pubs.usgs.gov/pp/1395/report.pdf Map Projections — A Working Manual, Snyder J. P., USGS Professional Paper 1395, 1987]
* [http://remotesensing.org/geotiff/proj_list/guid7.html Coordinate Conversions and Transformations including Formulas, EPSG Guidance Note 7, 2002]
+
* [http://www.epsg.org/Portals/0/373-07-2.pdf Coordinate Conversions and Transformations including Formulas, EPSG Guidance Note 7-2]
* [http://remotesensing.org/geotiff/proj_list/index.html Projections Transform List]
+
* [https://desktop.arcgis.com/ru/arcmap/latest/map/projections/local-cartesian-projection.htm Справка ArcGIS — Локальная проекция Декартовой системы координат]
* [http://resources.arcgis.com/ru/help/main/10.1/index.html#//003r00000035000000 Справка ArcGIS 10.1 — Локальная проекция Декартовой системы координат]
+
* [https://proj4.org/usage/index.html Using PROJ]
* [http://trac.osgeo.org/proj/wiki/man_proj man_proj – PROJ.4]
+
 
* [http://gis-lab.info/qa/helmert2d.html Конформное преобразование]
 
* [http://gis-lab.info/qa/helmert2d.html Конформное преобразование]

Текущая версия на 18:56, 20 мая 2018

Эта страница опубликована в основном списке статей сайта
по адресу http://gis-lab.info/qa/local-cs.html


Конструирование проекций, имитирующих местные координатные системы, в QGIS

Содержание

[править] Введение

Под местной системой координат (МСК) будет подразумеваться так называемая «городская» система, построенная независимо от государственной системы (ГСК) и включенная в неё заданием ключей перехода к СК-42 или СК-63. МСК крупных территорий, сравнимых с размерами субъектов Федерации, не являются предметом данной статьи, поскольку относятся к классическим картографическим проекциям.

[править] Постановка задачи

Имеется множество пунктов, для которых известны координаты X, Y в ГСК и x, y в МСК. Требуется подобрать проекцию и вычислить её параметры, удовлетворительно представляющую МСК в ГИС. При подборе параметров предполагается использовать один из пунктов в качестве центральной точки преобразования.

Некоторые программы позволяют реализовать работу в МСК непосредственно. Так, в MapInfo Pro любая проекция может быть дополнена аффинным преобразованием, а в Global Mapper конформные проекции дополняются разворотом. ArcGIS в качестве МСК предлагает локальную проекцию: аналог ортографической проекции на эллипсоиде, дополненный разворотом и масштабированием.

Другие программы, включая QGIS, работают только с «обыкновенными» проекциями, не допуская дополнительных геометрических преобразований. Задача статьи — показать, как можно конструировать проекции, позволяющие имитировать МСК в QGIS.

В качестве рабочей среды будем использовать командную строку UNIX или OSGeo4W MSYS.

[править] Подготовка данных

Нужны два файла исходных данных. Пусть текстовый файл cat_s42z4.tsv содержит координаты пунктов в государственной системе (ГСК), а именно в четвёртой зоне СК-42:

4645997.49 5768521.60
4661392.15 5770068.91
4650059.09 5783332.41
4634241.37 5778952.22
4631481.69 5764570.61
4642125.18 5754643.12
4655952.19 5757337.28

В файле cat_local.tsv — координаты в местной системе (МСК):

67266.64 30088.40
82697.29 31184.27
71759.40 44771.50
55822.67 40857.06
52643.65 26564.42
62990.64 16331.35
76888.20 18619.57

Каждая строка в обоих файлах соответствует одному и тому же пункту. В первой строке центральный пункт системы.

Вычислим географические координаты пунктов:[1]

$ proj -I -f "%.16g" +init=epsg:28404 cat_s42z4.tsv > cat_longlat.tsv

В файл cat_longlat.tsv запишутся географические долготы и широты в СК-42:

23.12716113273887 52.02642240080064
23.35199369039325 52.03605540518488
23.19280603770445 52.15834802315441
22.96008928353681 52.12307568371703
22.91428747596251 51.99456156589881
23.06504376727423 51.90277894131356
23.26700321114454 51.92327827668979

[править] Быстрая реализация

Работа заключается в задании трёх параметров косой проекции Меркатора и вычислении оставшихся четырёх. Априорные параметры определяются так: центр проекции должен лежать на осевом меридиане исходной проекции СК-42/СК-63 на широте середины города, а азимут начальной линии должен быть малым. Пусть широта центра проекции равна широте первого пункта из файла cat_longlat.tsv 52.02642240080064°. Долгота центра проекции будет совпадать с долготой осевого меридиана четвёртой зоны 21°. Азимут начальной линии положим равным произовольно малой величине −0,0001°. Масштабный множитель k приравняем единице, оставшиеся параметры обнулим, вычислим координаты в этой переходной проекции и запишем их в файл cat.tsv:

$ proj -f "%.16g" +proj=omerc +lat_0=52.02642240080064 +lonc=21 +alpha=-0.0001 +k=1 +x_0=0 +y_0=0 +gamma=0 +ellps=krass cat_longlat.tsv > cat.tsv

Найдём оставшиеся параметры с помощью программы helmkey:

$ helmkey cat.tsv cat_local.tsv

Программа выведет на экран искомую строку параметров:

+k=0.9998372145697554 +x_0=-78707.08698765696 +y_0=32225.08703617829 +gamma=1.677027577390829

Это всё! Осталось добавить в QGIS пользовательскую проекцию, не забыв необходимые стандартные параметры:

+proj=omerc +lat_0=52.02642240080064 +lonc=21 +alpha=-0.0001 +k=0.9998372145697554 +x_0=-78707.08698765696 +y_0=32225.08703617829 +gamma=1.677027577390829 +ellps=krass +towgs84=23.57,-140.95,-79.8,0,0.35,0.79,-0.22 +units=m +no_defs

[править] Много букв

[править] Выбор исходной проекции ГСК

Важной особенностью МСК является то, что с точки зрения математической картографии она остаётся проекцией Гаусса-Крюгера и наследует её искажения.

Удобно, если осевой меридиан ГСК проходит через город при малом угле разворота, как в Пензе. В этом случае МСК строится как проекция Гаусса-Крюгера, отличающаяся от исходной ГСК малым сдвигом осевого меридиана для компенсации угла разворота. Жаль, что это случается редко.

В остальных случаях следует использовать косую проекцию Меркатора, так как она, во-первых, при правильном подборе параметров близка к проекции Гаусса-Крюгера в окрестности заданного центра проекции и, во-вторых, в PROJ.4 позволяет произвольно задавать угол разворота МСК.

Хорошо, если исходная ГСК точно известна. Это, в частности, случай, когда вместо каталогов имеется надёжный ключ.

Однако встречаются ситуации, когда исходная ГСК неизвестна, и приходится выбирать между СК-42 и СК-63, или даже между зоной одной из них и двумя зонами другой. Ответ подскажут свойства самих проекций и утилита helmkey. Заглянем в файл var.csv, созданный этой утилитой. Он содержит невязки конформного преобразования:

-0.006 0.007
0.182 0.046
-0.166 0.110
0.019 -0.185
0.148 0.100
-0.146 0.094
-0.031 -0.171

В нашем примере второй кандидат на исходную ГСК — СК-63 зона C0 с осевым меридианом 21°57′. Создадим промежуточную проекцию на её основе, вычислим координаты для пунктов в ней и получим остающиеся параметры утилитой helmkey:

$ proj -f "%.16g" +proj=omerc +lat_0=52.02642240080064 +lonc=21.95 +alpha=-0.0001 +k=1 +x_0=0 +y_0=0 +gamma=0 +ellps=krass cat_longlat.tsv > cat.tsv
$ helmkey cat.tsv cat_local.tsv

Вывод программы:

+k=1.00001854602098 +x_0=-13532.31228709544 +y_0=30742.75844830525 +gamma=0.9279005081790233

Содержимое var.csv:

-0.000 -0.002
-0.001 0.002
-0.001 0.002
0.004 0.000
-0.002 0.001
0.002 -0.002
-0.002 -0.001

Сравнение невязок не в пользу СК-42. Исходная ГСК — СК-63 зона C0, и правильная проекция для QGIS такая:

+proj=omerc +lat_0=52.02642240080064 +lonc=21.95 +alpha=-0.0001 +k=1.00001854602098 +x_0=-13532.31228709544 +y_0=30742.75844830525 +gamma=0.9279005081790233 +ellps=krass +towgs84=23.57,-140.95,-79.8,0,0.35,0.79,-0.22 +units=m +no_defs

[править] Подбор априорных параметров МСК

В плане распределения искажений проекция МСК должна имитировать ГСК. В идеале выбор параметров таков, что центр проекции лежит на точке осевого меридана ГСК, ближайшей к середине города, а направление начальной линии совпадает с направлением меридиана. Итак,

  • долгота центра проекции равна долготе осевого меридиана ГСК;
  • широта центра проекции требует вычисления;
  • азимут начальной линии равен нулю.

Довольно хорошее приближение для широты центра проекции даёт формула

tg φ₂ = tg φ₁ / cos (λ₂ − λ₁) ,

где φ₁, λ₁ — координаты середины города; , φ₂, λ₂ — координаты центра проекции. Точное вычисление выполняется на апосфере.

На практике идеал разбивается о нежелание авторов PROJ разрешить нулевой азимут начальной линии. Приходится использовать какое-нибудь малое его значение, но это приводит к смещению точки центра проекции, больше по широте, меньше по долготе.

Впрочем, тема вычисления оптимального положения центра проекции выходит за рамки данной статьи. Между тем предложенный выше подход, при котором долгота равна долготе осевого меридиана, а широта равна широте середины территории, даёт вполне удовлетворительные результаты.

[править] Проверка параметров

Прежде чем копировать полученную строку параметров в пользовательскую проекцию QGIS, полезно её проверить:

$ proj -f "%.16g" +proj=omerc +lat_0=52.02642240080064 +lonc=21.95 +alpha=-0.0001 +k=1.00001854602098 +x_0=-13532.31228709544 +y_0=30742.75844830525 +gamma=0.9279005081790233 +ellps=krass cat_longlat.tsv > cat.tsv
$ helmkey cat.tsv cat_local.tsv

В выводе программы должна быть практическая единица для масштаба и нули для остальных параметров:

+k=0.99999999999999 +x_0=5.956435757244818e-10 +y_0=2.582964953035116e-10 +gamma=1.139084427878181e-13

Координаты в файле cat.tsv будут похожи на исходные координаты МСК из файла cat_local.tsv.

[править] Заключение

На момент написания статьи для практического применения в QGIS рекомендуется косая проекция Меркатора. Если осевой меридиан близок к центру территории и угол разворота мал, следует использовать проекцию Гаусса-Крюгера.

Возможно, в ближайшем будущем среди атомарных операций PROJ появится аффинное преобразование. Это позволит непосредственно дополнять классическую проекцию Гаусса-Крюгера дополнительным преобразованием прямоугольной системы координат, как это делается в MapInfo Pro.

[править] Приложение. Утилита helmkey

Программа helmkey вычисляет параметры конформного преобразования. Написана на языке C. Вот листинг:

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
 
#define SEP ';' /* var-file column separator */
 
/* --------------------------------------------------------------------------
 * helmkey
 *
 * Program to compute for Helmert & affine planar transformation parameters
 *
 * Usage: helmkey <coord1> <coord2>
 *
 * Input files: coord1 coord2
 *     coord1 - source coordinate 'x1 y1'
 *     coord2 - destination coordinate 'x2 y2'
 *              a row per a point; 3+ points
 *
 * Output: omerc parameter string
 *    k     - Scale factor on initial line
 *    x_0   - Easting at projection center
 *    y_0   - Northing at projection center
 *    gamma - Angle from Rectified to Skew Grid
 *
 * Output file:
 *    var.csv - output SEP separated variances 'dx dy'
 * -------------------------------------------------------------------------- */
int main(int argc, char *argv[])
{
  char buf0[1024], buf1[1024];
  double x[2], y[2];
  double xc[2], yc[2];
  double dx[2], dy[2];
  double s[7] = {0., 0., 0., 0., 0.};
  double det, h[6];
  double mu, theta;
  double yh[2];
  int i;
  FILE *fp0, *fp1, *fp2;
 
  if (argc < 3) {
    printf("Usage: helmkey <coord1> <coord2>\n");
    exit(EXIT_FAILURE);
  }
 
  if ((fp0 = fopen(argv[1], "r")) == NULL) {
    printf("can't open %s\n", argv[1]);
    exit(EXIT_FAILURE);
  }
 
  if ((fp1 = fopen(argv[2], "r")) == NULL) {
    printf("can't open %s\n", argv[2]);
    exit(EXIT_FAILURE);
  }
 
  /* coordinate sums */
  while (fgets(buf0, 1024, fp0) != NULL && fgets(buf1, 1024, fp1) != NULL) {
    sscanf(buf0, "%lf %lf", &x[0], &x[1]);
    sscanf(buf1, "%lf %lf", &y[0], &y[1]);
    s[0] += x[0];
    s[1] += x[1];
    s[2] += y[0];
    s[3] += y[1];
    s[4] += 1.;
  }
  rewind(fp0);
  rewind(fp1);
 
  /* centrum gravitatis */
  for (i = 0; i < 2; i++) {
    xc[i] = s[i] / s[4];
    yc[i] = s[2 + i] / s[4];
  }
 
  /* sums of products */
  for (i = 0; i < 7; i++)
    s[i] = 0.;
  while (fgets(buf0, 1024, fp0) != NULL && fgets(buf1, 1024, fp1) != NULL) {
    sscanf(buf0, "%lf %lf", &x[0], &x[1]);
    sscanf(buf1, "%lf %lf", &y[0], &y[1]);
    /* coordinate differences */
    dx[0] = x[0] - xc[0];
    dx[1] = x[1] - xc[1];
    dy[0] = y[0] - yc[0];
    dy[1] = y[1] - yc[1];
    /* summation */
    s[0] += dx[0] * dx[0];
    /*s[1] += dx[0] * dx[1];*/
    s[2] += dx[1] * dx[1];
    s[3] += dx[0] * dy[0];
    s[4] += dx[1] * dy[0];
    s[5] += dx[0] * dy[1];
    s[6] += dx[1] * dy[1];
  }
  rewind(fp0);
  rewind(fp1);
 
  /* Helmert parameters */
  det = s[0] + s[2];
  h[0] = (s[3] + s[6]) / det;
  h[1] = (s[4] - s[5]) / det;
  h[2] = yc[0] - h[0] * xc[0] - h[1] * xc[1];
  h[3] = -h[1];
  h[4] = h[0];
  h[5] = yc[1] - h[3] * xc[0] - h[4] * xc[1];
 
  /* alternative Helmert parameter set */
  mu = hypot(h[0], h[1]);
  theta = atan2(h[1], h[0]);
 
  /* output parameters */
  printf("+k=%.16g +x_0=%.16g +y_0=%.16g +gamma=%.16g\n",
	 mu, h[2], h[5], theta / M_PI * 180.);
 
  /* output residuals */
  if ((fp2 = fopen("var.csv", "w")) == NULL) {
    printf("can't create %s\n", "var.csv");
    exit(EXIT_FAILURE);
  }
  while (fgets(buf0, 1024, fp0) != NULL && fgets(buf1, 1024, fp1) != NULL) {
    sscanf(buf0, "%lf %lf", &x[0], &x[1]);
    sscanf(buf1, "%lf %lf", &y[0], &y[1]);
    /* model y */
    yh[0] = h[0] * x[0] + h[1] * x[1] + h[2];
    yh[1] = h[3] * x[0] + h[4] * x[1] + h[5];
    fprintf(fp2, "%.3f%c%.3f\n", yh[0] - y[0], SEP, yh[1] - y[1]);
  }
  fclose(fp2);
  fclose(fp1);
  fclose(fp0);
 
  exit(EXIT_SUCCESS);
}

Сохраним код в файл helmkey.c. Исполняемый модуль создадим компилятором gcc:

$ gcc -o helmkey helmkey.c -lm

Пользователи MS Windows могут загрузить уже скомпилированную программу.

[править] Примечания

  1. При запуске proj в MSYS под Windows придётся позаботиться об удалении мусорных символов:
    $ proj -f "%.16g" +proj=omerc +lat_0=52.02642240080064 +lonc=21 +alpha=-0.0001 +k=1 +x_0=0 +y_0=0 +gamma=0 +ellps=krass cat_longlat.tsv | tr -d '\r' > cat.tsv

[править] Ссылки

Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Статьи
Спецпроекты
Инструменты